5 Spojité náhodné veličiny 5.1 Normální rozdělení N(/i, a2) • Náhodná veličina X ~ (/i, cr2) má hustotu f(x) = —=e—*?-. (1) • Pro /i = 0 a a'1 = 1 se jedná o standardizované normální rozdělení, píšeme X ~ N(0,1). Hustota má tvar f(x) = -}=e-1š-. (2) v z7t • = /Lí, D[X] = cr2 • dnorm(x, mu, sigma); pnorm(x, mu, sigma) Příklad 5.1. Na základě datového souboru obsahujícího osteometrická data klíční kosti (clavicula) angického souboru dokumentovaných skeletů (Parsons, 1916) byla odhadnuta střední hodnota a směrodatná odchylka délky pravé klavikuly u mužů. Střední hodnota jj, = 151.74 mm, směrodatná ochylka s = 11 mm. Za předpokladu, že data pochází z normálního rozdělení vypočítejte, jaká je pravděpodobnost, že délka pravé klavikuly u mužů bude a. rovná 150 mm, b. menší než 140 mm, c. větší než 160 mm, d. v rozmezí 140-160 mm. X ................................................................................ X ~ N(................................,................................). a. rovná 150 mm; b. menší než 140 mm; c. větší než 160 mm; 1 d. v rozmezí 140-160 mm. ad a. Pravděpodobnost, že délka pravé klavikuly u mužů bude rovná 150 mm je................, protože data pochází z normálního rozdělení, což je........................................ typ rozdělení a proto Pr(X = 150) =................. ad b. Pravděpodobnost, že délka pravé klavikuly u mužů bude menší než 140 mm je .............................. ad c. Pravděpodobnost, že délka pravé klavikuly u mužů bude větší než 160 mm je.............................. ad d. Pravděpodobnost, že délka pravé klavikuly u mužů bude v rozmezí 140-160 mm je ...................... Příklad 5.2. Nakreslete graf hustoty a distribuční funkce náhodné veličiny X ~ JV(151.74,11). X ~ N( |i=151.74, g=11a2 ) X ~ N( n=151.74, o2=11A2 ) 100 120 140 160 180 200 100 120 140 160 180 x x Příklad 5.3. Výsledky u přijímacích zkoušek na jistou VS jsou normálně rozděleny s parametry jj, = 550 bodů, a = 100 bodů. S jakou pravděpodobností bude mít náhodně vybraný uchazeč alespoň 600 bodů? X ...................................................; X ~ N(....................,....................). ,'X-u 600 -a\ í 600 - 550 Pr(X > 600) = l-Pr(X < 600) = 1 - Pr-- <-- = Pr i U < a - a ) V ~ 100 1 - Pr(ř7 < 0.5) = 1 - $(0.5) = 1-0.69146 = 0.3085. [1] 0.3085375 [1] 0.3085375 Příklad 5.4. Životnost baterie v hodinách je náhodná veličina, která má normální rozdělení se střední hodnotou 300 hodin a směrodatnou odchylkou 35 hodin. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraná baterie bude mít životnost 2 a) alespoň 320 hodin? (0.2838546) b) nejvýše 310 hodin? (0.6124515) 5.2 Aplikace Moivrovy a Laplaceovy věty • Xi,..., Xn jsou stochasticky nezáv. náh. veličiny, X\ ~ Alt(9),... Xn ~ Alt(9). Pak jejich součet Yn = Y^i=i X{ má binomické rozdělení Bin(n, 9). Střední hodnota veličiny Yn je EYn = n6, rozptyl DYn =n9(l — 9). Yn-n9 Podle centrální limitní věty se standardizovaná náhodná veličina — = asymptoticky řídí standardizo- Vnô(l ~ ô) váným normálním rozdělením Yn ~ ÍV(0,1). Příklad 5.5. Pravděpodobnost výskytu dermatoglyíického vzoru vír Pr(vír) = 0.533. Vypočítejte, I. jaká je pravděpodobnost, že mezi 10 muži bude výskyt dermatogliíického vzoru vír a. alespoň u 6 mužů; b. u dvou, tří, čtyř, nebo pěti mužů. II. jaká je pravděpodobnost, že mezi 300 muži bude výskyt dermatogliíického vzoru vír a. alespoň u 180 mužů; b. u 160-180 mužů. I-a. Pst, že mezi 10 muži bude výskyt dermatogliíického vzoru vír aspoň u šesti mužů je................................. I- b. Pst, že mezi 10 muži bude výskyt dermatogliíického vzoru vír 2-5 mužů je ................................. II- a. Pst, že mezi 300 muži bude výskyt dermatogliíického vzoru vír aspoň u 180 mužů je................................. Il-b. Pst, že mezi 300 muži bude výskyt dermatogliíického vzoru vír 160-180 mužů je................................. Příklad 5.6. Pravděpodobnost úspěchu při jednom pokusu je 0.3. S jakou pravděpodobností lze tvrdit, že počet úspěchů ve 100 pokusech bude v mezích od 20 do 40? Výpočet provedte (i.) přesně a (ii.) pomocí aproximace normálním rozdělením. [1] 0.9786144 [1] 0.9772632 Příklad 5.7. Pravděpodobnost, že zakoupený elektrospotřebič bude vyžadovat opravu během záruční doby, je rovna 0.2. Jaká je pravděpodobnost, že během záruční doby bude nutno ze 400 prodaných spotřebičů opravit 97 a více? Výpočet provedte (i.) přesně a (ii.) pomocí aproximace normálním rozdělením. [1] 0.02138855 [1] 0.02275013 Příklad 5.8. Pravděpodobnost, že určitý typ výrobku má výrobní vadu, je 0.05. Jaká je pravděpodobnost, že ze série 1000 výrobků bude mít výrobní vadu nejvýše 70? Výpočet provedte (i.) přesně a (ii.) pomocí aproximace normálním rozdělením. [1] 0.9976697 [1] 0.9981455 3