Náhodné veličiny
Víc než výsledek nás často zajímají jeho číselné interpretace
náhodná veličina X je pravidlo, které zobrazuje základní prostor možných výsledků do množiny reálních čísel
i-tá realizace náh. veličiny se značí Xi
(a) X... výška člověka v cm; X\ = 165 cm, x2 = 173 cm ...
(b) Y ... váha člověka v kg; yľ = 63 kg, y2 = 77 kg ...
(c) Y ... počet pacientů v ordinaci za den y\ = 12, y2 = 8 ...
(d) X ... počet puntíků na vrchní straně kostky: X\ = 4, x2 = 1 ...
s jakou pstí nabývá náh. veličina X určité hodnoty, nebo je obsažena v určitém intervalu hodnot: píšeme: Pr(X = x)
náhodné veličiny máme:
— diskrétní - nabývají konkrétních (převážně celých) hodnot c), d)
* hod kostkou: padne 1,2,3,4,5,6.
* nemůže padnout 3.5
* Pr(X = 4) = 1/6
— spojité - nabývají lib. hodnoty z daného intervalu a), b)
* změříme výšku člověka:
• základní prostor rozdělíme na intervaly: 11:0-100; 12:100-125; 13:125-150; 14:150-175; 15:175-200; 16:200-225;
• pst, že naměřená hodnota bude náležet do intrvalu 14: 150-175cm
• Pr(X eU) = ...
pstní fce p(x) {X je diskrétni):
— p(x) = Pr(X = x)
— pstní fce v bodě x je rovna psti, že náh.veličina X se realizuje v hodnotě x
— pstní fce je nezáporná Pr(rr) > 0 a normovaná        Pr(X = x i) = 1
— pstní fce pro případ hod kostkou:
hustota f {x) {X je spojitá)
— pst realizace X v libovolném intervalu I se dá vyjádřit jako plocha pod křivkou pomocí integrálního tvaru:
Jxei
kde f(x) je hustota pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny
— hustota je nezáporná a normovaná (plocha pod křivkou hustoty = 1)
— příklad hustoty: Gaussova křivka
• distribuční funkce F(x) {X je diskrétní nebo spojitá)
— distr.fce v bodě x je rovna psti, že realizace náh.veličiny X nepřekročí hodnotu x
— F (x) = Pr(X < x)
— příklad: distribuční fce hodu kostkou:
— vlastnosti: neklesající, zprava spojitá, normovaná,
— platí: Pr(X > x) = 1 - Pr(X < x) = 1 - F(x) KOMPLEMENTARITA
— platí v diskrétním případě:
* F(x) = Pr(X<x) = Zt=-00P(t)
* p{x) = P(X = x)
— platí ve spojitém případě:
* F{x) = Pr(X <x) = j:jt)dt
* P{X = x) = 0
2
Typy rozdělení
• máme náhodný výběr a rádi bychom věděli z jakého pochází rozložení.
• každé rozložení má své specifické parametry
— diskrétní
* Alternativní A(9);
* Binomické Bin(n, 9);
* Poissonovo Po(A)
* Geometrické
* Hypergeometrické
— spojité
* Rovnoměrné spojité
* Exponenciální Ex{\)
* Normální N(fi, a2)
* Standardizované normální ÍV(0,1)
• Pearsonovo x2(n)
■ Studentovo t(n)
■ Fisherovo-Snedecorovo 722)
* dvourozměrné normální N2(n, S)
• nejdříve musíme odhadnout typ rozdělení, potom parametry rozdělení
Kombinační číslo
k\{n — k)\ 5!
5*4*3*2*1
10
2!(5-2)!
