5   Spojité náhodné veličiny
• spojitá náhodná veličina: hustota, distribuční funkce
• graf hustoty, pst je vyjádřena jako plocha pod křivkou
5.1   Normální rozdělení N(/i, a2)
• X ~ N(i2,a2)
• Náhodná veličina X ~ (aí,(j2) má hustotu
f(x) = —=e-^-. (1)
• Pro fi = 0 a a2 = 1 se jedná o standardizované normální rozdělení, píšeme X ~ N(0,1). Hustota má tvar
f(x) = ^=e-!*. (2)
• = /i, D[X] = a2
• dnorm(x, mu, sigma); pnorm(x, mu, sigma)
Příklad 5.1. Na základě datového souboru obsahujícího osteometrická data klíční kosti (clavicula) angického souboru dokumentovaných skeletů (Parsons, 1916) byla odhadnuta střední hodnota a směrodatná odchylka délky pravé klavikuly u mužů. Střední hodnota fi = 151.74 mm, směrodatná ochylka s = 11 mm. Za předpokladu, že data pochází z normálního rozdělení vypočítejte, jaká je pravděpodobnost, že délka pravé klavikuly u mužů bude
a. rovná 150 mm;
data <- read.delim('paired-means-clavicle2.txt' , header=T) #head(data)
length.1  <-  data$length.L
length.rm  <-  data$length.R[data$sex=='m']
m  <- mean(length.rm)   # 152
s  <-  round(sd(length.rm))   # 11
mu  <- m
sigma  <- 11
0
1
b. menší než 140 mm;
pnorm(140, mu, sigma) c. větší než 160 mm;
1-pnorm(160,mu, sigma) d. v rozmezí 140-160 mm.
pnorm(160,   mu,   sigma)-pnorm(140,   mu, sigma)
X ..................................................................................................................................
X ~ N(................................,................................).
ad a. Pravděpodobnost, že délka pravé klavikuly u mužů bude rovná 150 mm je ................, protože
data pochází z normálního rozdělení, což je ........................................ typ rozdělení a proto
Pr(X = 150) =.................
ad b. Pravděpodobnost, že délka pravé klavikuly u mužů bude menší než 140 mm je............................
ad c. Pravděpodobnost, že délka pravé klavikuly u mužů bude větší než 160 mm je..............................
ad d. Pravděpodobnost, že délka pravé klavikuly u mužů bude v rozmezí 140-160 mm je......................
2
5.2   Aplikace Moivrovy a Laplaceovy věty
• Xi,... ,Xn jsou stochasticky nezáv. náh. veličiny, X\ ~ Alt(6),... Xn ~ Alt{9). Pak jejich součet Yn = Yľi=i Xi má binomické rozdělení Bin(n, 9). Střední hodnota veličiny Yn je EYn = n9, rozptyl DYn = n9(l — 9). Podle centrální limitní věty se standardizovaná náhodná veličina Yn — n9
— n        = asymptoticky řídí standardizovaným normálním rozldělením Yn ~ ÍV(0,1). y/nO(l - 9)
Příklad 5.2. Pravděpodobnost výskytu dermatoglyfického vzoru vír Pr(vír) = 0.533. Vypočítejte,
I. jaká je pravděpodobnost, že mezi 10 muži bude výskyt dermatoglifického vzoru vír
a. alespoň u 6 mužů;
# a)
p   <- 0.553 N  <- 10
l-pbinom(5,   N, p)
# b)
l-pnorm(5,   N*p,   sqrt(N*p*(l-p)))
b. u dvou, tří, čtyř, nebo pěti mužů.
# a)
p  <- 0.553 N   <- 10
sum(dbinom (2:5,   N, p)) #pbinom(5,   N,   p)-pbinom(1,   N, p)
# b)
pnorm(5,   N*p,   sqrt(N*p*(l-p)))-pnorm(1,   N*p,   sqrt(N*p*(l-p)))
II. jaká je pravděpodobnost, že mezi 300 muži bude výskyt dermatoglifického vzoru vír
a. alespoň u 180 mužů;
# a)
p   <- 0.553 N  <- 300 x  <- 180
l-pbinom(x,   N, p)
# b)
l-pnorm(x,   N*p,   sqrt(N*p*(l-p)))
b. u 160-180 mužů.
# a)
p  <- 0.553 N  <- 300
sum(dbinom(160:180 ,   N, p)) #pbinom(180,   N,   p)-pbinom (159 ,   N, p)
# b)
pnorm(180,   N*p,   sqrt(N*p*(l-p)))-pnorm(159,   N*p,   sqrt(N*p*(l-p)))
3