Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Biostatistika
Opakování
Shrnutí statistických testů
Neparametrické testy
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Co byste měli umět z minula:
1. Vybrat typ parametrického testu – jednovýběrový, párový nebo
dvouvýběrový?
2. Ověřit předpoklady parametrických testů (normalitu, shodu
rozptylů; graficky i pomocí testů).
3. Provést testování v softwaru Statistica.
4. Interpretovat výsledky testování.
Základní rozhodování o výběru statistických testů
- co jsme probírali minule
Typ dat
Spojitá x spojitá
data
Spojitá x
kategoriální data
Kategoriální x
kategoriální data
Jeden výběr Dva výběry
Tři a více
výběrů
(nepárově)
Jeden výběr Více výběrů
Párová data
Nepárová
data
Pearsonův
koeficient
Jednovýběrový
t-test, z-test
Párový t-test
Dvouvýběrový
t-test
ANOVA
Párová data
Nepárová
data
Chí-kvadrát
test
Spearmanův
koeficient
Wilcoxonův /
znaménkový
test
Wilcoxonův /
znaménkový
test
MannůvWhitneyův
/
mediánový t.
KruskalůvWallisův
test /
mediánový t.
Jednovýběrový
binomický test
McNemarův
test
Fisherův
exaktní test
Parametrické testy
Neparametrické testy
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
E. Janoušová, L. Dušek
Základní rozhodování o výběru statistických testů
- co budeme probírat dnes
Typ dat
Spojitá x spojitá
data
Spojitá x
kategoriální data
Kategoriální x
kategoriální data
Jeden výběr Dva výběry
Tři a více
výběrů
(nepárově)
Jeden výběr Více výběrů
Párová data
Nepárová
data
Pearsonův
koeficient
Jednovýběrový
t-test, z-test
Párový t-test
Dvouvýběrový
t-test
ANOVA
Párová data
Nepárová
data
Chí-kvadrát
test
Spearmanův
koeficient
Wilcoxonův /
znaménkový
test
Wilcoxonův /
znaménkový
test
MannůvWhitneyův
/
mediánový t.
KruskalůvWallisův
test /
mediánový t.
Jednovýběrový
binomický test
McNemarův
test
Fisherův
exaktní test
Parametrické testy
Neparametrické testy
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
E. Janoušová, L. Dušek
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Parametrické vs. neparametrické testy
Parametrické testy
Neparametrické testy
• Mají předpoklady o rozložení vstupujících dat (např. normální rozložení)
• Při stejném N a dodržení předpokladů mají vyšší sílu testu než testy neparametrické
• Pokud nejsou dodrženy předpoklady parametrických testů, potom jejich síla testu
prudce klesá a výsledek testu může být zcela chybný a nesmyslný
• Vyžadují méně předpokladů o rozložení vstupujících dat, lze je tedy použít i při
asymetrickém rozložení, odlehlých hodnotách, či nedetekovatelném rozložení
• Snížená síla těchto testů je způsobena redukcí informační hodnoty původních dat, kdy
neparametrické testy nevyužívají původní hodnoty, ale nejčastěji pouze jejich pořadí
• Souvisí s malou velikostí souboru (nejsme schopni normalitu dat ověřit)
Proč nemusí parametrický a neparametrický test vyjít stejně?
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Jednovýběrový Wilcoxonův test
Jednovýběrový znaménkový test
1. Statistické testy o
parametrech jednoho výběru
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Jednovýběrový Wilcoxonův test
• Předpokladem je symetrické rozdělení dat kolem mediánu.
• Testuje, zda je medián jednoho výběru roven hodnotě c (v případě párového designu je x0.5
reprezentováno mediánem rozdílu hodnot)
H0: x0.5=c proti H1: x0.5≠ c.
Postup:
1. Spočítáme rozdíly hodnot výběru s testovanou hodnotou mediánu.
2. Absolutní hodnoty rozdílů uspořádáme vzestupně a přiřadíme jim pořadí.
3. Spočítáme statistiky Sw
+ a Sw
-, které odpovídají součtu pořadí kladných (Sw
+) a záporných rozdílů (Sw
-).
