6 Číselné charakteristiky, Matematická statistika, Bodové a intervalové odhady parametrů 6.1 Výpočet číselných charakteristik náhodných veličin a-kvantily Příklad 6.1. Najděte medián a horní a dolní kvartil náhodné veličiny U ~ ÍV(0,1). 0; —0.6745; 0.6745 • Pravděpodobnost, že náhodná veličina U bude nabývat hodnoty menší nebo rovné............... je • Pravděpodobnost, že náhodná veličina U bude nabývat hodnoty menší nebo rovné............... je • Pravděpodobnost, že náhodná veličina U bude nabývat hodnoty menší nebo rovné............... je Příklad 6.2. Najděte dolní kvartil náhodné veličiny X ~ iV(3, 5). 1.491795 • Pravděpodobnost, že náhodná veličina X bude nabývat hodnoty menší nebo rovné ............... je Příklad 6.3. Určete kvantil Xo.02s(25)- 13.11972 • Pravděpodobnost, že náhodná veličina X bude nabývat hodnoty menší nebo rovné ............... je Příklad 6.4. Určete kvantily í0.99(30) a í0.05(14). 2.45726 2;-1.76131 • Pravděpodobnost, že náhodná veličina X bude nabývat hodnoty menší nebo rovné ............... je • Pravděpodobnost, že náhodná veličina X bude nabývat hodnoty menší nebo rovné ............... je Příklad 6.5. Určete kvantily F0.975(5, 20) a F0.05(2,10). 3.289056; 0.0515573 • Pravděpodobnost, že náhodná veličina X bude nabývat hodnoty menší nebo rovné ............... je • Pravděpodobnost, že náhodná veličina X bude nabývat hodnoty menší nebo rovné ............... je 6.2 Základní pojmy matematické statistiky • Statistiky - jednovýběrové: Necht Xi,..., Xn je náhodný výběr, n > 2. 1. Výběrový průměr n n ^ i=l 2. Výběrový rozptyl n S2 =--V(X2-M)2 n — 1 ^-^ i=l 3. Výběrová směrodatná odchylka S = \^ 4. Výběrová distribuční funkce Fn(x) .. .průměrný počet těch veličin Xi, pro něž platí Xi > x. 1 • Statistiky - dvouvýběrové: Necht (Xi, Yi),... (Xn, Yn) je náhodný výběr z dvourozměrného rozdělení. M\, Mi jsou výběrové průměry a Si, S2 jsou výběrové směrodatné odchylky. 1. Výběrová kovariance 2. Výběrový koeficient korelace 1 n S12 = ^2(Xi - MJiYi - M2) R12 S12 S1S2 6.3 Bodové a intervalové odhady parametrů Příklad 6.6. Ve 12-ti náhodně vybraných internetových obchodech byly zjištěny následující ceny deskriptoru artefaktů (v Kč): 102, 99,106,103, 96, 98,100,105,103, 98,104,107. Těchto 12 hodnot považujeme za realizace náhodného výběru X\,..., Xn z rozdělení, které má střední hodnotu /i a rozptyl a2. a) Určete nestranné bodové odhady neznámé střední hodnoty /i a neznámého rozptylu a2. b) Najděte výběrovou distribuční funkci F\2{x) a nakreslete její graf. Výberová distribucni funkce 1 J V- 96 98 100 102 104 106 108 Příklad 6.7. Z archivních materiálů (Schmidt, 1888) máme k dispozici původní kraniometricé údaje o výšce horní části tváře (v mm) u 13 mužů bantuské populace. Hodnoty výšky horní části tváře jsou 67, 67, 63, 68, 70, 70, 75, 74, 80, 77, 77, 67, 64. a. Odhadněte střední hodnotu, rozptyl a směrodatnou odchylku výšky horní části tváře. b. Odhadněte pravděpodobnost že výška tváře bantuského muže bude vyšší než 72 mm. m s2 s akcie 101.75 29.06 5.39 [1] 0.3846 ad a. Hodnota výběrového průměru výšky horní části tvářeje . a směrodatnou odchylkou ..........................mm. .mm s rozptylem..........................mm 2 ad b. Odhad pravděpodobnosti že výška tváře bantuského muže bude vyšší než 72 mm je................................ Příklad 6.8. Máme k dispozici antropometrické údaje mladých dospělých lidí, převážně studentů vysokých škol z Brna a Ostravy, konkrétně údaje o šířce hlavy (head.W), šířce tváře (bizyg.W) a šířce dolní čelisti (bigo.W). Dále máme u každého studenta uveden údaj o pohlaví (sex), přičemž v databázi máme celkem 75 mužů a 100 žen. Zaměřme se na údaje týkající se mužů. Najděte bodové odhady kovariance a korelace p pro náhodné proměnné X\ ... šířka hlavy a X2 ■ ■ ■ šířka tváře. [1] 31.83279 [1] 0.6785296 Hodnota výběrové kovariance mezi šířkou hlavy a šířkou tváře mužů je ....................mm, hodnota výběrového korelačního koeficientu je....................mm, což značí na význačný stupeň přímé lineární závislosti. INTERVALY SPOLEHLIVOSTI a. X\... Xn ... náh.výběr z rozdělení L(9), 9 je parametr, a € (0,1) b. interval (D, H) ... 100(1 — a)% oboustranný IS pro parám. 9 c. interval (D, 00)... 100(1 — a)% levostranný IS pro parám. 9 d. interval (—oo,H)... 100(1 — a)% pravostranný IS pro parám. 9 e. a se nazývá riziko, (1 — a) se nazývá spolehlivost. Příklad 6.9. Vezměte data z příkladu 7.3. Vypočítejte a. 95 % empirický interval spolehlivosti pro střední hodnotu délky šířky čelisti u mužů. [1] 106.2321 [1] 109.3946 b. 90 % pravostranný empirický interval spolehlivosti pro střední hodnotu šířky dolní čelisti u mužů. [1] 108.8395 c. 99 % levostranný empirický interval spolehlivosti pro střední hodnotu šířky dolní čelisti u mužů. [1] 105.9263 ad a............. % empirický IS pro střední hodnotu šířky dolní čelisti u mužů má tvar..................................... To znamená, že................................. < jj, < ................................. s pravděpodobností...................% . ad b............. % pravostranný empirický IS pro střední hodnotu šířky dolní čelisti u mužů má tvar............................. . To znamená, že jj, > ................................. s pravděpodobností...................% . ad c............. % levostranný empirický IS pro střední hodnotu šířky dolní čelisti u mužů má tvar................................ . To znamená, že jj, < ................................. s pravděpodobností...................% . Příklad 6.10. Při kontrolních zkouškách životnosti 16 žárovek byl stanoven odhad m = 3000 h střední hodnoty jejich životnosti. Z dřívějších zkoušek je známo, že životnost žárovky se řídí normálním rozdělením se směrodatnou odchylkou a = 20 h. Vypočtěte a) 99% empirický interval spolehlivosti pro střední hodnotu životnosti (2987.1; 3012.9); 3 [1] 2987.121 [1] 3012.879 b) 90% levostranný empirický interval spolehlivosti pro střední hodnotu životnosti (29993.6; oo); [1] 2993.592 c) 95% pravostranný empirický interval spolehlivosti pro střední hodnotu životnosti (—oo; 3008.2). [1] 3008.224 ad a............. % empirický IS pro střední hodnotu životnosti žárovek má tvar..................................... To znamená, že ................................. < jj, < ................................. s pravděpodobností...................% . ad b............. % pravostranný empirický IS pro střední hodnotu životnosti žárovek má tvar.................................... . To znamená, že jj, > ................................. s pravděpodobností...................% . ad c............. % levostranný empirický IS pro střední hodnotu životnosti žárovek má tvar .................................... . To znamená, že jj, < ................................. s pravděpodobností...................% . 4