6   Číselné charakteristiky, Matematická statistika, Bodové a intervalové odhady parametrů
6.1    Číselné charakteristiky náhodných veličin
• F (x), p(x), f (x) ... funkcionální charakteristiky
— obsahují veškerou informaci o chování náh.veličiny
• někdy nás zajímají pouze rysy chování náh.veličiny —y číselné charakteristiky
— kvantily (x0.25, x0,5, x0.75, apod.)
— střední hodnota
— rozptyl / směrodatná odchylka
— kovariance
— korelace
Kvantily vybraných spojitých rozdělení; a-kvantil
• a-kvantil náh.veličiny X ... xa
• obdoba a-kvantilu v popisné statistice
• křivka hustoty:
— plocha pod křivkou ... pst ... = 1
— tuto plochu rozdělíme na 2 části
* tmavá plocha a
* světlá plocha 1 — a
• a-kvantil ... číslo, takové, že Pr(X <
• pst, že náhodná veličina X je menší nebo rovna xa je rovna a
• speciální kvantily
— medián ... xq^
— l.kvartil ... x0.25
— 3.kvartil ... X0.75
• Standardizované normální rozdělení
— * X ~ ÍV(0,1)
* a-kvantil ... u(a)
1
* symetrické okolo 0 ... u(a) = —u(l — a)
* qnorm(alpha)
• x2 rozdělení s n stupni volnosti
— (Pearsonovo rozdělení)
- X ~ x2 (n)
— Q-kvantil ... Xn(a)
— nesymetrické
- qchisq(alpha,n)
• Studentovo rozdělení s n stupni volnosti
- X ~ t(n)
— a-kvantil ... tn(a)
— symetrické okolo 0 .. . tn(a) = —tn(l — a)
- qt(alpha.n)
• Fisherovo rozdělení s rii a n2 stupni volnosti
— (Fisherovo-Snedecorovo rozdělení)
- X ~ F(n1,n2)
- a-kvantil ... Fnun2(a)
- nesymetrické, ale Fni,ri2(a) = —-———-
— qf(alpha, nl, n2)
Příklad 6.1. Najděte medián a horní a dolní kvartil náhodné veličiny U ~ ÍV(0,1).
qnorm(0.5) qnorm(0.25) qnorm(0.75)
Příklad 6.2. Najděte dolní kvart il náhodné veličiny X ~ N (3, 5). qnorm(0.25,   3,   sqrt(5))
Příklad 6.3. Určete kvantil x|5(0.025).
qchisq (0.025 , 25)
Příklad 6.4. Určete kvantily ŕ30(0.99) a ŕ14(0.05).
qt(0.99, 30) qt(0.05, 14)
Příklad 6.5. Určete kvantily ^5,20(0.975) a F2,10(0.05).
qf(0.975, 5,20) qf(0.05, 2,10)
2
6.2   Základní pojmy matematické statistiky
• popisná statistika ... datový soubor —y závěry o datovém souboru
• matematická statistika ... náhodný výběr —y statistiky —y závěry o tvaru rozdělení a parametrech
• Xi,..., Xn - stoch.nezáv.náh.veličiny, které mají všechny stejné rozložení L{9) —y X±,..., Xn ... náhodný výběr rozsahu n z rozdělení L{9)
• číselné realizace x1}... ,xn náh.výběru X1}...,Xn tvoří datový soubor
• statistika = libovolná funkce náhodného výběru: T = T(Xi,..., Xn)
• Statistiky - jednovýběrové:
Nechť Xi,..., Xn je náhodný výběr, n > 2.
1. Výběrový průměr
M = - V Xi
i=l
2. Výběrový rozptyl
i=i
3. Výběrová směrodatná odchylka
4. Výběrová distribuční funkce Fn(x) ... průměrný počet těch veličin XÍ7 pro něž platí Xi > x. Statistiky - dvouvýběrové:
Nechť (Xi, Yi),... (Xn, Yn) je náhodný výběr z dvourozměrného rozdělení. M\ = - Y^H=i a
1. Výběrová kovariance
S12 = -^—r Y^{Xt - M1)(Y - M2 n — 1 ^—'
i=l
2. Výběrový koeficient korelace
T3      _ S^
S1S2
6.3   Bodové a intervalové odhady parametrů
• Xi... Xn ... náhodný výběr z rozdělení L{9) s parametrem 9.
