Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Biostatistika
Opakování
Analýza kontingenčních tabulek
Základy korelační analýzy
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Co byste měli umět z minula:
1. Určit, kdy je vhodné použít pro testování hypotéz parametrické
a neparametrické testy – ověřování předpokladů.
2. Vybrat typ neparametrického testu – jednovýběrový, párový
nebo dvouvýběrový?
3. Provést testování v softwaru Statistica – Wilcoxonův test,
znaménkový test, Mannův-Whitneyho test, Kruskalův-Wallisův
test.
4. Interpretovat výsledky testování.
Základní rozhodování o výběru statistických testů
- co budeme probírat dnes
Typ dat
Spojitá x spojitá
data
Spojitá x
kategoriální data
Kategoriální x
kategoriální data
Jeden výběr Dva výběry
Tři a více
výběrů
(nepárově)
Jeden výběr Více výběrů
Párová data
Nepárová
data
Pearsonův
koeficient
Jednovýběrový
t-test, z-test
Párový t-test
Dvouvýběrový
t-test
ANOVA
Párová data
Nepárová
data
Chí-kvadrát
test
Spearmanův
koeficient
Wilcoxonův /
znaménkový
test
Wilcoxonův /
znaménkový
test
MannůvWhitneyův
/
mediánový t.
KruskalůvWallisův
test /
mediánový t.
Jednovýběrový
binomický test
McNemarův
test
Fisherův
exaktní test
Parametrické testy
Neparametrické testy
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
E. Janoušová, L. Dušek
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Kontingenční tabulky
Pearsonův chí-kvadrát test (test dobré shody)
Fisherův exaktní test
McNemarův test
Analýza kontingenčních tabulek
Kontingenční tabulka - opakování
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek, M. Cvanová
• Frekvenční sumarizace dvou kategoriálních proměnných (binárních, nominálních
nebo ordinálních proměnných).
• Obecně: R x C kontingenční tabulka (R – počet kategorií jedné proměnné, C –
počet kategorií druhé proměnné).
• Speciální případ: 2 x 2 tabulka = čtyřpolní tabulka.
• Kontingenční tabulky: absolutních četností, celkových procent,
řádkových/sloupcových četností
• Př.: Sumarizace vyšetřených osob podle pohlaví a výsledku diagnostického testu.
Pohlaví
Výsledek vyšetření
Nemocný Zdravý Celkem
Muž 45 11 56
Žena 25 6 31
Celkem 70 17 87
Ukázka kontingenční tabulky
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek, M. Cvanová
Nemocný Zdravý Celkem
Muž a b a + b
Žena c d c + d
Celkem a + c b + d a + b + c + d = N
Nemocný Zdravý Celkem
Muž 45 11 56
Žena 25 6 31
Celkem 70 17 87
Celkový počet hodnot
Simultánní absolutní četnost
Marginální absolutní
četnost
• Vztah pohlaví a výskytu onemocnění (pozor na hodnocení nesmyslného vztahu)
Jsou více nemocní
muži nebo ženy?
Kontingenční tabulky – procenta
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek, E. Koriťáková
Skupina
Věk
Celkem
<60 let 60-70 let 70-80 let ≥80 let
CN 1 7 176 46 230
MCI 13 85 201 107 406
AD 9 34 90 64 197
Celkem 23 126 467 217 833
Kontingenční tabulka absolutních četností
Skupina
Věk
Celkem
<60 let 60-70 let 70-80 let ≥80 let
CN 0,4 3,0 76,5 20,0 100,0
MCI 3,2 20,9 49,5 26,4 100,0
AD 4,6 17,3 45,7 32,5 100,0
Celkem 2,8 15,1 56,1 26,1 100,0
Kontingenční tabulka řádkových procent
Skupina
Věk
Celkem
<60 let 60-70 let 70-80 let ≥80 let
CN 4,3 5,6 37,7 21,2 27,6
MCI 56,5 67,5 43,0 49,3 48,7
AD 39,1 27,0 19,3 29,5 23,6
Celkem 100,0 100,0 100,0 100,0 100,0
Kontingenční tabulka sloupcových procent
Skupina
Věk
Celkem
<60 let 60-70 let 70-80 let ≥80 let
CN 0,1 0,8 21,1 5,5 27,6
MCI 1,6 10,2 24,1 12,8 48,7
AD 1,1 4,1 10,8 7,7 23,6
Celkem 2,8 15,1 56,1 26,1 100,0
Kontingenční tabulka celkových procent
Kontingenční tabulky – popis a vizualizace
Skupina
Věk
Celkem
<60 let 60-70 let 70-80 let ≥80 let
CN
1
(0,4%)
7
(3,0%)
176
(76,5%)
46
(20,0%)
230
(100,0%)
MCI
13
(3,2%)
85
(20,9%)
201
(49,5%)
107
(26,4%)
406
(100,0%)
AD
9
(4,6%)
34
(17,3%)
90
(45,7%)
64
(32,5%)
197
(100,0%)
Celkem
23
(2,8%)
126
(15,1%)
467
(56,1%)
217
(26,1%)
833
(100,0%)
20.9
17.3
76.5
49.5
45.7
20.0
26.4
32.5
3.2
4.6
3.0
<60 let 60-70 let
n = 230
n = 406
n = 197
CN
MCI
AD
Věk:
Skupina:
70-80 let ≥80 let
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek, E. Koriťáková
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Co analyzujeme u kontingenčních tabulek?
 Analýza kontingenčních tabulek umožňuje analyzovat vazbu mezi
dvěma kategoriálními proměnnými. Základním způsobem testování
je tzv. chí-kvadrát test, který srovnává pozorované četnosti
kombinací kategorií oproti očekávaným četnostem, které vychází
z teoretické situace, kdy je vztah mezi proměnnými náhodný.
 Test dobré shody je využíván také pro srovnání pozorovaných
četností proti očekávaným četnostem daných určitým pravidlem
(typickým příkladem je Hardy-Weinbergova rovnováha v genetice).
 Specifickým typem výstupů odvozených z kontingenčních tabulek
jsou tzv. poměry šancí a relativní rizika, využívaná často v medicíně
pro identifikaci a popis rizikových skupin pacientů.
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Test dobré shody - základní teorie

