4   Pravděpodobnostní funkce, hustoty a distribuční funkce-OSNOVA
4.1    Základy pst i
• Motivace:
— snaha popsat reálnou situaci nějakým známým pravděpodobnostním rozdělením (normální, binomické, poissonovo)
— důvod: reálnou situaci popíšeme nějakým známým rozdělením —y parametry rozdělení odhadneme z rálné situace —y nové závěry stanovíme na základě vlastností známého rozdělení
• každý experiment je založen na náhodném pokusu
— výzkum: výška člověka: náhodný pokus ... změříme 1 člověka;
— výzkum: oblíbená značka auta .. .zeptáme se jednoho náhodného muže;
— výzkum: které číslo padne na kostce ... hodíme kostkou;
• základni prostor Q ... množina všech možných výsledků
— výška člověka ... 0 — oo; 0 — 4m;
— auta ... škoda, bmw, VW, mazda, jiné;
— kostka ... 1-6;
• možné výsledky uj ... prvky základního prostoru
— náhodný pokus - hodím kostkou - základní prostor = 6 možností : Q = {1,2,3,4,5,6} -možné výsledky: {uj\ = 1; u2 = 2; uj^ = 3; uj^ = 4; uj^ = 5; ujq = 6}
• hodila jsem kostkou: nastal jev:
— padla 1, padla 2, ... padla 6
— padlo liché číslo
— padlo číslo větší než 3 ...
— jev nemožný: padne 7
— jev jistý: padne 1,2,3,4,5,nebo 6
— jev opačný: K jevu A padne 1-3 je opačný jev A' padne 4-6
— jevy neslučitelné: padne 1 a padne sudé číslo
• pravděpodobnost - vyjadřuje, jak velká je naděje, že nějaký jev nastane
— Pr(A) = Pr(nastal jev A)
— Pr(A) E (0; 1); resp. (0% - 100%)
— příklad: hodím kostkou:
* Pr(padne 1) = 1/6 = 16.7%
* Pr(padne liché číslo) = 1/2 = 50%
1
* Pr(padne 1,2,3,4,5 nebo 6) = 1 = 100%
* Pr (padne 7) = 0 %
— Vlastnosti psti:
* pst je nezáporná ... Pr(Á) > 0
* pst jistého jevu je vždy 1
• Pr (padne 1, 2, 3,4, 5 nebo 6) = 1;
* jsou-li jevy neslučitelné, tak
• P(UT=i A) = ET=i P(A) ■ ■ ■ aditivita
• n = 3 ... Pr(padne liché číslo) = Pr(padne 1 U padne 3 U padne 5) = 1/2
• Pr(l) + Pr(3) + Pr(5) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2
• analogie pro n = 2: Pľ(A U B) = Pr(A) + Pr(B)
* (nejsou-li jevy neslučitelné, tak (pro n = 2)
• Pr(A U B) = Pr(A) + Pr(B) - Pr(A n B)
■ Jev A ... padne liché číslo, jev B ... padne 1 nebo 2)
• Pr(A U B) = Pr(A) + Pr(B) - Pr(A n B) = 3/6 + 2/6 - 1/6 = 4/6 = 2/3
• sloučení jevů A a B odpovídá možnosti 1, 2, 3, 5 a pst, že padne jedno z těchto 4 čísel je 4/6=2/3.)
* jevy, které jsou časově, prostorově nebo věcně odděleny nazýváme nezávislé
* jsou-li jevy nezávislé, tak
• Pr(a=i^) = ľL=iPr(A)
• Př.: n = 2 ... házíme dvěma kostkami: fialovou a žlutou
• Pr(Ai H A2) = Pr(Ai) * Pr(A2)
■ Pr(na obou kostkách padne 1) = Pr(na fialové padne 1 n na žluté padne 1 ) = 1/36 = 0.0277
• Pr(l) * Pr(l) = 1/6 * 1/6 = 1/36 = 0.0277
• Př.: n = 3 ... házíme třemi kostkami: modrou, zelenou, červenou
• Pr(A1 r\A2n A3) = Pr(Ai) * Pr(A2) * Pr(A3)
■ Pr(na všech třech kostkách padne 1) = Pr(na modré padne 1 n na zelené padne 1 U
na červené padne 1) = 1/216 = 0.00463
• Pr(l) * Pr(l) * Pr(l) = 1/6* 1/6* 1/6 = 1/216 = 0.00463
* naopak, platí-li Pr(Ai fl • • • fl An) = Pr(Ai) * • • • * Pr(An), tak jsou jevy A\v .. ,An nezávislé.
— Je-li jev A' opačný k jevu A, pak Pr(Á) + Pr(A') = 1 ... komplementarita
* Jev A ... padne sudé číslo Pr(Á) = 0.5
* Jev A' .. .padne liché číslo Pr(A') = 0.5
* Jev: buď padne sudé číslo nebo padne liché číslo: Pľ(A U A') = 1
2
— spojení komplementarity a nezávislosti
* chceme odpověď na otázku: Jaká je pst, že nastane alespoň 1 z n jevů? Za podmínky, že jevy jsou nezávislé.
