2   Výpočet číselných charakteristik - OSNOVA
• Minulá hodina —y bodové/intervalové rozložení četností.
— důvod: pilotní analýza; seznámení s daty
• Nová látka: Motivace
— Karolína s Janou se domluví na výzkumu. Půjdou na dvě různé školy —y 20 žáků —y u každého zjistí známku z matiky a anginy —y výsledky roztřídí do variační tabulky —y 2 variační řady —y porovnávání absolutních četností pro každou dvojici známek? ... nepřehledné a neefektivní.
• Potřebujeme jednodušší charakteristiky, které nám řeknou o datech ty nej důležitější informace a budou dostatečně jednoduché na to, aby se dali snadno vypočítat a interpretovat.
• Různá data —y různé charakteristiky:
• Typy dat:
— Nomiální
— Ordinální
— Intervalová
• Tři základní typy charakteristik:
— polohy
— variability
— závislosti
— + nesymetrie (intervalové znaky) Nominální znaky
Příklad 2.1. Ve vzorku, který tvořilo 200 studentů (100 mužů a 100 žen) byly snímány dematoglyfy dlaně (Býmová, 1990). Na otiscích bylo hodnoceno zakončení tří hlavních dlaňových linií. Podle vzorce zakončení byly jednotliví studenti rozděleni do tří kategorií: vysoká (Hi), střední (Mi) a nízká (Lo). Současně byla zhodnocena barva vlasů studentů podle standardní Fisher-Sallerové stupnice (Martin a Saller, 1957-1966, s. 391), na zákadě které byli studenti rozděleni do tří skupin: Světlá (LoH), střední (MH) a tmavá (DaH). K dispozici máme početnosti jedinců v jednotlivých kategoriích, zvlášť pro muže a zvlášť pro ženy.
A) Početnosti v jednotlivých kategoriích pro muže
Hi   Mi Lo
LiH
MH DaH
6
20 18
6
15 12
4 7 12
1
1. Určete modus zakončení dlaňových linií a modus barvy vlasů pro muže.
2. Pomocí Cramérova koeficientu stanovte stupeň závisloti mezi zakončením dlaňových linií a barvy vlasů u mužů.
• = jednotlivé varianty znaku jsou neporovnatelné:
— zvíře u veterináře: kočka, pes, ara, želva
— oblast výzkumu: dolní Věstonice, pohansko, klášterec
— barva očí: modrá, zelená, hnědá
• Charakteristika polohy
— varianty jsou navzájem neporovnatelné —y můžeme vybrat pouze nej četnější variantu ... modus.
data  <-  data.frame(vysoke = c(6,20 , 18) ,
stredni = c(6,15, 12) , nizke = c(4,7, 12) ,
row.names=c('svetle',   'strední', 'tmavé'))
apply(data,2,sum) apply(data,1,sum)
• Charakteristika závislosti
— Cramérův koeficient tq - slouží k určení těsnosti závislosti u nominálních veličin
— rcE (0;1).
library(lsr)
round(cramersV(data), digits=3) [1] 0.101
Ordinální znaky
Příklad 2.2. Otevřeme datový soubor znamky_me.txt.
a) Pro známky z angličtiny a matematiky vypočtěte medián, dolní a horní kvartil, kvartilovou odchylku a vytvoříme krabicový diagram.
b) Vypočtěte Spearmanův korelační koeficient známek z angličtiny a matematiky pro všechny studenty.
• Hodnoty můžeme porovnávat, ale nemůžeme říci, jaký je mezi nimi rozdíl.
— 10 pacientů ... pořadí podle závažnosti onemocnění
— Známky studentů - výborně, chvalitebně, dobře, dostatečně a nedostatečně. Mezi výborně a chvalitebně je jiný rozdíl než mezi dostatečně a nedostatečně.
• Charakteristika polohy
— a-kvantil ... xn
2
* medián rco.5
* dolní kvartil rr0.25
* horní kvartil rco.75
— na = celé číslo c —y xn =   ^ —
2
— na = necelé číslo —y zaokrouhlíme nahom na nejbližší celé číslo c —y xa = x^ Charakteristika variability:
— kvartilové rozpětí
— q = x0 75 — X0 25
— v intervalu leží 50 % dat.
data  <-  read.delim('znamky_me.txt' ,   sep='\t',   dec=' . ' ,header = T) source('AS-funkce.R')
matematika  <- data$math angličtina  <- data$english pohlavi <- data$sex
qA  <-  quantile(angličtina,   probs=c(0.5,0.25,0.75),   type=2)   # type=5 iqrA  <- qA[3]-qA[2]
(tabA<-data . f rame (median = qA [1] ,   kvl = qA[2],   kv3 = qA [3] ,
IQR=iqrA,   row.names='angličtina'))
boxplot(matematika,   angličtina,   main='Krabicovyugraf',
names=c('matematikaangličtina'), ylab='známka', ylim=c(0,5), border='darkgreen',   col='darkolivegreenl')
Charakteristika závislosti:
— Spearmanuv koeficient pořadové korelace r$
— máme dva znaky: X - známka z matematiky, Y známka z angličtiny
— existuje mezi znaky X a, Y závislost a když, jak silná? -rse(-l;l>.