• 9 neznáme; chceme ho odhadnout
• bodovým odhadem parametru 9 je nějaká vhodná statistika Tn = T(X\... Xn
3
• intervalovým odhadem parametru 9 je interval (D, H), kde D, H jsou fce náh.výběru D = D(X\... Xn), H = H(X\... Xn) a který s dostatečně velkou pstí pokrývá hodnotu parametru 9
• typy bodových odhadu
1. nestranný ... hodnotu parám. 9 ani nepodhodnocuje, ani nenadhodnocuje ... ETn = 9
2. vychýlený ... není-li odhad nestranný, je vychýlený
3. asymptotický ... s rostoucím n se jeho přesnost zvětšuje
• vlastnosti bodových odhadu
• Xi,... Xn ... náh. výběr se střední hodnotou p, rozptylem a2.
1. M je nestranný odhadem p ... EM = p
2. DM = sl
n
3. S2 je nestranným odhadem a2 ... ES2 = a2
• (Xi, Yi),... (Xn, Yn) ...náhodný výběr z dvouroz. rozložení s kovariancí a 12 a koeficientem korelace p.
1. E(Si2) je nestranným odhadem a12 ... E(Si2) = o"12
2. ER\2 je asymptoticky nestranným odhadem p ... ER12 ~ p
Příklad 6.6. Ve 12-ti náhodně vybraných internetových obchodech byly zjištěny následující ceny deskriptoru artefaktů (v Kč): 102,99,106,103,96,98,100,105,103,98,104,107. Těchto 12 hodnot považujeme za realizace náhodného výběru X1}..., X12 z rozdělení, které má střední hodnotu p a rozptyl a2.
a) Určete nestranné bodové odhady neznámé střední hodnoty p a neznámého rozptylu a2.
b) Najděte výběrovou distribuční funkci Fi2(x) a nakreslete její graf.
ad a) Vypočteme realizaci výběrového průměru
1
m = —(102 + 99 + ••• + 107) = 101.75 Kč
Vypočteme realizaci výběrového rozptylu:
s2 = -L [(102 - 101.75)2 + (99 - 101.75)2 + • • • + (107 - 101.75)2] = 12.39 Kč2
x <-  c(96,   98,   98,   99,   100,   102,   103,   103,   104,   105,   106, 107) n <-  length(x) (m <- mean(x)) (s2  <- var(x))
#  Výberová  distribuční funkce t    <-  unique(sort(x)) y    <-  sort(x)
4
nt  <- length(t)
četnost <- NULL f or (i  in  1: nt) {
četnost [i]   <-  sum(y< = t [i] ) } Fx  <- cetnost/n t(round(Fx, digits=4))
# graf   výberové   distribuční funkce x <-  c(min(t)-1,t, max(t)+l) y <-  c (0 , Fx , 1)
plot(x,   y,   type='n',   xlab='x', ylab='F(x)',
main='Vyberovaudistribucniufunkce') abline(h=seq(0,1,by=0.1),   col='grey85') abline(v=seq(95,   108,by=2),   col='grey85 ' ) lines(x,y,   type='s',   col='red', lwd=2) arrows (96 , 0 , 95 , 0 ,   col = 'reď,   lwd = 2, length=0.1) arrows(107,1,108,1,   col='reď,   lwd=2, length=0.1)
Příklad 6.7. Z archivních materiálů (Schmidt, 1888) máme k dispozici původní kraniometricé údaje o výšce horní části tváře (v mm) u 13 mužů bantuské populace. Hodnoty výšky horní části tváře jsou 67, 67, 63, 68, 70, 70, 75, 74, 80, 77, 77, 67, 64.
a) Odhadněte střední hodnotu, rozptyl a směrodatnou odchylku výšky horní části tváře.
b) Odhadněte pravděpodobnost že výška tváře bantuského muže bude vyšší než 72 mm.
x  <-  c (67,   67,   63,   68,   70,   70,   75,   74,   80,   77,   77,   67, 64) x  <-  sort(x) n  <-  length(x) s2  <-  var(x) s     <-  sd(x)
Tab  <-  data.frame(m=m,   s2=s2,   s=s,   row.names='akcie') round(Tab, digits=2)
# P(X>=70)
pst   <-  sum(x>=70)/length(x) pst2  <-  1-sum(x<70)/length(x) round(pst,4) round(pst2 , 4)   # 0.5385
Poznámka: Dodělat analogicky pro zbylé populace a dát jako procvičovací příklady.