Jako finální hodnotu testové statistiky bereme minimum z Sw
+ a Sw
-. Nulovou hypotézu zamítáme,
pokud hodnota testové statistiky menší nebo rovna tabelované kritické hodnotě (při dané hladině
významnosti a počtu nenulových rozdílů).
nebo
3. Pro N > 30 lze využít asymptotické normality statistiky Sw
+
Pokud |Z|≥ u1-α/2 zamítáme nulovou hypotézu, že medián výběru je roven hodnotě c.
4
)1(
)(


nn
SE w
24
)12)(1(
)(


nnn
SD w )1,0(
)(
)(
N
SD
SES
Z
w
ww




Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Jednovýběrový znaménkový test
• Lze použít v situaci, kdy není splněn předpoklad symetrie rozdělení kolem mediánu.
• Testuje, zda je medián jednoho výběru roven hodnotě c (v případě párového designu je x0.5
reprezentováno mediánem rozdílu hodnot)
H0: x0.5=c proti H1: x0.5≠ c.
Postup:
1. Spočítáme rozdíly hodnot výběru s testovanou hodnotou mediánu.
2. Spočítáme statistiku Sz
+, která odpovídá počtu kladných rozdílů → test nevyužívá hodnot pořadí
původních dat, ale pouze informaci, zda se hodnota realizuje nad nebo pod mediánem → dochází ke
snížení síly testu
3. Nulovou hypotézu zamítáme, pokud statistika Sz
+ realizuje v kritickém oboru hodnot W=(0,k1)U(k2,n),
kde n odpovídá počtu nenulový rozdílů a hodnoty k1 a k2 lze dohledat v matematických tabulkách.
nebo
3. Pro N > 20 lze využít asymptotické normality statistiky Sz
+.
Pokud |Z|≥ u1-α/2 zamítáme nulovou hypotézu, že medián výběru je roven hodnotě c.
2
)(
n
SE z 
4
)(
n
SD z  )1,0(
)(
)(
N
SD
SES
Z
z
zz




 U 15 náhodně vybraných pacientů byla vyhodnocena doba, kterou museli strávit v čekárně, než
byli sestrou pozváni do ordinace. Na 5% hladině významnosti testujte nulovou hypotézu, že
medián čekací doby je roven půl hodině.
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Příklad 1: jednovýběrový test
 U 15 náhodně vybraných pacientů byla vyhodnocena doba, kterou museli strávit v čekárně, než
byli sestrou pozváni do ordinace. Na 5% hladině významnosti testujte nulovou hypotézu, že
medián čekací doby je roven půl hodině.
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Příklad 1: jednovýběrový test
– Wilcoxonův test
Pacient č.
čekací doba
(min)
medián rozdíl |rozdíl| pořadí
1 1 30 -29 29 15
2 45 30 15 15 10
3 25 30 -5 5 3.5
4 15 30 -15 15 10
5 34 30 4 4 2
6 19 30 -11 11 8
7 31 30 1 1 1
8 25 30 -5 5 3.5
9 8 30 -22 22 14
10 12 30 -18 18 12
11 20 30 -10 10 6
12 15 30 -15 15 10
13 40 30 10 10 6
14 20 30 -10 10 6
15 10 30 -20 20 13
Sw
+=19
Sw
-=101
min (Sw
+,Sw
-)=19
Kritická hodnota w15(0,05)=25
Hodnota testové statiky je menší
než kritická hodnota → zamítáme H0
 U 15 náhodně vybraných pacientů byla vyhodnocena doba, kterou museli strávit v čekárně, než
byli sestrou pozváni do ordinace. Na 5% hladině významnosti testujte nulovou hypotézu, že
medián čekací doby je roven půl hodině.
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Příklad 1: jednovýběrový test
– Znaménkový test
Pacient č.
čekací doba
(min)
medián rozdíl
Větší než
medián?
