7.1   Parametrické úlohy o jednom náhodném výběru z normálního rozdělení
Příklad 7.1. Víme, že výška hochů ve věku 9.5 až 10 let má normální rozdělení s neznámou střední hodnotou /j, a známým rozptylem a2 = 39.112 cm2. Dětský lékař náhodně vybral 15 hochů uvedeného věku, změřil je a vypočítal realizaci výběrového průměru m = 139.13 cm. Podle jeho názoru by výška hochů v tomto věku neměla přesáhnout 142 cm s pravděpodobností 0.95. Lze tvrzení lékaře akceptovat?
1. Test pomocí kritického oboru ## [1] -1.644854
Kritický obor má tvar ........................................... Protože .............................., Ho.................................. na
hladině významnosti a =..............................
2. Test pomocí intervalu spolehlivosti. ## [1] 141.7861
Interval spolehlivosti má tvar...........................................Protože.............................., Ho................................
na hladině významnosti a =..............................
3. Test pomocí p-hodnoty. ## [1] 0.03775549
p-hodnota vyšla.........................Protože p-hodnota....................., Hq..................................na hladině významnosti
a. =..............................
Příklad 7.2. Testování hypotézy o střední hodnotě fi: Systematická chyba měřícího přístroje se eliminuje nastavením přístroje a měřením etalonu, jehož správná hodnota je /i = 10.00. Nezávislými měřeními za stejných podmínek byly získány hodnoty: 10.24, 10.12, 9.91, 10.19, 9.78, 10.14, 9.86, 10.17, 10.05, které považujeme za realizace náhodného výběru rozsahu 9 z rozdělení iV(/i, <y2). Je možné při riziku 0.05 vysvětlit odchylky od hodnoty 10.00 působením náhodných vlivů?
Test normality:
## [1] 0.2873252
P-hodnota........................testu je........................, tedy nulovou hypotézu o normálním rozdělení náhodného výběru
.................................... na hladině významnosti a =.........................
Testování nulové hypotézy:
Na hladině významnosti a = 0.05 testujeme hypotézu H0 : ........................ proti oboustranné alternativě H\ :
a) Testování pomocí kritického oboru
## [1]  "tO = 0.9426" ## [1]  "wl = 2.306" ## [1]  "w2 = -2.306"
Testovací statistika ío nabývá hodnoty......................., kritický obor má tvar.....
Protože................................, Hq ........................na hladině významnosti a =
1
b) Testování pomocí intervalu spolehlivosti
## [1]  "dh = 9.9261" ## [1]  "hh = 10.1761"
...........................empirický interval spolehlivosti pro rozptyl a'1 má tvar................................................................
Protože.................................., nulovou hypotézu Hq............................na hladině významnosti a =.....................
c) Testování pomocí p-hodnoty
## [1]  "p-hodnota = 0.3735"
Protože p-hodnota je.................................... , nulovou hypotézu H0 ............................ na hladině významnosti
a =.............................
Poznámka: K otestování nulové hypotézy o střední hodnotě p můžeme použít funkci t.test(x) s argumentem mu=10 (hodnota c z nulové hypotézy) a argumentem alternative='two.sideď (oboustranná alternativa).
Příklad 7.3. Testování hypotézy o směrodatné odchylce a: U 25 náhodně vybraných dvoulitrových lahví s nealkoholickým nápojem byl zjištěn přesný objem nápoje. Výběrový průměr činil m = 1.991 a výběrová směrodatná odchylka s = 0.11. Předpokládejme, že objem nápoje v láhvi je náhodná veličina s normálním rozdělením. Na hladině významnosti a = 0.05 ověřte tvrzení výrobce, že směrodatná odchylka je 0.081.
Na hladině významnosti a = 0.05 testujeme hypotézu Hq : II: : .................................................
Hypotézy Hq a H\ převedeme na tvar Hq : .......................
a) Testování pomocí kritického oboru
.............proti................................alternativě
a Hi : .........................................
## [1] 37.5
## [1] 12.40115
## [1] 39.36408
Testovací statistika tg nabývá hodnoty................................, kritický obor má tvar................................................
Protože................................, Hq ........................na hladině významnosti a =.........................
b) Testování pomocí intervalu spolehlivosti
## [1] 0.006096929 ## [1] 0.01935304
95% empirický interval spolehlivosti pro střední hodnotu jj, má tva r........................................................................