Příklad 6.8. Máme k dispozici antropometrické údaje mladých dospělých lidí, převážně studentů vysokých škol z Brna a Ostravy, konkrétně údaje o šířce hlavy (head.W), šířce tváře (bizyg.W) a šířce dolní čelisti (bigo.W). Dále máme u každého studenta uveden údaj o pohlaví (sex), přičemž v databázi máme celkem 75 mužů a 100 žen. Zaměřme se na údaje týkající se mužů. Najděte bodové odhady kovariance       a korelace p pro náhodné proměnné X\ ... šířka hlavy a X2 ... šířka tváře.
data  <-  read.delim('16-anova-head.txt', sep='\t')
muzi   <-  data[data$sex=='m' , ]
head.w <- muzi$head.W
bizyg.w  <- muzi$bizyg.W
cov(head.w,   bizyg.w)     # 31.83
cor(head.w,   bizyg.w)     # 0.6785
plot(head.w, bizyg.w)
5
6.3.1 INTERVALY SPOLEHLIVOSTI
• Xi... Xn ... náh.výběr z rozdělení L(6), 9 je parametr, a G (0,1)
• interval (D, H) ... 100(1 — a)% oboustranný IS pro parám. 9
• interval (D, oo)... 100(1 — a)% levostranný IS pro parám. 9
• interval (—oo, H)... 100(1 — a)% pravostranný IS pro parám. 9
• a se nazývá riziko, (1 — a) se nazývá spolehlivost.
6.3.2 Konstrukce intervalů spolehlivosti
• konečný tvar IS pro parám. 9 odvozujeme z příslušné pivotovy statistiky
• pivotová statistika = statistika, jejíž rozdělení je známé a nezávisí na parametru 9
— používá se také k testování hypotéz
• příklad odvození IS z pivotovy statistiky viz studijní materiály
Příklad 6.9. Vezměte data z příkladu 7.3. Vypočítejte
• 95 % empirický interval spolehlivosti pro střední hodnotu délky šířky čelisti u mužů. (106.4945; 109.132Í
• 95 % pravostranný empirický interval spolehlivosti pro střední hodnotu šířky dolní čelisti u mužů (-oo; 109.1352).
• 95 % levostranný empirický interval spolehlivosti pro střední hodnotu šířky dolní čelisti u mužů (106.4914; oo).
data  <-  read.delim('16-anova-head.txt', sep='\t')
muži   <-  data[data$sex=='m' , ]
head.w <- muzi$head.W
bizyg.w  <- muzi$bizyg.W
cov(head.w,   bizyg.w)     # 31.83
cor(head.w,   bizyg.w)     # 0.6785
plot(head.w, bizyg.w)
data  <-  read.delim('16-anova-head.txt', sep='\t') muzi   <-  data[data$sex=='m',] head.w <- muzi$head.W bizyg.w  <- muzi$bizyg.W bigo.w <- muzi$bigo.W
m  <- mean(bigo.w) s  <-  sd(bigo.w) alpha  <- 0.05 n  <-  length(bigo.w)
dh  <- m-s/sqrt(m)*qt(1-alpha/2, n-1) hh  <- m-s/sqrt(m)*qt(alpha/2, n-1)
round(dh, 4)
6
round(hh, 4)
dh  <- m-s/sqrt(n)*qt(1-alpha, n-1) dh
hh  <- m-s/sqrt(n)*qt(alpha, n-1) hh
Příklad 6.10. Při kontrolních zkouškách životnosti 16 žárovek byl stanoven odhad m = 3000 h střední hodnoty jejich životnosti. Z dřívějších zkoušek je známo, že životnost žárovky se řídí normálním rozdělením se směrodatnou odchylkou o = 20 h. Vypočtěte
a) 99% empirický interval spolehlivosti pro střední hodnotu životnosti (2987.1; 3012.9);
b) 90% levostranný empirický interval spolehlivosti pro střední hodnotu životnosti (29993.6; oo);
c) 95 % pravostranný empirický interval spolehlivosti pro střední hodnotu životnosti (—oo; 3008.2).
ad a)
d = m - ^=«i_a = 3000 - 4=2.57583 = 2987.1
y/TE
h = m - -^ua = 3000 + 4=2.57583 = 3012.9
. n V16
m <- 3000 s  <- 20 n <- 16
# a)
alpha  <- 0.01
(dh  <- m-s/sqrt(n)*qnorm(l-alpha/2)) (hh  <- m-s/sqrt(n)*qnorm(alpha/2))
2987h a 6 min < fi < 3012 h a 54 min s pravděpodobnostní 0.99.
ad b)
d = m - 4=«i-a = 3000 - 4==1-28155 = 2993.6
yi6
alpha  <- 0.1
(dh  <-m-s/sqrt(n)*qnorm(1-alpha)) 2993 h a 36 min < fi s pravděpodobnostní 0.9.
ad c)
a 20 h = m--=un = 3000 + -=1.95996 = 3008.2
n V16
alpha  <- 0.05 (hh  <- m-s/sqrt(n)*qnorm(alpha))
3009 h a 48 min > fi s pravděpodobnostní 0.95.
7