1 1 30 -29 Ne
2 45 30 15 Ano
3 25 30 -5 Ne
4 15 30 -15 Ne
5 34 30 4 Ano
6 19 30 -11 Ne
7 31 30 1 Ano
8 25 30 -5 Ne
9 8 30 -22 Ne
10 12 30 -18 Ne
11 20 30 -10 Ne
12 15 30 -15 Ne
13 40 30 10 Ano
14 20 30 -10 Ne
15 10 30 -20 Ne
Sz
+=4
Kritický obor: W=(0,3)U(12,15)
Hodnota statistiky se realizuje mimo
kritický obor hodnot → nezamítáme H0
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Příklad 1: Řešení v softwaru Statistica I
3
• V menu Statistics zvolíme
Nonparametrics,
vybereme Comparing two
dependent samples (variables)
2
• Datový soubor si připravíme
tak, že první proměnná
obsahuje testované hodnoty a
druhá proměnná medián,
který chceme testovat
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
• Vybereme proměnné,
které chceme testovat
(testovaný parametr, medián)
• Kliknutím na Sign test a následně
Wilcoxon matched pair test získáme
výsledky znaménkového a jednovýběrového
Wilcoxonova testu
Příklad 1: Řešení v softwaru Statistica II
3
2
Příklad 1: Řešení v softwaru Statistica III
Počet nenulových rozdílů
Testová statistika: min (Sw
+,Sw
-)
Statistika a p-hodnota pro
asymptotickou variantu testu
(používat pouze pro N > 30)
Počet nenulových rozdílů
Podíl hodnot menších než testovaný medián
Statistika a p-hodnota pro
asymptotickou variantu testu
(používat pouze pro N > 20)
1) Výstup Wilcoxonova testu
2) Výstup znaménkového testu
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Nepárový Mannův-Whitneyův test
Párový Wilcoxonův a znaménkový test
2. Statistické testy o
parametrech dvou výběrů
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Mannův-Whitneyův U test
• Neparametrická alternativa dvouvýběrového t-testu.
• Počítá s pořadím dat v souborech namísto s originálními daty.
• Předpoklad: rozdělení pravděpodobnosti veličiny ve skupinách se může lišit pouze posunutím.
Postup:
1. Stanovíme nulovou a alternativní hypotézu (F(x)=distribuční funkce):
H0: F(x1)=F(x2)
H1: F(x1)≠ F(x2).
2. Čísla obou souborů jsou sloučena a je určeno jejich pořadí v tomto sloučeném souboru.
3. Pro oba výběry zvlášť je spočítán součet pořadí (T1 a T2).
4. Ze součtů pořadí ve skupinách je určena finální hodnota testové statistiky U.
5. Hodnotu testové statistiky U porovnáme s kritickou hodnotou testu, pokud je tato hodnota menší
než kritická hodnota testu, zamítáme nulovou hypotézu shody distribučních funkcí obou skupin.
1
11
211
2
)1(
T
nn
nnU 

 2
22
212
2
)1(
T
nn
nnU 


),min( 21 UUU 
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Mannův-Whitneyův U test
– asymptotická varianta
5. Pro velká n1 a n2 (>30) lze využít asymptotické normality statistiky U.
6. Pro testování lze využít Z-statistiky:
7. Pokud |Z|≥ u1-α/2 zamítáme nulovou hypotézu o shodnosti distribučních funkcí.
2
)(
21nn
UE 
12
1
)(
)21(21 

nnnn
UD
)1,0(
)(
)(
N
UD
UEU
Z 


Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Mannův-Whitneyův U test
Mann Whitney U-test
• Stejně jako řada jiných neparametrických testů počítá i
tento test s pořadím dat v souborech namísto
s originálními daty. Jde o neparametrickou obdobu
nepárového t-testu a z těchto neparametrických testů
má nejvyšší sílu testu (95% párového t-testu).
• V případě Mann-Whitney testu jsou nejprve čísla obou
souborů sloučena a je vytvořeno jejich pořadí v tomto
sloučeném souboru, pak jsou hodnoty vráceny do
původních souborů a nadále se pracuje již jen s jejich
pořadím.
• Pro oba soubory je tedy vytvořen součet pořadí a
menší z obou součtů je porovnán s kritickou hodnotou
testu, pokud je tato hodnota menší než kritická hodnota
testu, zamítáme nulovou hypotézu shody distribučních
funkcí obou skupin.
X1 X2
27 25
35 29
38 31
37 23
39 18
29 17
41 32
19
ALL
Rank
ALL
25 5
29 7,5
31 9
23 4
18 2
17 1
32 10
19 3
27 6
35 11
38 13
37 12
39 14
29 7,5
41 15
X1
rank
X2
rank
6 5
11 7,5
13 9
12 4
14 2
7,5 1
15 10
3
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Příklad 2: Mannův-Whitneyův U test
 17 štěňat bylo trénováno v chození na záchod metodou pozitivní
motivace (pochvala, když jde na záchod venku) nebo negativní
motivace (trest, když jde na záchod doma). Jako parametr bylo
měřeno, za kolik dní je štěně vycvičeno.
