logo-IBA
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Hřebíček, J. Kalina
Model dvou interagujících populací
Společenstva více druhů
6. Interagující populace
Bi3101 Úvod do matematického modelování

logo-IBA logomuni
•Vzájemné ovlivnění populací přes prostředí


logo-IBA logomuni
—Nalezněte vhodný předpis pro funkce κ1(N2) a κ2(N1) splňující následující podmínky:
¡Funkce κi nechť jsou spojité a hladké na oboru <0; ∞).
¡Funkce κi nechť jsou neklesající na oboru <0; ∞).
¡Je-li velikost (té druhé) populace Nj=0, zůstává κi(0)= Ki.
¡Naopak pro Nj→∞ se hodnota ustálí na nějaké konstantě κi(∞)= Ci.
—
—Ve specifických případech může být komensalizmus neomezený (tj. Ci = ∞).
¡
—
•Příklad

logo-IBA logomuni
—Varianty vzájemného ovlivnění dvou populací přes prostředí (ekologická klasifikace):
¡Ki = Ci neutrální vztah (žádný vliv),
¡Ki > Ci populace soupeří (amensály),
¡Ki < Ci populace jsou na sobě závislé (komensály), přičemž:
÷pokud Ki = 0, je j-tá populace obligátním komenzálem i-té populace (i-tá populace nemůže přežít v
nepřítomnosti j-té),
÷pokud Ki > 0, je j-tá populace fakultativním komenzálem i-té populace (i-tá populace může přežít i
bez j-té).
¡
—Amensalismus je populační vztah, při němž jedna populace uvolňuje do prostředí odpadní produkt
nebo speciální látku, která populaci jiného druhu ovlivňuje negativně (potlačuje růst a vývoj, může
způsobit i zánik).
—Komensalismus je populační vztah, při němž jedna populace využívá jinou bez jejího poškozování
(jedna populace má ze vztahu prospěch, druhá není ovlivněna)
•Vzájemné ovlivnění populací přes prostředí

logo-IBA logomuni
—Využijte předpis funkcí κ1(N2) a κ2(N1) z předchozího příkladu, navrhněte jejich vhodné parametry
a nahraďte jimi koeficienty úživnosti K1 a K2 z původní rovnice.
—Řešte takto získanou soustavu dvou rovnic pro spojitý případ s nastavením parametrů tak, aby šlo
o:
1.konkurenční vztah dvou populací (oboustranně negativní ovlivnění)
2.symbiózu obou populací (oboustranně výhodné ovlivnění),
3.predaci (navzájem pozitivní a negativní ovlivnění populací).
—Zjistěte, jaký vztah se nazývá „orgie vzájemné dobročinnosti“, navrhněte a řešte jemu odpovídající
model.
¡
—
•Příklad

logo-IBA logomuni
•Vzájemné ovlivnění populací přes přírůstek


logo-IBA logomuni
—Navrhněte soustavu Lutkových-Volterrových rovnic dvou populací.
—Řešte takto získanou soustavu pro spojitý případ s nastavením parametrů tak, aby šlo o:
1.konkurenční vztah dvou populací (oboustranně negativní ovlivnění)
2.predaci (navzájem pozitivní a negativní ovlivnění populací).
—
•Příklad

logo-IBA logomuni
—Existují i komplikovanější populační modely, kde se kombinují oba dříve zmíněné principy.
—Model Leslieho typu předpokládá, že:
¡populace predátora zmenšuje relativní přírůstek populace kořisti
¡populace kořisti zvětšuje úživnost prostředí pro populaci predátora.
—Velikost populace kořisti vlastně určuje velikost úživnosti prostředí pro populaci predátora.
Pokud by tedy byla populace kořisti neomezená, byla by neomezená i úživnost.
¡
—
•Model dravec-kořist Leslieho typu

logo-IBA logomuni
•Model dravec-kořist Gauseho typu


logo-IBA logomuni
—Řešte libovolný model dravec-kořist Leslieho typu.
—Řešte libovolný model dravec-kořist Gauseho typu.
•Příklad