M6520 Jméno:
20.12.2017
Hodnocení				Sem.	
					
					
Na každý příklad získáte nezáporný počet bodů. Minimum (včetně semestrální písemky) je 30 bodů. Na práci máte 90 minut.
1. (6krát ±1 bod — správně 1 bod, chybně —1, bez odpovědi 0) Odpovězte (škrtnutím nehodícího se ano nebo ne na patřičném řádku), zda jsou pravdivá následující tvrzení (čtěte velmi pozorně!):
(a) ano — ne Zobrazení / : x —> x3 je bijekcí na libovolné redukované soustavě zbytků mod 28.
(b) ano — ne Pro každé přirozené číslo m je (y?(m),m) = 1.
(c) ano — ne Existuje nekonečně mnoho prvočísel tvaru 5k + 9.
(d) ano — ne Existuje 2 7 primitivních kořenů modulo prvočíslo p = 28 + 1.
(e) ano — ne Pro důkaz řešitelnosti diofantické rovnice f(x,y) = 0, kde f(x,y) G 1*[x,y], stačí dokázat řešitelnost kongruencí f(x,y) = 0 (mod m) pro každé m G N.
(f) ano — ne Libovolná polynomiální kongruence f (x) = 0 (mod m), kde m G N a ne všechny koeficienty polynomu / jsou násobky m, má nejvýše st(/) řešení modulo m.
2. (6 bodů) Definujte pojmy pseudoprvočíslo o základu a, Carmíchaelovo číslo a dokažte (bez použití Korseltova kritéria), že číslo 1105 je Carmichaelovo.
3. (6 bodů) Řešte rovnici x2
12z — 2 v oboru celých čísel.
4. (6 bodů) Určete nějaké řešení kongruence x5 + 10 = 0 (mod 121) a rozhodněte, kolik řešení má tato kongruence modulo 1331.
5. (10 bodů) Řešte kongruenci 7x2 + 112x + 42 = 0 (mod 473). (Nápověda: Modul není prvočíslo.)
6. (6 bodů) Buď p prvočíslo a g primitivní kořen modulo p. Dokažte, že řád čísla g + p modulo p2 je buď p — 1 nebo p(p — 1).