2
pozorovaná
četnost
očekávaná
četnost
očekávaná četnost
= +
2
pozorovaná
četnost
očekávaná
četnost
očekávaná četnost
1. jev 2. jev
-
2
-
+
…

2
pozorovaná
četnost
očekávaná
četnost
očekávaná četnost
=
2
-
∑
.).(
2
)1(
2
vs 

... zamítáme H0
Testová statistika:
1 - hladina významnosti stupně volnosti
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Test dobré shody: příklad I
Binomické jevy (1/0)

2
)1(
pozorovaná
četnost
očekávaná
četnost
očekávaná četnost= +
2 pozorovaná
četnost
očekávaná
četnost
očekávaná četnost
I. jev 1 II. jev 2
-
2
-
0
1
Příklad 10 000 lidí hází mincí rub: 4 000 případů (R)
líc: 6 000 případů (L)
Lze výsledek považovat za statisticky významně odlišný
(nebo neodlišný) od očekávaného poměru R : L = 1 : 1
(tzn. že je výsledek hodu mincí náhodný)?
Rozdíl je vysoce statisticky významný (p < 0,001)
    400
5000
50006000
5000
50004000
22
2





Tabulková hodnota: )195,0(84,3)11(
2
)95,0(
  k
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Celkem bylo zkoumáno 250 semen určitého druhu rostliny a roztříděno do následujících
kategorií: žluté/hladké; žluté/vrásčité; zelené/hladké; zelené/vrásčité. Předpokládaný poměr
výskytu těchto kategorií v populaci je 9 : 3 : 3 : 1. Následující tabulka obsahuje původní data
z pozorování a dále postup při testování H0.
žluté/hladké žluté/vrásčité zelené/hladké zelené/vrásčité n
f poz. 152 39 53 6 250
f oček. 140,6250 46,8750 46,8750 15,6250
 = k - 1 = 3
Zamítáme hypotézu shody pozorovaných četností s očekávanými
972,8
6250,15
6250,9
8750,46
1250,6
8750,46
8750,7
6250,140
3750,11 2222
2

