logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Hřebíček, J. Kalina Populační modely Model růstu populace 2. domácí úloha 4. Model růstu populace Bi3101 Úvod do matematického modelování logo-IBA logomuni —Populační modely řeší odpověď na otázku kolik jedinců bude mít modelovaná populace v daném čase t > 0, pokud známe tento počet na počátku (v čase t = 0). —Modely růstu populace patří k nejrozšířenějším a nejznámějším. •Populační modely logo-IBA logomuni —Nejjednodušším populačním modelem je model exponenciálního růstu: ¡Předpokládejme, že změna velikosti N(t) populace v čase je způsobena pouze plozením nových jedinců a umíráním jiných. ¡Předpokládejme, že počet nově narozených, respektive zemřelých jedinců je přímo úměrný velikosti populace. ¡Hledáme řešení modelu, tj. velikost N(t) populace v čase t. Čas t budeme uvažovat buď jako diskrétní veličinu nabývající celočíselných hodnot (mohou představovat například roky, obecně generace), nebo jako spojitou veličinu. •Model neomezeného růstu populace logo-IBA logomuni —Na základě vyslovených předpokladů jsme schopni sestavit rovnici modelu. Označme : ¡N(t) funkci představující počet jedinců populace v čase t, ¡a koeficient porodnosti populace (podíl nově narozených jedinců vůči všem jedincům za jednotku času), ¡b koeficient úmrtnosti populace (podíl zemřelých jedinců vůči všem jedincům za jednotku času), ¡h délku časového intervalu (kladné reálné číslo). ¡ •Model neomezeného růstu populace logo-IBA logomuni —Velikost populace se nicméně nemůže exponenciálně zvyšovat do nekonečna. Prostor, v němž populace žije, je omezený, podobně jako množství živin, které má k dispozici. —Doplňme proto předpoklad modelu, že úmrtnost se bude zvyšovat se zvětšující se populací: ¡Nejjednodušší způsob závislosti je lineární závislost. Koeficient úmrtnosti tedy nebudeme již chápat jako konstantní číslo, ale jako rostoucí lineární funkci. ¡Koeficient úmrtnosti: b + c · N(t) , kde b, c jsou reálná nezáporná čísla. —Podobně jako dříve získáme rovnice modelu: ¡Diskrétní případ: N(t + 1) = (1 + a – b) · N(t) – c · N(t)2; N(0) = N0 ¡Spojitý případ: N‘ (t) = (a – b) · N(t) – c · N(t)2; N(0) = N0 •Modifikace modelu logo-IBA logomuni •Modifikace modelu logo-IBA logomuni Domácí úkol č. 2