Téma 4.: Pravděpodobnostní funkce, hustoty a distribuční funkce
v systému STATISTICA, výpočet pravděpodobností pomocí distribučních
funkcí
Systém STATISTICA vytváří grafy hustot a distribučních funkcí mnoha spojitých rozložení,
umí stanovit hodnotu distribuční funkce či počítat 1 - hodnota distribuční funkce. Slouží
k tomu Pravděpodobnostní kalkulátor v menu Statistiky. Hodnoty pravděpodobnostních
funkcí, hustot a distribučních funkcí lze počítat též pomocí funkcí implementovaných
v položce „Dlouhé jméno“ proměnné.
Zaměříme se na binomické rozložení, Poissonovo rozložení, exponenciální rozložení a
normální rozložení.
Binomické rozložení Bi(n, ϑ )
Náhodná veličina X udává počet úspěchů v posloupnosti n nezávislých opakovaných pokusů,
přičemž pravděpodobnost úspěchu je v každém pokusu ϑ . Píšeme X ~ Bi(n, ϑ ).
( ) ( ) ∑=
−
−
ϑ−ϑ





=Φ





=ϑ−ϑ





=π
x
0t
tnt
xnx
)1(
t
n
x,
jinak0
n,0,xpro)1(
x
n
x
K
Kreslení grafů funkcí ( )xπ a ( )xΦ v systému STATISTICA
1. možnost: Ukážeme si, jak získat grafy pravděpodobnostní a distribuční funkce náhodné
veličiny X ~ ( )3,0;12Bi . Vytvoříme nový datový soubor o 3 proměnných a 13 případech.
První proměnnou nazveme X a uložíme do ní hodnoty 0, 1, ..., 12 (do Dlouhého jména
napíšeme =v0-1). Druhou proměnnou nazveme PF a uložíme do ní hodnoty
pravděpodobnostní funkce (do Dlouhého jména napíšeme příkaz =Binom(x;0,3;12)). Třetí
proměnnou nazveme DF a uložíme do ní hodnoty distribuční funkce (do Dlouhého jména
napíšeme příkaz =IBinom(x;0,3;12)).
Graf pravděpodobnostní funkce: Grafy – Bodové grafy – Proměnné X, PF – OK – vypneme
Lineární proložení – OK.
Graf distribuční funkce: Grafy – Bodové grafy – Proměnné X, DF – OK – vypneme Lineární
proložení – OK – 2x klikneme na pozadí grafu – Graf:Obecné – zaškrtneme Spojnice – Typ
spojnice: Schod – OK.
Graf funkce ( )xp rozložení ( )3,0;12Bi Graf funkce ( )xF rozložení ( )3,0;12Bi
-2 0 2 4 6 8 10 12 14
X
-0,02
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
0,20
0,22
0,24
0,26
PF
-2 0 2 4 6 8 10 12 14
X
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
DF
Analogickým způsobem můžeme získat grafy pravděpodobnostních distribučních funkcí
binomického rozložení pro různá n a ϑ a sledovat vliv těchto parametrů na vzhled grafů.
2. možnost: Využijeme Pravděpodobnostní kalkulátor.
Statistiky – Pravděpodobnostní kalkulátor – Rozdělení – Binomické. Vyplníme X: 0, N: 12, p:
0,3, zaškrtneme Vytv. graf – Výpočet.
y=Binom(x;,3;12)
0 2 4 6 8 10 12 14
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
p=iBinom(x;,3;12)
0 2 4 6 8 10 12 14
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
Graf pravděpodobnostní funkce není z formálního hlediska správný, protože
pravděpodobnostní funkce je kladná pouze v bodech 0, 1, …, n (=12) všude jinde je nulová.
Poissonovo rozložení Po(λ)
Náhodná veličina X udává počet událostí, které nastanou v jednotkovém časovém intervalu
(resp. v jednotkové oblasti), přičemž k událostem dochází náhodně, jednotlivě a vzájemně
nezávisle. Parametr 0>λ je střední počet těchto událostí. Píšeme X ~ ( )λPo .
( ) ( ) ∑=
λ−
λ−
λ
=Φ