Test dobré shody: příklad II
Tabulková hodnota: )195,0(7,81)31(
2
)95,0(
  k
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Kontingenční tabulka - hypotézy
 NEZÁVISLOST (Pearsonův chí-kvadrát test, Fisherův exaktní test)
 Jeden výběr, 2 charakteristiky – obdoba nepárového uspořádání
 Např.: existence vztahu mezi barvou očí a známkou z biostatistiky u studentů
 SHODA STRUKTURY (Pearsonův chí-kvadrát test, Fisherův exaktní test)
 Tzv. test homogenity
 Více výběrů, jedna charakteristika – obdoba nepárového uspořádání
 Např.: pohlaví pacientů s diabetem v K nemocnicích (tj. K výběrů)
 SYMETRIE (McNemarův test)
 Jeden výběr, opakovaně jedna charakteristika – obdoba párového uspořádání
 Např.: posouzení stavu stromů ve dvou sezónách
Základní rozhodování o výběru statistických testů
- analýza kontingenčních tabulek
Typ dat
Spojitá x spojitá
data
Spojitá x
kategoriální data
Kategoriální x
kategoriální data
Jeden výběr Dva výběry
Tři a více
výběrů
(nepárově)
Jeden výběr Více výběrů
Párová data
Nepárová
data
Pearsonův
korelační
koeficient
Jednovýběrový
t-test
Párový t-test
Dvouvýběrový
t-test
ANOVA
Párová data
Nepárová
data
Chí-kvadrát
test
Spearmanův
korelační
koeficient
Wilcoxonův /
znaménkový
test
Wilcoxonův /
znaménkový
test
MannůvWhitneyho
/
mediánový t.
KruskalůvWallisův
test /
mediánový t.
Jednovýběrový
binomický test
McNemarův
test
Fisherův
exaktní test
Parametrické testy
Neparametrické testy
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
E. Janoušová, L. Dušek
 Máme dvě nominální veličiny, X (má r variant) a Y (má s variant)
 Kontingenční tabulka typu r x s
 Označení:
njk- simultánní absolutní četnost,
nj.- marginální absolutní četnost
Kontingenční tabulka - obecně
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
y[1] ….. ….. y[s] nj.
x[1] n11 ….. ..... n1s n1.
. . ….. ….. . .
. . ….. ….. . .
x[r] nr1 ….. ….. nrs nr.
n.k n.1 . . n.s n
x[j]
y[k]
Simultánní absolutní
četnost
Marginální absolutní
četnost
Marginální absolutní
četnost
Testování nezávislosti – Pearsonův chí-kvadrát test
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
 Souvisí spolu výskyt dvou nominálních znaků měřených na jediném výběru?
 Příklad: Souvisí barva očí (modrá, zelená, hnědá) a barva vlasů (hnědá, černá,
blond) u vybraných 30 studentů?
 Nulová hypotéza: Znaky X a Y jsou nezávislé náhodné veličiny.
 Alternativní hypotéza: Znaky X a Y jsou závislé náhodné veličiny.
 Test: Pearsonův chí-kvadrát
Očekávané (teoretické) četnosti ejk :
• H0 zamítáme na hladině významnosti α, pokud
• Předpoklady testu ?
 )1)(1(
)( 2
1 1
2


  
sr
e
en
K
r
j
s
k jk
jkjk

H0 platí
 )1)(1(2
1   srK 
n
nn
e
kj
jk
..

Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
 Předpoklady Pearsonova chí-kvadrát testu:
1. Jednotlivá pozorování shrnutá v kontingenční tabulce jsou nezávislá, tj.
každý prvek patří jen do jedné buňky kont. tabulky, nemůže zároveň patřit
do dvou.
2. Podmínky dobré aproximace: Očekávané (teoretické) četnosti jsou aspoň v
80 % případů větší nebo rovné 5 a ve 100 % případů nesmí být pod 2 (pokud
není tento předpoklad splněn, je vhodné sloučit kategorie s nízkými
četnostmi, ale tyto kategorie musí být slučitelné!).
 Měření síly závislosti:
Cramérův koeficient:
Význam hodnot: 0-0,1….zanedbatelná závislost
0,1-0,3…slabá závislost
0,3-0,7…střední závislost
0,7-1 silná závislost
   1,0int,,min,
)1(
ervaluzjeVsrmkde
mn
K
V 


Testování nezávislosti – Pearsonův chí-kvadrát test
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek, E. Koriťáková
 Podmínka dobré aproximace – alespoň 80% buněk musí mít očekávanou
(teoretickou) četnost větší než 5 – pro různě velké tabulky:
tabulka 2x3 či 3x2 – alespoň 5 z 6 buněk
tabulka 2x4 či 4x2 – alespoň 7 z 8 buněk
tabulka 2x5 či 5x2 – alespoň 8 z 10 buněk
tabulka 3x3 – alespoň 8 z 9 buněk
tabulka 3x4 či 4x3 – alespoň 10 z 12 buněk
tabulka 3x5 či 5x3 – alespoň 12 z 15 buněk
tabulka 4x4 – alespoň 13 z 16 buněk
tabulka 4x5 či 5x4 – alespoň 16 z 20 buněk
tabulka 5x5 – alespoň 20 z 25 buněk
Testování nezávislosti – Pearsonův chí-kvadrát test
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Kontingenční tabulky: příklad
FA = 102 * 30 / 166 = 18,43
FB = 102 * 136 / 166 = 83,57
FC = 11,57
FD = 52,43
        423,0
43,52
43,5254
57,11
57,1110
57,83
57,8382
43,18
43,1820
2222
2
)1( 