Protože.................................., nulovou hypotézu H0............................na hladině významnosti a =.....................
c) Testování pomocí p-hodnoty ## [1] 0.0779636
Protože p-hodnota je.................................... , nulovou hypotézu Hq ............................ na hladině významnosti
2
7.2   Parametrické úlohy o rozdílu parametrů \i\ — /i2 dvourozměrného rozdělení
Příklad 7.4. Testování hypotézy o rozdílu parametrů yui — /j-2 dvourozměrného rozdělení: Bylo vybráno šest nových vozů téže značky a po určité době bylo zjištěno, o kolik mm se sjely jejich levé a pravé přední pneumatiky. Výsledky: (1.8,1.5), (1.0,1.1), (2.2,2.0), (0.9,1.1), (1.5,1.4), (1.6,1.4). Za předpokladu, že uvedené dvojice tvoří náhodný výběr z dvourozměrného rozdělení s vektorem středních hodnot (pi, /i2) a jejich rozdíly se řídí normálním rozdělením, testujte na hladině významnosti a = 0.05 hypotézu, že obě pneumatiky se sjíždí stejně rychle.
= 0.05 testujeme hypotézu Hq :................................... proti
............Testování provedeme párovým í-testem.
Označme jj, = fii — /i2- Na hladině významnosti a
oboustranné alternativě H\ :.......................................
Test normality:
## [1] 0.2873252
P-hodnota....................testu je.................................
výběru ............................. na hladině významnosti a =
a) Testování pomocí kritického oboru
, tedy nulovou hypotézu o normálním rozdělení náhodného 0.05.
## [1] 1.051758 ## [1] 2.570582 ## [1] -2.570582
Testovací statistika ío nabývá hodnoty................................, kritický obor má tvar..................................................
Protože................................, Hq ........................na hladině významnosti a =.........................
b) Testování pomocí intervalu spolehlivosti
## [1] -0.1203401 ## [1] 0.2870068
95% empirický interval spolehlivosti pro střední hodnotu jj, má tva r..........................................................................
Protože.................................., nulovou hypotézu Hq............................na hladině významnosti a =.......................
c) Testování pomocí p-hodnoty ## [1] 0.341062
P-hodnota....................testuje...................................., tedy nulovou hypotézu o normálním rozdělení náhodného
výběru ............................. na hladině významnosti a = 0.05.
Poznámka: K otestování nulové hypotézy o rozdílu parametrů /ii — /j.2 dvourozměrného rozdělení můžeme použít funkci t.test(x.y) s argumentem paired=T (párový test) a argumentem alternative='two.sideď (oboustranná alternativa).
3
7.3   Parametrické úlohy o jednom náhodném výběru z alternativního rozdělení
Příklad 7.5. Testování hypotézy o parametru 9 alternativního rozdělení: Určitá cestovní kancelář organizuje zahraniční zájezdy podle individuálních přání zákazníků. Z několika minulých let ví, že 30 % všech takto organizovaných zájezdů má za cíl zemi X. Po zhoršení politických podmínek v této zemi se cestovní kancelář obává, že se zájem o tuto zemi mezi zákazníky sníží. Ze 150 náhodně vybraných zákazníků v tomto roce má 38 za cíl právě zemi X. Potvrzují nejnovější data pokles zájmu o tuto zemi? Volte hladinu významnosti a = 0.05.
Máme náhodný výběr Xi,... ,Xi50 z rozdělení yl(0.3). Testujeme Ho : ................. proti levostranné alternativě
........................V tomto případě je testovacím kritériem statistika
Nejprve musíme ověřit splnění podmínky n6(l — 6) > 9: ..................................................
a) Testování pomocí kritického oboru
## [1] -1.247219 ## [1] -1.644854
Testovací statistika tg nabývá hodnoty .... Protože................................, Hq ..........
b) Testování pomocí intervalu spolehlivosti ## [1] 0.3117439
...........................empirický interval spolehlivosti pro parametr 6 má tvar...............................................................
Protože.................................., nulovou hypotézu Hq............................na hladině významnosti a =.....................
c) Testování pomocí p-hodnoty ## [1] 0.1061586
Protože p-hodnota je.................................... , nulovou hypotézu Hq ............................ na hladině významnosti
a =.............................
.............., kritický obor ma tvar
na hladině významnosti a =....
4