* r s > 0 ... přímá závislost
* r,s < 0 ... nepřímá závislost
* r s = 0 ... nezávislost
3
cor(matematika,   angličtina,   method='spearman')
• Nakreslete tečkový graf
dotplot(matematika, angličtina,
main='Teckovyugraf',   xlab='matematika',   ylab='angličtina',
col='darkgreen',   bg='darkolivegreenl',   xlim=c(l,4),   ylim=c(1,4))
abline(v=seq(1,4,by=0.5),   col='grey80 ' , lty=2)
abline(h=seq(1,4,by=0.5),   col='grey80 ' , lty=2)
Příklad 2.3. Vypočítejte medián, dolní a horní kvartil, kvartilovou odchylku a vytvořte krabicový diagram pro známky z angličtiny, když víte, že absolutní četnosti známek byly
známka_|| 1   2   3 4
absolutní četnost II 4   47 5
angličtina  <-  c (1 , 1 ,1 , 1 , 2 , 2 , 2 , 2 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 4 ,4 , 4 , 4 ,4)
q.A  <-  quantile(angličtina,   probs = c(0.5 , 0.25,0.75) ,   type=2) #type=5
iqrA  <- qA[3]-qA[2]
(tabA<-data . f rame (median = qA [1] ,   kvl = qA[2],   kv3 = qA[3],
IQR=iqrA,   row.names = 'angličtina'))
Intervalové znaky
Příklad 2.4. Otevřeme datový soubor lebky.txt.
a) Pro největší délku a největší šířku mozkovny mužů vypočteme aritmetický průměr, rozptyl, směrodatnou odchylku, koeficient variace, šikmost a špičatost.
b) Vypočítejte Pearsonův koeficient korelace největší délky a největší šířky mozkovny mužů. Nakreslete dvourozměrný tečkový diagram.
• Hodnoty znaků můžeme nejen vzájemně porovnat, ale můžeme též říci, o kolik se liší:
• Výška/váha dětí, hodnota glukózy v krvi, množství vyplaveného testosteronu, šířka lebky mužů/žen/neandrtálců, ...
• Charakteristika polohy:
— aritmetický průměr: m = ^ Y^í=i xí
— ovlivněn vybočujícími hodnotami —y vhodný máme-li symetrická data
• Charakteristika polohy:
1. rozptyl:
- s2 = ^Eľ=i(^ ~m?
- průměrná kvadratická odchylka hodnot od jejich aritmetického průměru.
- s2 > 0
4
— ovlivněn vybočujícími hodnotami —y je vhodný, máme-li symetrická data
— oproti jednotkám původních dat je rozptyl v jednotkách A 2.
2. směrodatná odchylka
— s = y/š^
— převádí rozptyl do původních jednotek • Charakteristika nesymetrie:
1. šikmost «3
— «3 = 0 —>• symetrické rozdělení dat
— «3 < 0 —> záporně zešikmené rozdělení —y prodloužený levý
— «3 > 0 —> kladně zešikmené rozdělení —y prodloužený pravý konec
Negative Skew Positive Skew
		ĺ     — mode
		\   — median
		\   — mean
		\ o = 0.25
		0 = 1
i  \J .		^^™^'»l«l«N,N,,
0.0 02 04 06 03 10 12 14 L5 LB 2D 2.2
2. špičatost «4
— «4 = 0 —>• normální rozdělení dat
— «4 > 0 —y strmé rozdělení dat
— a4 < 0 —y ploché rozdělení dat (Říp)
5
library(el071)
data <-  read.delim('lebky.txt' ,   sep='\t',   dec='.', header=F)
names(data)   <-  c('delka',   'sirka', 'pohlaví') #head(data)
delka.M      <-  data$delka[data$pohlaví=='muz'] n <-  length(delka.M)
mean.D	<-	mean(delka.M)
s2 . D	<-	1/n* sum((delka.M-mean.D)~2)
s . D	<-	sqrt(s2.D)
koef.var.D	<-	s.D/mean.D*100
sikmost . D	<-	skewness(delka.M, type=2)
spicatost .D	<-	kurtosis(delka.M, type=2)
tab . D	<-	round(data.frame(n=n,   prumer=mean.D,   rozptyl=s2.D, sm.odch=s.
D, koef.	var	=koef.var.D,   sikmost=sikmost.D,   spicatost=spicatost.D), digits
=4)
Charakteristika těsnosti závislosti:
— máme dva intervalové znaky - existuje mezi nimi nějaká závislost a když, tak jak silná?
1. Pearsonův koeficient korelace
12       n Z-/i=l     sl s2
* nabývá hodnot mezi -1 a 1
* ri2 > 0 ... přímá závislost
* r 12 < 0 ... nepřímá závislost
* ri2 = 0 ... nezávislost
2. kovariance
* S12 = \ YJí=ÁXí - ml)(Vi - m2) cor(delka.M,   sirka.M,   method='pearson')
plot(delka.M,   sirka.M,   main='Teckovyugraf',   pch=21,
xlab='delkaulebky',   ylab='sirkaulebky',   col='darkgreen', bg=' darkolivegreenl') abline(v=seq(160,200,by=5),   col='grey80', lty=2) abline(h=seq(120,145,by=5),   col='grey80', lty=2)
6