 84,3423,0 )1(2
95,0  
Ano Ne S
Ano 20 82 102
Ne 10 54 64
S 30 136 166
gen 
Kontingenční tabulka v obrázku
15,6
84,4
Zemřelí Žijící
%
20
80
Zemřelí Žijící
%c: 49%
d: 33%
a: 12%
b: 6%
Gen: ANO Gen: NE
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Řešení v softwaru Statistica
 Datový soubor může být zadán 2 způsoby:
 Původní data (co řádek, to subjekt charakterizovaný danými
kategoriálními proměnnými),
 Agregovaná data (kontingenční tabulka, četnosti všech
kombinací kategorií 2 kategoriálních proměnných) – analýza
agregovaných dat možná i pomocí webových kalkulátorů.
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Způsob 1: Řešení v softwaru Statistica I
 Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu o nezávislosti genu a stavu
pacienta. Simultánní četnosti znázorněte graficky.
• Původní datový soubor
(co řádek, to subjekt)
• V menu Statistics zvolíme
Basic statistics,
Vybereme Tables and banners
(v češtině Kontingenční tabulky)
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Způsob 1: Řešení v softwaru Statistica II
• Vybereme proměnné, které chceme testovat
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Způsob 1: Řešení v softwaru Statistica III
• Na záložce Options zaškrtneme Expected frequencies (Očekávané četnosti)
(k ověření podmínek dobré aproximace)
• Zaškrtneme Pearsonův
chí-kvadrát
• Pokud chceme vypočítat
i Cramérův koeficient
zaškrtneme
Phi & Cramer‘s V
• Poté se vrátíme na záložku Advanced,
kde a zvolíme Detailed two-way tables
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Způsob 1: Řešení v softwaru Statistica IV
Tab.1: Pozorované četnosti
Jsou splněny podmínky dobré aproximace?
Tab. 3: Pearsonův chí-kvadrát
p- hodnota
Hodnota testové statistiky
Počet stupňů volnosti
Tab. 2: Očekávané četnosti
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Způsob 2: Řešení v softwaru Statistica I
 Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu o nezávislosti genu a stavu
pacienta. Simultánní četnosti znázorněte graficky.
• Agregovaný datový soubor
• V menu Statistics zvolíme
Basic statistics, vybereme
Tables and banners (v češtině
Kontingenční tabulky)
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Způsob 2: Řešení v softwaru Statistica II
• Vybereme proměnné, které chceme testovat
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Způsob 2: Řešení v softwaru Statistica III
• Zapneme váhy (vpravo ikonka černých vah w), jako váhy vybereme proměnnou četnost
(tj. proměnnou, ve které jsou uvedeny počty případů jednotlivých kombinací kategorií)
2
3
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Způsob 2: Řešení v softwaru Statistica IV
• Na záložce Options zaškrtneme Expected frequencies (Očekávané četnosti)
(k ověření podmínek dobré aproximace)
• Zaškrtneme Pearsonův
chí-kvadrát
• Pokud chceme vypočítat
i Cramérův koeficient
zaškrtneme
Phi & Cramer‘s V
• Poté se vrátíme na záložku Advanced,
kde a zvolíme Detailed two-way tables
Testování homogenity (shody struktury)
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
 Motivace: Zajímá nás výskyt nominálního znaku u r nezávislých výběrů z r
různých populací.
 Příklad: Je zájem o sport stejný u děvčat jako u chlapců?
 Nulová hypotéza: pravděpodobnostní rozdělení kategoriální proměnné je
stejné v různých populací