2*1*3*2*1
choose(5,2) ## 10
3
Binomické rozdělení Bin(n, 0
X ~ Bin(ri,0)
X... počet úspěchů v posloupnosti n nezávislých opakovaných pokusů, přičemž pravděpodobnost úspěchu v každém pokusu je vyjádřena parametrem 9.
pravděpodobnostní funcke:
)9X(1 — 9)n~x   pro x = 0,..., n;
p(x
distribuční funkce:
jinak.
t=0 ^ '
vlastnosti: E(X) = n0; rozptyl: D(X) = n0(l - 9) dbinom(x, n, 61), pbinom(x, n, 9)
Příklad 5.1. Předpokládejme, že pravděpodobnost výskytu dermatoglifického vzoru vír na palci pravé ruky mužů české populace, Pr(vír) = 0.533. Pravděpodobnost výskytu ostatních
vzorů na palci pravé ruky u mužů potom bude Pr(ostatní) =........................... Vypočítejte,
jaká je pravděpodobnost, že mezi 10 muži bude výskyt vzoru vír
a. právě u šesti mužů;
b. nejvýše u šesti mužů;
c. alespoň u šesti mužů;
d. u dvou, tří, čtyř nebo pěti mužů.
X...............................................................................................................
Počet pokusů: n = ..........., pravděpodobnost úspěchu: 9 = ...........
cld cl.
dbinom(6,   10, 0.533)
S pravděpodobností...........% bude výskyt vzoru vír právě u šesti mužů z deseti.
ad b.
sum(dbinom(0:6,   size=10, prob=0.533)) pbinom(6,   size=10, prob=0.533)
S pravděpodobností...........% bude výskyt vzoru vír nejvýše u šesti mužů z deseti.
4
ad c
1-sum(dbinom(O:5,   size=10, prob=0.533)) l-pbinom(5,   size=10, prob=0.533)
S pravděpodobností...........% bude výskyt vzoru vír alespoň u šesti mužů z deseti.
ad d.
pbinom(5,   size=10,   prob=0.533)   -  pbinom(l,   10, 0.533) sum(dbinom(2:5,   size=10, prob=0.533))
S pravděpodobností ...........% bude výskyt vzoru vír u dvou, tří, čtyř nebo pěti mužů z
deseti.
5
5.1   Poissonovo rozdělení Po(A)
• X ~ Po(A)
• Náhodná veličina X udává počet událostí, které nastanou v jednotkovém časovém intervalu, přičemž k událostem dochází náhodně, jednotlivě a vzájemně nezávisle. Parametr A > 0 je střední počet těchto událostí. Píšeme X ~ Po(A).
pravděpodobnostní funkce:
distribuční funkce:
A^
P{x) = {^x Prox=o^-; (2)
0 jinak.
F(x) = £ je-\ (3)
í=0
• vlastnosti: E(X) = A; rozptyl: -D(X) = A
• dpois(x, lambda), ppois(x, lambda)
Příklad 5.2. Při provozu balicího automatu vznikají během směny náhodné poruchy, které se řídí rozdělením Po(2). Jaká je pravděpodobnost, že během směny dojde k alespoň jedné poruše?
X ... počet poruch během směny; X ~ Po(A =............);
Pr(X > 1) = l-Pr(X < 1) = l-Pr(X < 0) = 1 - Pr(X = 0) =....................................=..............
l-dpois(0, lambda=2) l-ppois(0, lambda=2)
Pravděpodobnost, že během směny dojde k alespoň jedné poruše je ........... %.
Příklad 5.3. Telefonní ústředna zapojí během hodiny průměrně 15 hovorů. Jaká je pravděpodobnost, že během 4 minut ústředna zapojí
a. právě jeden hovor?
#lh=60min   ..   15  hovoru 4 min   ...   1 hovor dpois (1 , 1)
b. alespoň dva hovory?
#lh=60min   ..   15  hovoru 4 min   ...   1 hovor 1-ppois(1,1)
c. nejméně tři a nejvýše čtyři hovory?
#lh=60min   ..   15  hovoru 4 min   ...   1 hovor sum(dpois(3:4 , 1) ) ppois(4,l)-ppois(2,l)
6
d. nejvýše pět hovorů?
#lh=60min .. 15 hovoru 4 min ... 1 hovor ppois (5,1)
Pravděpodobnost, že během 4 minut zapojí ústředna právě jeden hovor je........... %. Pravděpodobnost,
že během 4 minut zapojí ústředna právě alespoň dva hovory je ........... %. Pravděpodobnost, že
během 4 minut zapojí ústředna nejméně tři a nejvýše čtyři hovory je........... %. Pravděpodobnost,
že během 4 minut zapojí ústředna právě nejvýše pět hovorů je ........... %.
7