=
λ
=π
x
0t
t
x
e
!t
x,
jinak0
1,0,xproe
!xx
K
Kreslení grafů funkcí ( )xπ a ( )xΦ v systému STATISTICA
1. možnost: Při tvorbě grafů pravděpodobnostní a distribuční funkce náhodné veličiny
s Poissonovým rozložením, např. X ~ ( )5Po , postupujeme podobně jako u binomického
rozložení, ale v datovém souboru bude 16 případů a použijeme funkce Poisson(x;5) a
IPoisson(x;5).
2. možnost: Využijeme Pravděpodobnostní kalkulátor.
Statistiky – Pravděpodobnostní kalkulátor – Rozdělení – Poisson. Vyplníme X: 0, Lambda 5,
zaškrtneme Vytv. graf – Výpočet.
Příklad 1.: Při provozu balicího automatu vznikají během směny náhodné poruchy, které se
řídí rozložením Po(2). Jaká je pravděpodobnost, že během směny dojde k aspoň jedné poruše?
Řešení: X – počet poruch během směny, X ~ Po(2), P(X ≥ 1) = 1 – P(X < 1) = 1 – P(X = 0) =
= 1 - 2
0
e
!0
2 −
= 0,8647.
Návod na výpočet pomocí systému STATISTICA: Otevřeme nový datový soubor o jedné
proměnné a jednom případu. Do Dlouhého jména této proměnné napíšeme
=1-IPoisson(0;2). Dostaneme výsledek 0,8647.
Exponenciální rozložení Ex(λ)
Náhodná veličina X udává dobu čekání na příchod nějaké události, která se může dostavit
každým okamžikem se stejnou šancí bez ohledu na dosud pročekanou dobu. (Jde o tzv. čekání
bez paměti.) Přitom
λ
1
vyjadřuje střední dobu čekání. Náhodná veličina X ~ Ex(λ) má hustotu
( )


 >λ
=ϕ
λ
jinak0
0xproe
x
x-
.
Použití systému STATISTICA:
První možnost: Ve volbě Rozdělení vybereme Exponenciální, do okénka lambda napíšeme
hodnotu parametru λ. Hodnotu distribuční funkce v bodě x zjistíme tak, že do okénka
označeného X napíšeme dané x a po kliknutí na Výpočet se v okénku p objeví hodnota
distribuční funkce.
Druhá možnost: Výpočet hodnoty distribuční funkce pomocí funkcí implementovaných
v položce „Dlouhé jméno“: Otevřeme nový datový soubor o jedné proměnné a jednom
případu. V položce „Dlouhé jméno“ této proměnné použijeme funkci IExpon(x;lambda).
Příklad 2.: Doba do ukončení opravy v opravně obuvi je náhodná veličina, která se řídí
exponenciálním rozložením se střední dobou opravy 3 dny. Jaká je pravděpodobnost, že
oprava bude ukončena do dvou dnů?
Řešení: X ~ Ex(1/3), ( ) 4866,0e1edxe
3
1
2XP 3
22
0
3
x2
0
3
x
=−=





−==≤
−−−
∫
Návod na výpočet pomocí systému STATISTICA:
První možnost: Do okénka lambda napíšeme 0,3333, do okénka exp. napíšeme 2 a po kliknutí
na Výpočet se v okénku p objeví 0,4866.
Druhá možnost: Otevřeme nový datový soubor o jedné proměnné a jednom případu.
Do dlouhého jména této proměnné napíšeme =IExpon(2;1/3). Dostaneme 0,4866.
Příklad 2.: Doba (v hodinách), která uplyne mezi dvěma naléhavými příjmy v jisté
nemocnici, se řídí exponenciálním rozložením se střední dobou čekání 2 h. Jaká je
pravděpodobnost, že uplyne více než 5 h bez naléhavého příjmu?
Výsledek: X ~ Ex(1/2), ( ) 082,05XP =>
Kreslení grafů funkcí ( )xϕ a ( )xΦ rozložení Ex(2) v systému STATISTICA pomocí
Pravděpodobnostního kalkulátoru
Statistiky – Pravděpodobnostní kalkulátor – Rozdělení – Exponenciální. Vyplníme lambda: 2,
zaškrtneme Vytv. graf – Výpočet.
Normální rozložení N(µ, σ2
)
Náhodná veličina X ~ N(µ, σ2
) má hustotu ( ) 2
2
2
)-x(
e
2
1
x σ
µ
−
πσ
=ϕ . Pro µ = 0, σ2
= 1 se jedná o
standardizované normální rozložení, píšeme U ~ N(0, 1). Hustota pravděpodobnosti má
v tomto případě tvar φ(u) = 2
u2
e
2
1 −
π
.
Použití systému STATISTICA:
První možnost: Ve volbě Rozdělení vybereme Z (Normální), do okénka průměr napíšeme
hodnotu µ a do okénka Sm. Odch. napíšeme hodnotu σ. Hodnotu distribuční funkce v bodě x
zjistíme tak, že do okénka označeného X napíšeme dané x a po kliknutí na Výpočet se
v okénku p objeví hodnota distribuční funkce.
Druhá možnost: Výpočet hodnoty distribuční funkce pomocí funkcí implementovaných
v položce „Dlouhé jméno“: Otevřeme nový datový soubor o jedné proměnné a jednom
případu. V položce „Dlouhé jméno“ této proměnné použijeme funkci INormal(x;mu;sigma).
Příklad 3.: Výsledky u přijímacích zkoušek na jistou VŠ jsou normálně rozloženy
s parametry µ = 550 bodů, σ = 100 bodů. S jakou pravděpodobností bude mít náhodně
vybraný uchazeč aspoň 600 bodů?
Řešení:
X – výsledek náhodně vybraného uchazeče, X ~ N(550, 1002
), P(X ≥ 600) = 1 – P(X ≤ 600) +
P(X = 600) = 1 – P(X ≤ 600) = 1 – P 