 Test: Pearsonův chí-kvadrát
Dívky Chlapci
Zájem
o sport
Ano a b a+b
Ne c d c+d
a+c b+d n
Některé marginální četnosti (buď sloupcové, nebo řádkové)
jsou předem pevně stanoveny
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek, S. Littnerová, J. Kalina
Fisherův exaktní test
 Využití ve čtyřpolní tabulce s nízkými četnostmi, které
znemožňují použití Pearsonova chí-kvadrát testu.
 Patří mezi neparametrické testy pracující s daty na
nominální škále, v nejjednodušší podobě ve dvou třídách:
pozitivní/negativní, úspěch/neúspěch apod.
 Nulová hypotéza předpokládá rovnoměrné zastoupení
sledovaného znaku u dvou nezávislých souborů.
 Slovo exaktní (přímý) znamená, že se přímo vypočítává
pravděpodobnost odmítnutí, resp. platnosti nulové
hypotézy.
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek, S. Littnerová, J. Kalina
Fisherův exaktní test
 Výpočet „přesné“ p-hodnoty, která zde hraje roli testové statistiky:
 spočítá se parciální pravděpodobnost čtyřpolní tabulky p1:
 Spočítá se pa všech možných tabulek při zachování marginálních
četností (řádkové a sloupcové součty) a výsledná p-hodnota je
součtem pa menších nebo stejných jako p1, která přísluší pozorované
tabulce.
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek, E. Koriťáková
Fisherův exaktní test – podrobněji
 Založen na výpočtu „přesné“ p-hodnoty (pravděpodobnosti, s jakou
bychom dostali stejný nebo ještě extrémnější výsledek při zachování součtu
řádků i sloupců v tabulce).
 Příklad: Chceme ověřit vztah dvou typů
nežádoucích účinků, které jsou sumarizovány
následující tabulkou:
 Postup: Všechny varianty tabulky při zachování součtu řádků a sloupců:
2 3
6 4
NÚ I
NÚ II
ano
ne
ano ne
0 5
8 2
1 4
7 3
2 3
6 4
3 2
5 5
4 1
4 6
5 0
3 7
Pravděpodobnosti výskytu jednotlivých tabulek:
0,007 0,093 0,326 0,392 0,163 0,019
Oboustranná p-hodnota (sečtení pravděpodobností stejných nebo menších
než je pravděpodobnost pozorované varianty):
p = 0,326 + 0,093 + 0,007 + 0,163 + 0,019 = 0,608
0,007 0,093 0,326 0,163 0,019
Řešení v softwaru Statistica:
Fisherův exaktní test
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
• Na záložce Options zaškrtneme
Fisher exact
• Výstupní tabulka
Pro jednostranný test
Pro oboustranný test
Fisherův exaktní test na webu
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek, E. Koriťáková
• 2 x 2 tabulky: http://graphpad.com/quickcalcs/contingency1/
• 2 x 3 tabulky: http://www.vassarstats.net/fisher2x3.html
• 2 x 5 (nebo menší) tabulky:
http://www.quantitativeskills.com/sisa/statistics/fiveby2.htm
• 3 x 3 tabulky: http://vassarstats.net/fisher3x3.html
Test hypotézy o symetrii
(McNemarův test pro čtyřpolní tabulku)
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
 Motivace: Na osobách sledujeme binární proměnnou před pokusem a po
něm, cílem je zjistit, zda došlo ke změně v rozdělení této proměnné.
 Analýza párových dichotomických proměnných
 Nulová hypotéza: , pokus nemá vliv na výskyt daného znaku
 Testová statistika: pokud je větší než kritická hodnota
rozdělení o jednom stupni volnosti (vhodné pro počty údajů b+c > 8), pak
nulovou hypotézu zamítáme
po
+ - nj.
před + a b a+b
- c d c+d
n.k a+c b+d n
Četnostní tabulka Tabulka teoretických pravděpodobností
po
+ před
+ p11 p12 p1.
- p21 p22 p2.
p.1 p.2
cb
cb



