12   Korelační analýza
• PŘEDPOKLAD: DVOUROZMĚRNÁ NORMALITA DAT -> Grafické ověření: Tečkový graf + elipsa spolehlivosti
12.1   Pořadová nezávislost
• Dvourozměrný náhodný výběr (Xi, Yi), ..., (Xn, Yn)
• Ri ... pořadí hodnot náhodné veličiny X
• Qi ... pořadí hodnot náhodné veličiny Y
• Spearmanův koeficient pořadové korelace Rg
• cor(X, Y, method='spearman')
12.1.1     Testy o pořadové nezávislosti
• Hq : X a Y jsou pořadově nezávislé. ... H0 : p = 0
• Hi : X a Y nejsou pořadově nezávislé. ... Hi : p ^ 0
1. Exaktní test (n < 30)
• Testovací statistika T0 = \Rs\
• Kritický obor: W = (k; 1) —y tabulky
2. Asymptotický test (n > 20)
• Testovací statistika Tn = —.
y/T=Ws
• Kritický obor: W = (—oo ; ta/2(n — 2)) U (ŕi_a/2(w — 2); oo)
- ta/2(n-2) .. .qt(alpha/2, n-2)
• p-hodnota = 2min{Pr(To < to),Pr(To > to)}
- 2*min(pt(t0, n-2), l-pt(t0, n-2))
3. Asymptotický test (n > 30)
• Testovací statistika T0 = Rsy/n — 1
• Kritický obor: W = (—oo ; ua/2) U {ui_a/2 ; oo)
- ua/2 ... qnorm(alpha/2)
• p-hodnota = 2min{Pr(To < ío))Pr(7o > ^o)}
- 2*min(pnorm(t0), l-pnorm(tO))
• Rse(-1; i)
l
12.2   Lineární nezávislost
• Výběrový (Pearsonův) koeficient korelace J?12
T3      _ S™
-«12 —  c c ,
kde 5*12 je kovariance, Si je směrodatná odchylka výběru A", 5*2 je sm. odchylka výběru Y
• R12 E (-1; 1)
• cor(X, Y, method='pearson')
12.2.1     Testy o lineární nezávislosti
• Hq : X a Y jsou lineárně nezávislé. ... Hq : p = 0
• Hi : X a Y nejsou lineárně nezávislé. ... Hi : p 0
1. Exaktní přístup
• Testovací statistika
• Kritický obor: W = ( — oo ; ta/2(n — 2)) U {ti-a/2{n — 2); oo).
- ta/2(n-2) ...qt(alpha/2, n-2)
• Interval spolehlivosti
v/í?,/2("-2) +»-2' ^'í-../^"-2)-1-"-2,
• !!! iJ0 zamítáme, pokud R12    IS !!!
• p-hodnota = 2min{Pr(T0 < í0),Pr(T0 > í0)}
- 2*min(pt(t0, n-2), l-pt(tO, n-2))
2. Asymptotický přístup
• Z-transformace Z = - ln —*2
2     1 - i?l2
• Interval spolehlivosti
teh|Z-^L;Z ■ Ml-*/2
v7^ — 3 '       \Jn — 3 !!! iJ0 zamítáme, pokud p = 0    IS !!!
2
12.3   Test o dvou korelačních koeficientech
• dva nezávislé náhodné výběry o rozsazích n a n* s korelačními koeficienty p a p*
• H0: p = p*
• Z-transformace Z = - ln ■ ^
2    1 - R
12
1 1 + R* Z-transformace Z* = - ln-—
2 1-R*12
testovací statistika
u
Z - Z*
n — 3    n* — 3 • kritický obor W = (—oo ; wa/2) U (ui_a/2 ; oo) — wa/2 ... qnorm(alpha/2)
12.4   Interpretační tabulka hodnot Spearmanova a Pearsonova korelačního koeficientu
Abs.hod. korel.koef.	Interpretace hodnoty
0	pořadová (lineární) nezávislost
(0;0.1)	velmi nízký stupeň závislosti
[0.1; 0.3)	nízký stupeň závislosti
[0.30; 0.50)	mírný stupeň závislosti
[0.50; 0.70)	význačný stupeň závislosti
[0.70; 0.90)	vysoký stupeň závislosti
[0.90; 1)	velmi vysoký stupeň závislosti
1	úplná pořadová (lineární) závislost
3