* nastane alespoň jeden jev: nastane 1, 2, 3, nebo více jevů (klidně všechny najednou)
* Pst že nastane alespoň jeden = 1 — Pr(nenastane žádný).
* Pr(Ai U • • • U An) = 1 — Pr(A; fl • • • fl A'n) = 1 — Pr^) * • • • * Pr(A^)
Příklad 4.2. Střelec střílí třikrát nezávisle na sobě do terče. Pravděpodobnosti zásahu při prvním, druhém a třetím výstřelu jsou postupně 0.4, 0.5 a 0.7. Jaká je pravděpodobnost, že střelec zasáhne cíl a. alespoň jedenkrát?
# AI   ...   zásah v prvnim výstrelu
# A2   ...   zásah v  druhem výstrelu
# A3   ...   zásah ve  tretím výstrelu
#P(A1  v A2 v A3)   =  1- P(NA1  a NA2    a NA3)
pAl <- 0.4 pA2 <- 0.5 pA3  <- 0.7
pNAl <- 1- pAl pNA2 <- 1- pA2 pNA3  <-  1- pA3
pst <- l-pNAl*pNA2*pNA3 round(pst , 4)
právě třikrát?
#P(A1  a A2  a A3)
pst  <- pAl*pA2*pA3 round(pst, 4)
právě jedenkrát?
#P(A1  a NA2  a NA3)   + P(NA1  a A2  a NA3)   + P(NA1  a NA2  a A3)
pst  <-  pAl*pNA2*pNA3 +  pNAl*pA2*pNA3  + pNAl*pNA2*pA3 round(pst, 4)
podmíněná pravděpodobnost Yi{A\B)
— máme jevy A a B, přičemž Pr(B) ^ 0 (jev B není nemožný)
— Pr(A\B) ... pravděpodobnost nastání jevu A za podmínky že nastal jev B t, /    r,x Pr(AnB)
— Pr'-4lB» = -ím^T
Příklad 4.3. Házíme jednou kostkou. Jaká je pst, že padne 2 za předpokladu, že padne sudé číslo?
* A ... Padne 2. B ... padne sudé číslo ... 1, 2, 3, 4, 5, 6; 1, 2, 3, 4, 5, 6
3
Pľ(A H -B)     Pr(padne 2 n padne sudé číslo) 1/6
* ^  '   ^ ~~    Pr(B)    ~        Pr(padne sudé číslo)        ~~ T/2 ~ '
Házíme jednou kostkou. Jaká je pst, že padne 1 za předpokladu, že padne sudé číslo?
* A ... Padne 1. B ... padne sudé číslo ... 1, 2, 3, 4, 5, 6
P ÍAI-B)     Pr(^4 H-B)     Pr(padne 1 H padne sudé číslo) 0
* ^  '   ' ~    Pr(B)    ~        Pr(padne sudé číslo)        ~ T/2 ~
Příklad 4.4. Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami padly dvě pětky, je-li známo, že součet padnutých teček je dělitelný pěti?
# počet  možnosti  pri  hodu  dvěma kostkami   je 36
# počet  možnosti ,   kdy  součet   je  5  je  7:   [1  4] ,   [2  3],   [3  2] ,   [4   1], [6
4] ,   [5 5]
# ze  všech možných  možnosti   splňuje   podminku  jedna možnost   [1 1]
# P(A|B)   . . .   padly  dve  pětky za podminky   součet  byl   dělitelný 5 pAaB  <- 1/36
pB  <- 7/36 pAB  <- pAaB/pB
round(pAaB/pB, 4)
Bayesův vzorec
— umožňuje nám spočítat Pr(A\B) v případě, kdy neznáme Pľ(A H B), ale známe / umíme získat Pt(B\A).
— máme jevy A a B, přičemž Pr(B) ^ 0 (jev B není nemožný), chceme spočítat Pr(A\B) Pľ(B\A)*Pľ(A)
Pr(A\B)
Pr(B)
Příklad 4.3. Předpokládejme, že máme školu s 60% chlapců a 40 % dívek. Všichni chlapci nosí kalhoty. Z dívek nosí kalhoty polovina. Pozorovatel vidí z dálky studenta v kalhotách. Jaká je pravděpodobnost, že tento student je dívka?
# A   ...   student   je divka
# B   ...   student   nosi   kalhoty  =  student  je  kluk  *  nosi  kalhoty  +  student je
divka  *  nosi kalhoty
# P(B|A)   ...   student  nosi  kalhoty   I   student   je divka
# P (A I B) =P (B I A) *P (A)/P (B)
pA  <- 0.4
pBA  <- 0.5
pB  <- 0.6*1+0.4*0.5
pAB  <- pBA*pA/pB
round(pAB,4)
4