2
2 )1(

jiij pp 
2

McNemarův test: příklad I
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Zjistěte, zda úspěch našich sportovců na olympiádě vede ke změně postojů žáků
ke sportování.
Nulová hypotéza: Počet žáků, kteří změní svůj postoj pozitivním směrem, je
pouze náhodně odlišný od počtu žáků, kteří změní svůj postoj negativním
směrem.
Závěr: Úspěch našich sportovců má pozitivní vliv na postoj žáků vzhledem k
provozování sportu.
Postoj po
olympiádě
+ Postoj
před
olympiádou
+ 5 3 8
- 16 2 18
21 5 26
58,7
163
)1163( 2
2




84,3)12/)1((2
1  kkvTabulky:
H0 zamítnuta
Stupně volnosti
Řešení v softwaru Statistica: McNemarův test
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
• Na záložce Options zaškrtneme
McNemar (2x2)
• Výstupní tabulka
Datový soubor Výstupní kontingenční tabulka
2 hodnoty testových statistik a p-hodnoty, podle
toho, kde jsou ve výstupní kontingenční tabulce
uloženy četnosti, u kterých jsme při opakovaném
měření zaznamenali rozdílné výsledky (A/D nebo
B/C)
Společný příklad – testování homogenity
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Očkování proti chřipce se zúčastnilo 460 dospělých, z nichž 240 dostalo očkovací
látku proti chřipce a 220 dostalo placebo. Na konci experimentu onemocnělo
100 lidí chřipkou, 20 z nich bylo z očkované skupiny a 80 z kontrolní skupiny. Je to
dostatečný důkaz, že očkovací látka byla účinná?
Nulová hypotéza: Procento výskytu chřipky je v očkované a kontrolní skupině
stejné.
1. Vytvořte si na základě zadání datový soubor v softwaru STATISTICA
(agregovaná data ve formě kontingenční tabulky).
2. Testujte platnost nulové hypotézy pomocí Pearsonova chí-kvadrát testu.
3. Testujte platnost nulové hypotézy pomocí Fisherova exaktního testu.
4. Který z testů je vhodné použít a proč?
Základní rozhodování o výběru statistických testů
- jednovýběrový binomický test
Typ dat
Spojitá x spojitá
data
Spojitá x
kategoriální data
Kategoriální x
kategoriální data
Jeden výběr Dva výběry
Tři a více
výběrů
(nepárově)
Jeden výběr Více výběrů
Párová data
Nepárová
data
Pearsonův
korelační
koeficient
Jednovýběrový
t-test
Párový t-test
Dvouvýběrový
t-test
ANOVA
Párová data
Nepárová
data
Chí-kvadrát
test
Spearmanův
korelační
koeficient
Wilcoxonův /
znaménkový
test
Wilcoxonův /
znaménkový
test
MannůvWhitneyho
/
mediánový t.
KruskalůvWallisův
test /
mediánový t.
Jednovýběrový
binomický test
McNemarův
test
Fisherův
exaktní test
Parametrické testy
Neparametrické testy
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
E. Janoušová, L. Dušek
Jednovýběrový binomický test
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek, E. Koriťáková
• test pro podíl u jednoho výběru
• Liší se podíl (p) pacientů s výskytem sledovaného jevu od předpokládané
(referenční) hodnoty (π)?
• např. liší se procento pacientů s nežádoucími účinky léčby od
předpokládaného procenta?
• výpočet: https://www.medcalc.org/calc/test_one_proportion.php
Jednovýběrový binomický test – příklad
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek, E. Koriťáková
• Příklad: Z 50 studentů, kteří si zvolilo maturitu z matematiky, ji v letošním
roce neudělalo 12. Ověřte, zda podíl neúspěšných studentů je stejný jako
v předchozím roce, kdy byla neúspěšnost 5%.
• Tzn. hypotézy budou mít tvar:
a
• Řešení:
• π = 5%
• p = 12/50 = 0,24 => 24%
• Závěr:
Podíl neúspěšných studentů
je statisticky významně odlišný od
podílu v předchozím roce.
pH :0 pH :1
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Korelace a regrese
Pearsonův korelační koeficient
Spearmanův korelační koeficient
Základy korelační analýzy
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek, J. Kalina
Proč hodnotit vztah dvou spojitých veličin?
 Vztah mezi dvěma spojitými veličinami v jedné skupině:
1. Chceme zjistit, jestli mezi nimi existuje vztah – např. jestli vyšší
hodnoty jedné veličiny znamenají nižší hodnoty jiné veličiny;
2. Chceme predikovat hodnoty jedné veličiny na základě znalosti
hodnot jiných veličin;
3. Chceme kvantifikovat vztah mezi dvěma spojitými veličinami –
např. pro použití jedné veličiny namísto druhé veličiny.
Korelační a regresní analýza
 Korelační analýza je využívána pro vyhodnocení míry
vztahu dvou spojitých proměnných. Obdobně jako jiné
statistické metody, i korelace mohou být parametrické
nebo neparametrické.
 Regresní analýza vytváří model vztahu dvou nebo více
