6   Testy o dvou nezávislých náhodných výběrech
Nechť Xn .. .Xlni je náhodný výběr z rozdělení _/V(/Zi,er^) a X2i ■ ■ ■ X2n2 Je na něm nezávislý náhodný výběr z rozdělení N(n2, cf), přičemž m > 2 a n2 > 2. Označme Mi, M2 výběrové průměry a 52,     výběrové rozptyly a
£2 = ("i - l)sí + (n2 - 1)5?
«1 + ?Í2 — 2 je vážený průměr výběrových rozptylů. 1. Pivotová statistika
«1 íl 2
slouží k řešení úloh o /zi — /i2, když cr2 a cr2. známe.
2. Pokud o\ = cr| = cr2, pak pivotová statistika
r=^-M;\-^-^)~t(n1+n2-2)
slouží k řešení úloh o     - fj,2, když cr2,     neznáme, ale víme, že jsou shodné.
3. Pokud o\ = o\ = cr2, pak pivotová statistika
(ni+n2-2)5'2      2, , A =--~-~ X ("i + »2 - 2)
slouží k řešení úloh o neznámém společném rozptylu cr2.
4. Pivotová statistika
f - t_
T2 I „2
slouží k řešení úloh o
1
6.1    Dvouvýběrové testy - Kritické obory
1. Nechť Xn, .. .Xini je náhodný výběr z N(ni, er2), a X21, .. . X2n2 Je na něm nezávislý náhodný výběr z rozdělení -/V(/i2, er|), přičemž ri\ > 2, n2 > 2 a er2, er2 známe. Nechť c je konstanta.
• Testujeme H0 : fii — /z2 = c oproti ířn : /ii — /i2 7^ c, případně iř12 : /ii — /i2 < c, či iř13 : /Zi — /z2 > c.
• Takovýto test se nazývá dvouvýběrový z-test
• Realizace testové statistiky:
_ (mi - m2) - c
• kritický obor pro oboustrannou alternativu H\\\ W = {—oo;ua/2) U (iíi-q/2, 00)
• kritický obor pro levostrannou alternativu i?i2: W = (—oo;ua)
• kritický obor pro pravostrannou alternativu H13: W = (iíi_q,;oo)
ua je a kvantil standardizovaného normálního rozdělení .. . qnorm(alpha,0,l).
2. Nechť Xn, .. -Xini je náhodný výběr z N(ni, cr2), a X21, ■ ■ ■ ^2n2 Je na něm nezávislý náhodný výběr z rozdělení -/V(/i2, er2), přičemž n± > 2, n2 > 2 a cr2 neznáme. Nechť c je konstanta.
• Testujeme ířg : Mi — M2 = c oproti iín : /ii — /i2 7^ c, případně íři2 : /zi — /z2 < c, či .H13 : /ii — /i2 > c.
• Takovýto test se nazývá dvouvýběrový t-test
• Realizace testové statistiky:
_ (mi - m2) - c to —-1
• kritický obor pro oboustrannou alternativu H\\\ W = (—00; íQ/2(ni + n2 — 2)) U (íi-Q/2(?zi + n2 — 2), 00)
• kritický obor pro levostrannou alternativu i?i2: W = (—00; ta{n\ + n2 — 2))
• kritický obor pro pravostrannou alternativu H13: W = (íi-Q(n1 + n2 — 2); 00)
íQ(n1 + n2 — 2) je a kvantil Studentova rozdělení o rii + n2 — 2 stupních volnosti . .. qt(alpha,nl+n2-2).
3. -
4. Nechť Xn, .. -Xini je náhodný výběr z N(ni, cr2), a X21, .. . X2„2 je na něm nezávislý náhodný výběr z rozdělení -/V(/i2, er2), přičemž ni > 2, n2 > 2.
cr2 cr2 a2 a2
• Testujeme iŕg : ~k = 1 oproti iín : -j- 7^ 1, případně i3i2 : -j- < 1 či H13 : -j- > 1.
<T2 <T2 <T2 <T2
• Takovýto test se nazývá F-test.
• Realizace testové statistiky:
• kritický obor pro oboustrannou alternativu H\\\ W = (0; -F1Q,/2(n1 — 1, n2 — 1)) U (-Fi-q/2(?t.1 — 1, n2 — 1), 00)
• kritický obor pro levostrannou alternativu i?i2:      = (0; Fa{n\ — l,n2 — 1))
• kritický obor pro pravostrannou alternativu H13:      = {F\-a{n\ — l,n2 — 1); 00)
— 1, Ti2 — 1) je a kvantil Fisher-Snedecorova rozdělení o n\ — 1 a n2 — 1 stupních volnosti ... qf(alpha,nl-l,n2-l).
2
6.2   Intervaly spolehlivosti
1. IS pro /ii — H2, když o\,o\ známe (využití statistiky U) (a) Oboustranný IS (d, h):
m1-m2- \ — + —ux-a.li ;m1-m2- \ — + —ua/2
(b) Levostranný IS (d;oo):
(c) Pravostranný IS (—oo;/i):
mi — m2 — \ — H--00
V «1 «2
-oo; ra\ — m2 — \--1--uc
V ni n2
ua je a kvantil standardizovaného normálního rozdělení .. . qnorm(alpha,0,l). 2. IS pro ni — /j,2, když o\,a\ neznáme, ale víme, že jsou shodné (využití statistiky T) (a) Oboustranný IS (d, h):
m1-m2-s*\l— + — íi-Q/2(ni +n2-2);ra1-ra2 - s*\ ~~ + ~ Wafai + n2 - 2) u ni     n2       ' y ni n2
(b) Levostranný IS (d;oo):
(c) Pravostranný IS (—oo;h):
mi — m2 — s*W--1--ri_q,(ni + n2 — 2) ; oo
u ni n2
-oo ; mi — m2 — s* < /--1--rQ (ni + n2 — 2)
u ni n2
ta(ni + n2 — 2) je a kvantil Studentova rozdělení o ni + n2 — 2 stupních volnosti . .. qt(alpha,nl+n2-2). 3. IS pro společný neznámý rozptyl a2 (využití pivotové statistiky K) (a) Oboustranný IS (d, h):
(ni +n2- 2)s2 (m +n2- 2)í
(b) Levostranný IS (d, oo)
x\-a/2{ni + n2 - 2) ' X2a/2(ni + n2 - 2) ^
(ni +n2 - 2)S2 XÍ-a(ni +n2 - 2) '
(ni+n2-2)s;;
(c) Pravostranný IS (—oo; h)
—oo ;
Xa(ni + n2 ~~ 2) je a kvantil \2 rozdělení o ni + n2 — 2 stupních volnosti . .. qchisq(alpha,nl+n2-2). 4. IS pro podíl rozptylů —\ (využití pivotové statistiky F) (a) Oboustranný IS (d, h):
s\js\ sí/s2
(b) Levostranný IS (d; oo)
(c) Pravostranný IS (—oo; h)
Fi-a/2{ni - l,n2 - 1) ' Fa/2(ni - l,n2 - 1) Fi-a{ni - l,n2 - 1) '
FQ(ni - l,n2 - 1)/
Fa(ni — 1, n2 — 1) je a kvantil Fisher-Snedecorova rozdělení o ni — 1 a n2 — 1 stupních volnosti ... qf(alpha,nl-l,n2-l).
3