 Nulová hypotéza je, že není rozdíl v metodách tréninku, tedy, že
oběma metodami je štěně vycvičeno za stejnou dobu.
 Po srovnání rozložení + kvůli nízkému počtu hodnot je vhodné
použít neparametrický test.
 Je vytvořeno pořadí hodnot v kompletním souboru.
 Hodnota testové statistiky je určena ze součtu pořadí hodnot
v jednotlivých skupinách.
 Jak dopadne testování?
pozitivne
negativne
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
délkavýcviku
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Příklad 2: Řešení v softwaru Statistica I
3
• V menu Statistics zvolíme
Nonparametrics ,
vybereme Comparing two
independent samples (groups)
2
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
• Vybereme proměnné,
které chceme testovat
• p-value for highlightingÚroveň
p lze změnit
• Kliknutím na Mann-Whitney U test,
nebo na M-W U test
získáme výstupy
Příklad 2: Řešení v softwaru Statistica II
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Součet pořadí T1
Součet pořadí T2
Hodnota testové statistiky
Hodnota Z statistiky
Asymptotická p-hodnota
Přesná p-hodnota
(použít, jestliže rozsah výběru je menší než 30)
Příklad 2: Řešení v softwaru Statistica III
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Párový Wilcoxonův a znaménkový test
 Vycházíme z rozdílů párových hodnot a přecházíme na design jednovýběrových testů
• Testuje, zda je medián diferencí (D) párových hodnot roven hodnotě c
H0: D0.5=c proti H1: D0.5≠ c.
Wilcoxonův párový test
1. Spočítáme rozdíly diferencí výběru s testovanou hodnotou mediánu = c.
2. Absolutní hodnoty rozdílů uspořádáme vzestupně a přiřadíme jim pořadí.
3. Spočítáme statistiky Sw
+ a Sw
-, které odpovídají součtu pořadí kladných (Sw
+) a záporných rozdílů
(Sw
-). Jako finální hodnotu testové statistiky bereme minimum z Sw
+ a Sw
-. Nulovou hypotézu
zamítáme, pokud hodnota testové statistiky menší nebo rovna tabelované kritické hodnotě (při
dané hladině významnosti a počtu nenulových rozdílů).
Znaménkový párový test
1. Spočítáme rozdíly diferencí výběru s testovanou hodnotou mediánu = c.
2. Spočítáme statistiku Sz
+, která odpovídá počtu kladných rozdílů → test nevyužívá hodnot pořadí
původních dat ale pouze informaci, zda se hodnota realizuje nad nebo pod mediánem → dochází
ke snížení síly testu
3. Nulovou hypotézu zamítáme, pokud statistika Sz
+ realizuje v kritickém oboru hodnot
W=(0,k1)U(k2,n), kde n odpovídá počtu nenulový rozdílů a hodnoty k1 a k2 lze dohledat v
matematických tabulkách.
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Příklad 3: Wilcoxonův párový test
pacient Před podáním léku Po podání léku Diference (D) Pořadí
1 142 138 4 4,5
2 140 136 4 4,5
3 144 147 -3 3
4 144 139 5 7
5 142 143 -1 1
6 146 141 5 7
7 149 143 6 9,5
8 150 145 5 7
9 142 136 6 9,5
10 148 146 2 2
Sw
+ …..součet pořadí přes kladné hodnoty rozdílů = 51
Sw
- …..součet pořadí přes záporné hodnoty rozdílů = 4
min(Sw
+;Sw
-) = 4
počet párů = n = 10
wn(α)= w10(0,05)=8
• Na 5% hladině významnosti testujte, zda se liší hladina krevního parametru
před a po podání léku. H0: D0.5=0 proti H1: D0.5≠ 0.
Hodnota testové statiky je menší
než kritická hodnota → zamítáme H0
Příklad 3: Řešení v softwaru Statistica I
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
3
• V menu Statistics zvolíme Nonparametrics ,
vybereme Comparing two dependent samples (variables)
2
Pozn.: Pokud bychom chtěli
testovat c různé od 0,
musíme vstupní data
uspořádat tak, že první
proměnná bude obsahovat
diference párových hodnot a
druhá proměnná testovanou
hodnotu mediánu c.