proměnných, tedy jakým způsobem jedna proměnná
(vysvětlovaná) závisí na jiných proměnných
(prediktorech). Regresní analýza je obdobně jako ANOVA
nástrojem pro vysvětlení variability hodnocené
proměnné.
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek, J. Kalina
Základní rozhodování o výběru statistických testů
- korelační analýza
Typ dat
Spojitá x spojitá
data
Spojitá x
kategoriální data
Kategoriální x
kategoriální data
Jeden výběr Dva výběry
Tři a více
výběrů
(nepárově)
Jeden výběr Více výběrů
Párová data
Nepárová
data
Pearsonův
korelační
koeficient
Jednovýběrový
t-test
Párový t-test
Dvouvýběrový
t-test
ANOVA
Párová data
Nepárová
data
Chí-kvadrát
test
Spearmanův
korelační
koeficient
Wilcoxonův /
znaménkový
test
Wilcoxonův /
znaménkový
test
MannůvWhitneyho
/
mediánový t.
KruskalůvWallisův
test /
mediánový t.
Jednovýběrový
binomický test
McNemarův
test
Fisherův
exaktní test
Parametrické testy
Neparametrické testy
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
E. Janoušová, L. Dušek
Vizuální hodnocení vztahu dvou proměnných
 Nejjednodušší
formou je bodový
graf (x‐y graf), tzv.
scatterplot.
 Vztah výšky a váhy
studentů
Biostatistiky pro
matematické biology
– jaro 2010:
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek, J. Kalina
Korelační koeficienty
 Korelační koeficient (r) – kvantifikuje míru vztahu mezi dvěma
spojitými veličinami (X a Y).
 Pearsonův korelační koeficient – parametrický, hodnotí míru lineární
závislosti mezi 2 spojitými proměnnými,
 Spearmanův korelační koeficient – neparametrický, hodnotí míru lineární
pořadové závislosti mezi 2 spojitými proměnnými.
 Hodnota r je kladná, když vyšší hodnoty X souvisí s vyššími hodnotami Y,
naopak hodnota r je záporná, když nižší hodnoty X souvisí s vyššími
hodnotami Y.
 Nabývá hodnot od -1 do 1:
r = 0 → nekorelované
r > 0 → kladně korelované
r < 0 → záporně korelované
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek, J. Kalina
Korelační koeficienty - ukázky
r = 1,0 r = -0,9
r = 0,4 r = 0,05
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek, J. Kalina, E. Koriťáková
Test hypotézy H0: r = 0
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek, J. Kalina
 K měření těsnosti lineárního vztahu 2 spojitých proměnných
r = 0 → nekorelované
r > 0 → kladně korelované
r < 0 → záporně korelované
 H0: proměnné X, Y jsou nezávislé náhodné veličiny
(r = 0)
HA: proměnné X, Y nejsou nezávislé náhodné veličiny (r ≠ 0)
 Testování pomocí intervalu spolehlivosti nebo výpočet testové
statistiky (srovnání s kritickou hodnotou nebo výpočet p-hodnoty)
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Problémy s výpočtem r
Problém více skupin Nelineární vztah
X
Y
X
r = 0,981
(p < 0,001)
r = 0,761
(p = 0,032)
Y
Problém velikosti výběru
Y
X
Y
X
r = 0,891
(p = 0,214)
r = 0,212
(p = 0,008)
Odlehlá hodnota
−2 0 2 4
−2−1012345
Pozorované hodnoty x
Pozorovanéhodnotyy
Odlehlá hodnota
r = 0,36
p = 0,009
r = 0,36
(p = 0,009)
Může způsobit, že
korelace vyjde významně,
i když ve skutečnosti tam
žádný vztah není!
Může způsobit, že korelace
bude méně významná (či
dokonce nevýznamná), i když
ve skutečnosti tam vztah je!
Pearsonův korelační koeficient:
r = 0,65 (p = 0,029)
Spearmanův korelační koeficient:
rS = 0,95 (p < 0,001)
Problémy s výpočtem Pearsonova kor. koef. I
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek, J. Kalina, E. Koriťáková
Problémy s výpočtem Pearsonova kor. koef. II
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek, T. Pavlík,, E. Koriťáková
• Při srovnání dvou spojitých proměnných je nutné vykreslovat bodový graf,
protože histogramy pro jednotlivé proměnné zvlášť nám nemusejí odhalit
odlehlé hodnoty!
Histogram of x
x
Frequency
-20 -10 0 10 20 30
05101520
Histogram of y
y
Frequency
-40 -20 0 20 40 60
051015
Histogram of x
x
-20 -10 0 10 20 30
Histogram of y
y
Frequency
-40 -20 0 20 40 60
051015
-20 -10 0 10 20
-40-2002040
x
y
Řešení v softwaru Statistica:
Pearsonův korelační koeficient I
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek, J. Kalina
Prozkoumejte lineární vztah mezi
výškou a váhou u 13 studentů.
Testujte hypotézu, že jsou tyto
proměnné nezávislé.
1. Záložka Statistics
2. Basic Statistics
3. Correlation matrices
4. Potvrdíme: OK
Řešení v softwaru Statistica:
Pearsonův korelační koeficient II
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek, J. Kalina
5. Vybereme spojité proměnné