σ
µ−
≤
σ
µ− 600X
= 1 - P 




 −
≤
100
550600
U = 1 – Φ(0,5)
= 1 – 0,69146 = 0,30854.
Návod na výpočet pomocí systému STATISTICA:
První možnost: Do okénka průměr napíšeme 550, do okénka Sm. Odch. napíšeme 100, do
okénka X napíšeme 600, zaškrtneme 1-Kumul. p a v okénku p se objeví 0,308538.
Druhá možnost: Otevřeme nový datový soubor o jedné proměnné a jednom případu.
Do dlouhého jména této proměnné napíšeme =1-INormal(600;550;100). Dostaneme 0,3085.
Příklad 4: Životnost baterie v hodinách je náhodná veličina, která má normální rozložení se
střední hodnotou 300 hodin a směrodatnou odchylkou 35 hodin. Jaká je pravděpodobnost, že
náhodně vybraná baterie bude mít životnost
a) aspoň 320 hodin?
b) nejvýše 310 hodin?
Výsledek:
ad a) ( ) 28434,0320XP =>
ad b) ( ) 61245,0310XP =≤
Příklad 5.: Na výrobní lince jsou automaticky baleny balíčky rýže o deklarované hmotnosti
1000 g. Působením náhodných vlivů hmotnost balíčků kolísá. Lze ji považovat za náhodnou
veličinu, která se řídí normálním rozložením se střední hodnotou 996 g a směrodatnou
odchylkou 18 g. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný balíček rýže neprojde výstupní
kontrolou, jestliže je povolená tolerance 30± g od deklarované hmotnosti 1000 g?
Výsledek:
( ) 104,0)1030X970(P11030,970XP =<<−=∉
Kreslení grafů funkcí ( )xϕ a ( )xΦ rozložení N(0,1) v systému STATISTICA pomocí
Pravděpodobnostního kalkulátoru
Statistiky – Pravděpodobnostní kalkulátor – Rozdělení – Z (normální). Vyplníme průměr: 0,
SmOdch: 1, zaškrtneme Vytv. graf – Výpočet.
Kreslení grafu hustoty dvourozměrného standardizovaného normálního rozložení
Tato hustota je dána předpisem ( )
( )22
yx
2
1
e
2
1
y,x
+−
π
=ϕ .
Grafy – 3D XYZ – Grafy vlastních funkcí – nastavíme rozsahy os: osa X: -3;3, osa Y: -3;3 –
do pole Funkce Z(x,y) napíšeme: (1/2*pi)*exp(-(x^2+y^2)/2) – OK.
Dostaneme graf:
Graf funkce
Funkce = (1/2*pi)*exp(-(x^2+y^2)/2)
> 1,4
< 1,3
< 1,1
< 0,9
< 0,7
< 0,5
< 0,3
< 0,1
-3
-2
-1
0
1
2
3
X
-3
-2
-1
0
1
2
3
Y
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
Z