Příklad 3: Řešení v softwaru Statistica II
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
• Vybereme proměnné,
které chceme testovat
• p-value for highlightingÚroveň
p lze změnit
• Kliknutím na Wilcoxon matched pairs test,
získáme výstupy:
Rozsah výběru
Hodnota testovací statistiky
Hodnota asymptotické testové statistiky
Asymptotická p-hodnota
POZOR: podmínka pro použití
asymptotické p-hodnoty je: n≥ 30
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
• Vybereme proměnné,
které chceme testovat
• p-value for highlightingÚroveň
p lze změnit
• Kliknutím na Sign test (párový znaménkový
test) získáme výstupy:
Hodnota asymptotické testové statistiky Asymptotická p-hodnota
Počet nenulových hodnot, z nich záporných je 20%.
POZOR: podmínka pro použití
asymptotické p-hodnoty je: n > 20
Příklad 3: Řešení v softwaru Statistica III
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Kruskalův-Wallisův test
3. Statistické testy o
parametrech tří a více výběrů
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Kruskalův-Wallisův test I
• Neparametrická alternativa analýzy rozptylu (ANOVA)
• Zobecnění Mannova-Whitneyova U testu pro více než dvě srovnávané skupiny.
• Počítá s pořadím dat v souborech namísto s originálními daty.
• Nulová hypotéza předpokládá stejné rozdělení pravděpodobnosti veličiny ve
více skupinách.
• Předpoklad: rozdělení pravděpodobnosti veličiny ve skupinách se může lišit
pouze posunutím.
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Kruskalův-Wallisův test II
Postup:
1. Stanovíme nulovou a alternativní hypotézu pro k skupin (F(x)=distribuční funkce):
H0: F(x1) = F(x2) = … = F(xk)
H1: alespoň jedna F(xi) se liší od ostatních
2. Čísla obou souborů jsou sloučena a je určeno jejich pořadí v tomto sloučeném souboru.
3. Pro všechny výběry zvlášť je spočítán součet pořadí (T1, T2, … Tk).
4. Ze součtů pořadí ve skupinách je určena finální hodnota testové statistiky Q:
5. Pokud je Q ≥ χ2 (k-1), zamítáme nulovou hypotézu. Pro malé velikosti vzorků určujeme
kritický obor z tabulek pro Kruskalův-Wallisův test.
6. V případě zamítnutí nulové hypotézy pomocí metod mnohonásobného porovnávání
určíme, které dvojice skupin se liší.
)1(3
)1(
12
1
2


 
n
n
T
nn
Q
k
j j
j
Příklad 4: Kruskalův-Wallisův test
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Iris virginica Iris versicolor Iris setosa
 Bylo získáno 150 kosatců pocházejících ze tří základních tříd: Iris setosa, Iris versicolor, Iris
virginica. Z botaniky je známo že Iris versicolor je hybridem zbývajících dvou druhů. U
květů byly měřeny následující údaje: délka a šířka kališních lístků, délka a šířka korunních
plátků.
 Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že se délka kališních lístků (proměnná
SEPALLEN) u třech tříd kosatců neliší. Pokud zamítnete nulovou hypotézu, zjistěte, které
dvojice tříd se od sebe liší.
Příklad 4: Řešení v softwaru Statistica I
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
• nejprve se pomocí
grafu podíváme na
rozložení dat v rámci
srovnávaných skupin
Median
25%-75%
Non-Outlier Range
Outliers
Extremes
SETOSA VIRGINIC VERSICOL
Typ kosatce
4.0
4.5
5.0
5.5
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
8.5
Délkakališníchlístků
Příklad 4: Řešení v softwaru Statistica II
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
3
• V menu Statistics zvolíme
Nonparametrics ,
vybereme Comparing multiple
indep. samples (groups)
2
Příklad 4: Řešení v softwaru Statistica II
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
• Vybereme proměnné,
které chceme testovat
• p-value for highlightingÚroveň
p lze změnit
• Kliknutím na Summary:
Kruskal-Wallis ANOVA & Median test
získáme výstupy.
Hodnota testové
statistiky
Počet hodnot
v každém výběru
Součet pořadí hodnot
p-hodnota
Pokud p < 0,05, musíme provést test
mnohonásobného porovnání.