pro hodnocení vztahu (váha a
výška) ve One variable list.
Na záložce Options můžeme
vybrat formu výstupu (pouze phodnoty,
matice korelačních
koeficientů a p-hodnot ap.).
6. Summary: Correlations
Jedna z možných výstupních
tabulek:
p-hodnota < 0,05 - test hypotézy H0: r = 0,
lze vypsat i konkrétní hodnotu (změna formy
výstupu na záložce Options – skutečnou p-hodnotu
zjistíme zatrhnutím Display r, p-values, and N’s
Pearsonovy korelační koeficienty
Řešení v softwaru Statistica:
Pearsonův korelační koeficient III
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek, J. Kalina
Záložka Quick / Advanced umožňuje vykreslit
různé druhy grafů (2D, 3D v případě více
proměnných, matice bodových grafů s
histogramy na diagonále ap.).
Jsou v daném případě splněny předpoklady
(dvourozměrné normální rozdělení, absence
odlehlých pozorování, lineární vztah)?
Na záložce Color maps můžeme získat
matici korelačních koeficientů (nebo
příslušných p-hodnot) obarvenou dle
odpovídající barevné škály. Vhodné
zejména při zkoumání vztahů mezi více
spojitými proměnnými.
Řešení v softwaru Statistica:
Spearmanův korelační koeficient I
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek, J. Kalina
Prozkoumejte pořadový
vztah mezi výškou a váhou
u 13 studentů. Testujte
hypotézu, že jsou tyto
proměnné nezávislé.
1. Záložka Statistics
2. Nonparametrics
3. Correlations
4. Potvrdíme: OK
Řešení v softwaru Statistica:
Spearmanův korelační koeficient II
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek, J. Kalina
5. Výběr proměnných –
Variables – Select variables
(vyska, vaha) – OK
6. Pod možností Compute
můžeme vybrat formu
výstupu (čtvercová matice Square
matrix, příp. detailní
výsledky).
7. Lze vykreslit i matici
bodových grafů s histogramy
na diagonále (Scatterplot
matrix for all variables).
Jedna z forem výstupní
tabulky:
p-hodnota <0,05 - test hypotézy H0: r = 0,
lze vypsat i konkrétní hodnotu přepnutím Compute na Detailed report
Spearmanovy
korelační
koeicienty
Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita
J. Jarkovský, L. Dušek
Testování nezávislosti
Testování homogenity
Samostatný úkol
1. Příklad k procvičení
1. Testujte hypotézu, že barva vlasů a barva očí spolu nesouvisí. K dispozici jsou údaje
od 6 800 mužů (Yule, G. U., Kendall, M.G.: An Introduction to the Theory of Statistics,
14th ed. Griffin, London, 1950).
2. Vypočítejte Cramérův koeficient a interpretujte jej.
Světlá Kaštanová Černá Zrzavá Celkem
Modrá 1768 807 189 47 2811
Šedá nebo
zelená
946 1387 746 53 3132
Tmavohnědá 115 438 288 16 857
Celkem 2829 2632 1223 116 6800
Nezapomeňte ověřit podmínky dobré aproximace!
2. Příklad k procvičení
A B 0 AB Celkem
Eskade 33 6 56 5 100
Annandale 54 14 52 5 125
Nithsdale 98 35 115 5 253
Celkem 185 55 223 15 478
1. Ve Skotsku byla provedena studie, která měla prokázat, zda procentuální zastoupení
krevních skupin na celém území je homogenní nebo není. V oblasti Eskdale bylo
náhodně vybráno 100 osob, v Annadale 125 osob a v Nithsdale 253 osob (Osborn J. F.,
1979, Statistical Exersice in Medical Research, Blackwell Scientific publications, Oxford)
Nezapomeňte ověřit podmínky dobré aproximace!
Výsledky k samostatnému úkolu
Testování nezávislosti
Testování homogenity
1. Příklad k procvičení
1. Testujte hypotézu, že barva vlasů a barva očí spolu nesouvisí. K dispozici jsou údaje
od 6 800 mužů (Yule, G. U., Kendall, M.G.: An Introduction to the Theory of Statistics,
14th ed. Griffin, London, 1950).
2. Vypočítejte Cramérův koeficient a interpretujte jej.
Výsledky:
chí-kvadrát = 1073,51
p < 0,001 … na hladině významnosti zamítáme nulovou hypotézu o nezávislosti barvy
očí a barvy vlasů (před provedením testu jsme zkontrolovali podmínky dobré
aproximace),
Cramérův koeficient = 0,28 … mezi barvou očí a barvou vlasů je slabá závislost.
2. Příklad k procvičení
1. Ve Skotsku byla provedena studie, která měla prokázat, zda procentuální zastoupení
krevních skupin na celém území je homogenní nebo není. V oblasti Eskdale bylo
náhodně vybráno 100 osob, v Annadale 125 osob a v Nithsdale 253 osob (Osborn J. F.
, 1979, Statistical Exersice in Medical Research, Blackwell Scientific publications,
Oxford)
Výsledky:
chí-kvadrát = 10,454
P = 0,107 … nelze zamítnout nulovou hypotézu, že procentuální zastoupení krevních
skupin na celém území je homogenní / stejné
(před provedením testu jsme zkontrolovali podmínky dobré aproximace).