Příklad 4: Řešení v softwaru Statistica III
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
p - hodnoty
Testy mnohonásobného porovnávání
• Kliknutím na Multiple comparisons
of mean ranks for all groups
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
ANOVA
4. Parametrické statistické testy o
parametrech tří a více výběrů
Analýza rozptylu (ANOVA) jednoduchého třídění
• Srovnáváme tři a více skupin dat, které jsou na sobě nezávislé (mezi
objekty neexistuje vazba).
• Příklady: srovnání krevního tlaku u třech skupin pacientů léčených léky A,
B a C; srovnání kognitivního výkonu podle čtyř kategorií věku.
• Předpoklady: normalita dat ve VŠECH skupinách, shodnost (homogenita)
rozptylů VŠECH srovnávaných skupin, nezávislost jednotlivých pozorování.
• Testová statistika: - vysvětlení na dalších slidech
ҧ𝑥1 ҧ𝑥2 ҧ𝑥3
0
1
2
3
Lék 1 Lék 2 Lék 3
ee
AA
dfS
dfS
F
/
/

Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek, E. Koriťáková
celkový
průměr
ANOVA – princip
• Tabulka analýzy rozptylu jednoduchého třídění (One-Way ANOVA):
Variabilita
Součet
čtverců
Počet stupňů
volnosti
Průměrný
čtverec
F statistika p-hodnota
Mezi skupinami SA dfA = k – 1 MSA = SA/dfA
pUvnitř skupin
(reziduální var.)
Se dfe = n – k MSe = Se/dfe
Celkem ST dfT = n – 1
ee
AA
dfS
dfS
F
/
/

AD MCI CN AD MCI CN
• Srovnání variability (rozptylu) mezi výběry s variabilitou uvnitř výběrů.
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek, E. Koriťáková
ANOVA – 2 ukázkové situace
• Rozdíl ve všech třech skupinách:
• Žádný rozdíl mezi skupinami:
AD MCI CN AD MCI CN
AD MCI CNAD MCI CN
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek, E. Koriťáková
ANOVA jednoduchého třídění
• Příklad: Chceme srovnat, zda se liší objem hipokampu podle typu
onemocnění (3 - pacienti s AD; 2 - pacienti s MCI; 1 - zdravé kontroly).
• Tzn. hypotézy budou mít tvar:
• Postup:
1. Popisná sumarizace objemu hipokampu podle typu onemocnění.
2. Ověření normality hodnot ve VŠECH skupinách.
3. Ověření shodnosti rozptylů skupin.
4. Aplikujeme statistický test.
5. Nulovou hypotézu zamítneme nebo nezamítneme:
p<0,001 < 0,05 → zamítáme nulovou hypotézu → Rozdíl v objemu
hipokampu podle typu onemocnění je statisticky významný (na
hladině významnosti α=0,05.)
CNMCIADH  :0
ostatníchododlišnéjejednonejméně: i1 H
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek, E. Koriťáková
ANOVA – postup v softwaru STATISTICA
1. V menu Statistics zvolíme Basic Statistics,
vybereme Breakdown & one-way ANOVA 2. Zvolíme proměnné
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek, E. Koriťáková
3. Záložka ANOVA & Tests:
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek, E. Koriťáková
testy homogenity
rozptylů
ANOVA
ANOVA – postup v softwaru STATISTICA
4. Záložka Post-hoc:
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek, E. Koriťáková
post-hoc testy
ANOVA – postup v softwaru STATISTICA
Výsledky ANOVA testu
• Výsledek ze softwaru STATISTICA:
• Tabulka analýzy rozptylu jednoduchého třídění:
Variabilita
Součet
čtverců
Počet stupňů
volnosti
Průměrný
čtverec
F statistika
p-
hodnota
Mezi skupinami
SA =
71 422 222
dfA = k – 1 =
2
MSA = SA/dfA =
35 711 111
<0,001
Uvnitř skupin
(reziduální var.)
Se =
26 857 142
dfe = n – k =
830
MSe = Se/dfe =
32 358
Celkem
ST =
98 279 364
dfT = n – 1 =
832
6,1103
/
/

ee
AA
dfS
dfS
F
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek, E. Koriťáková
Další kroky analýzy
ANOVA
H0 zamítáme
(p<0,05)
H0 nezamítáme
(p>0,05) STOP
Provést
mnohonásobné
porovnávání
(post-hoc testy)
V našem příkladu p<0,05 → provedeme post-hoc testy:
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek, E. Koriťáková
Poznámka
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek, E. Koriťáková
• Může nastat situace, kdy zamítneme H0 u ANOVY, ale metodami
mnohonásobného porovnávání nenajdeme významný rozdíl u žádné
dvojice středních hodnot. K tomu dochází zvláště tehdy, když p-hodnota
pro ANOVU je jen o málo nižší než zvolená hladina významnosti.
• Důvod: post-hoc testy (tzn. metody mnohonásobného porovnávání) mají
obecně menší sílu než ANOVA, proto nemusí odhalit žádný rozdíl.
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Mannův-Whitneyův test
Párový Wilcoxonův test, párový znaménkový
test,
Kruskalův-Wallisův test,
Metoda mnohonásobného porovnání
Samostatné cvičení
1. Příklad k procvičení
 Načtěte data 05_1_priklad. Ke zjištění, zda se liší spotřeba při dvou určitých druzích
benzínu (A, B), bylo vybráno 10 aut, u kterých za jinak stejných zkušebních podmínek
byla změřena spotřeba při použití každého ze dvou druhů benzínu.
1. Pomocí vhodného testu testujte hypotézu, že spotřeba benzínu A i B byla stejná
(hladina významnosti = 0,05).
2. Příklad k procvičení
 Načtěte data 05_2_priklad. Byl sledován vliv vitamínového doplňku do krmiva na
zvyšování váhových přírůstků u selat. U 19 z 38 selat byl aplikován vitamínový
přípravek.
1. Pomocí vhodného testu testujte hypotézu, že porovnávané způsoby výkrmů (1:
klasická směs, 2: směs s vitamínovým doplňkem) se neliší (hladina významnosti =
0,05).
3. Příklad k procvičení
• Načtěte data 05_3_priklad. Výrobce koláčů má 4 nové recepty (A,B,C,D) a chce zjistit,
zda se jejich kvalita liší. Upekl proto 5 koláčů od každého druhu a dal je porotě k
ohodnocení. Hodnocení poroty je v následující tabulce:
1. Pomocí vhodného testu testujte hypotézu, že recepty se neliší (hladina významnosti =
0,05). Pokud nulovou hypotézu zamítnete, zjistěte, které dvojice receptů se liší.
Recept Body
A 72 88 70 87 71
B 85 89 86 82 88
C 94 94 88 87 89
D 91 93 92 95 94
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Mannův-Whitneyův test
Párový Wilcoxonův test, párový znaménkový
test,
Kruskalův-Wallisův test,
Metoda mnohonásobného porovnání
Samostatné cvičení – řešení
1. Příklad k procvičení – řešení
 Načtěte data 05_1_priklad. Ke zjištění, zda se liší spotřeba při dvou určitých druzích
benzínu (A, B), bylo vybráno 10 aut, u kterých za jinak stejných zkušebních podmínek
byla změřena spotřeba při použití každého ze dvou druhů benzínu.
1. Pomocí vhodného testu testujte hypotézu, že spotřeba benzínu A i B byla stejná
(hladina významnosti = 0,05).
2. Příklad k procvičení – řešení
 Načtěte data 05_2_priklad. Byl sledován vliv vitamínového doplňku do krmiva na
zvyšování váhových přírůstků u selat. U 19 z 38 selat byl aplikován vitamínový
přípravek.
1. Pomocí vhodného testu testujte hypotézu, že porovnávané způsoby výkrmů (1:
klasická směs, 2: směs s vitamínovým doplňkem) se neliší (hladina významnosti =
0,05).
3. Příklad k procvičení
• Načtěte data 05_3_priklad. Výrobce koláčů má 4 nové recepty (A,B,C,D) a chce zjistit,
zda se jejich kvalita liší. Upekl proto 5 koláčů od každého druhu a dal je porotě k
ohodnocení.
1. Pomocí vhodného testu testujte hypotézu, že recepty se neliší (hladina významnosti =
0,05). Pokud nulovou hypotézu zamítnete, zjistěte, které dvojice receptů se liší.