logo-IBA logo-MU © Institut biostatistiky a analýz •INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ logo-MU ČASOVÉ ŘADY prof. Ing. Jiří Holčík, CSc. holcik@iba.muni.cz, UKB A1, 6.NP, dv.č.613 logo-IBA logo-MU © Institut biostatistiky a analýz XIII. REALIZACE DISKRÉTNÍCH SYSTÉMŮ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz REALIZACE DISKRÉTNÍCH SYSTÉMŮ þLineární diskrétní modely reálných systémů lze realizovat pomocí tří základních členů: þproporcionální člen (násobení konstantou); þzpožďovací člen; þsumační, resp. diferenční člen. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þa1y(nTvz)+a0y(nTvz-Tvz) = b0x(nTvz) þy(nTvz) = b0x(nTvz)/a1 - a0y(nTvz-Tvz)/a1 REALIZACE DISKRÉTNÍCH SYSTÉMŮ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz PROPORCIONÁLNÍ ČLEN þvýstupní průběh je tvarově shodný se vstupem; þpoměr hodnot výstupní a vstupní hodnoty je roven „zesílení“ k; þpřenosová funkce je určena vztahem levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ZPOŽĎOVACÍ ČLEN þdiferenční rovnice þ y(nTvz) = x(nTvz-Tvz) þ þobrazová přenosová funkce þ Y(z) = X(z).z-1 Þ þ þfrekvenční přenosová funkce þ z = eiΩTvz z-1 = e-iΩTvz þ H(eiΩTvz) = e-iΩTvz levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz TYPY DISKRÉTNÍCH SYSTÉMŮ þsystémy s klouzavým průměrem (moving average – MA) þ þ þ diferenční rovnice þy(k) = a0x(k) + a1x(k – 1) + …+ aNx(k – m), þsystémy autoregresivní (AR) þ þ þsystémy ARMA levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þTeoreticky lze systémy splňující zadané požadavky realizovat podle tzv. Woldova dekompozičního teorému kterýmkoliv z uvedených typů systémových struktur. Je to jen otázka složitosti, resp. řádu systému. þPodle Woldova teorému platí, že: þjakýkoliv ARMA nebo MA proces může být jednoznačně reprezentován AR systémem (modelem), maximálně ¥ řádu; þjakýkoliv ARMA nebo AR proces může být reprezentován MA systémem (modelem) maximálně ¥ řádu. TYPY DISKRÉTNÍCH SYSTÉMŮ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz SYSTÉMY S KLOUZAVÝM PRŮMĚREM (MA) / / SYSTÉMY S KONEČNOU IMPULZNÍ ODEZVOU (KIO) þobecný vztah: þ þ þkde w(m), m = 0, 1, 2, …, M-1 je váhová posloupnost a x(•) je vstupní posloupnost systému. • • • •výpočetní schéma MA systému •konvoluční výpočetní schéma levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI MA (KIO) SYSTÉMŮ þJe-li h(n) = {h(0), h(1), …, h(M-1)} impulzní odezva lineárního systému, je jeho obrazová přenosová funkce daná její Z-transformací þ þ þPo substituci , kde Tvz je vzorkovací perioda, dostáváme frekvenční přenosovou funkci þ þ({) þ þVzhledem k periodicitě funkce s periodou rovnou úhlové vzorkovací frekvenci ωvz=2p/Tvz je periodická s toutéž periodou i frekvenční přenosová funkce. þ þ • • • levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz FÁZOVÁ FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKA j(Ω) MA (KIO) SYSTÉMŮ þFázová charakteristika j(Ω) je díky vlastnostem komplexní exponenciály funkce lichá, tj. platí þj(-Ω) = - j(Ω). þObecně je nelineární, z pohledu kvality výstupní posloupnosti systému je však žádoucí, aby její průběh byl lineární, tj. aby platilo þ þ þkde t je konstanta udávající o kolik vzorků je výstup systému zpožděn oproti vstupní posloupnosti. V tom případě systém nezavádí tzv. fázové zkreslení – všechny harmonické složky jsou při zpracování systémem zpožděny přímo úměrně jejich frekvenci. • levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz FÁZOVÉ HRÁTKY •originál •φ01=φ02=π/2 •φ01= π/4; φ02=π/2 •φ01=φ02=π levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz VLIV IMPULZNÍ ODEZVY NA TVAR FÁZOVÉ CHARAKTERISTIKY þJe-li fázová charakteristika lineární, tj. j(Ω) = -tΩTvz, pak vztah ({) lze psát ve tvaru þ þ þProtože eia = cosa + i.sina, pak rovnost komplexních hodnot ve výše uvedeném vztahu můžeme vyjádřit rovností jejich reálných a imaginárních složek þ þ • • levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz VLIV IMPULZNÍ ODEZVY NA TVAR FÁZOVÉ CHARAKTERISTIKY þZ podílu obou rovnic þ þ þ þpo roznásobení dostaneme þ þ þa dále þ þ • • • • • levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz VLIV IMPULZNÍ ODEZVY NA TVAR FÁZOVÉ CHARAKTERISTIKY þProtože sin(α-β) = sinα.cosβ – cosα.sinβ, lze rovnici přepsat do tvaru þ þ þkterá má řešení pouze když h(n)=h(M-1-n), þ þtj. pokud je impulzní charakteristika symetrická. V tom případě můžeme vztah rozepsat þ þ • • • • • • levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz VLIV IMPULZNÍ ODEZVY NA TVAR FÁZOVÉ CHARAKTERISTIKY þa þ þ þ þ þProtože sinus je lichá funkce, tj. sin(-α) = -sin(α), a je-li splněna podmínka symetrie impulzní odezvy, pak tato rovnice určitě platí. þ • • • levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz VLIV IMPULZNÍ ODEZVY NA TVAR FÁZOVÉ CHARAKTERISTIKY þV případě konečné impulzní charakteristiky se sudým počtem vzorků není hodnota t celé číslo, osa symetrie prochází mezi (M/2-1)-ním a (M/2)-tým vzorkem. Je-li počet vzorků impulzní odezvy liché číslo, prochází osa symetrie právě [(M-1)/2]-tým vzorkem a þt = (M-1)/2 je celé číslo. • • • levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þPosuneme-li osu symetrie systému s lichým počtem vzorků impulzní odezvy do počátku časové osy, pak t=0 – průchod systémem formálně nezavádí žádné zpoždění. Nenulové hodnoty impulzní odezvy jsou v tom případě h(n) = {h[-(M-1)/2], h[-(M-3)/2], …,h(-1), h(0), h(1), …, h[(M-3)/2], h[(M-1)/2]}. þTo znamená, že systém není kauzální - pro konvoluční výpočet odezvy potřebuje znát i budoucí vzorky vstupní posloupnosti. Z-transformace (pro nekauzální systémy musí být oboustranná) impulzní odezvy, tj. obrazová přenosová funkce, je þ VLIV IMPULZNÍ ODEZVY NA TVAR FÁZOVÉ CHARAKTERISTIKY levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þZ-transformace (pro nekauzální systémy musí být oboustranná) impulzní odezvy, tj. obrazová přenosová funkce, je þ VLIV IMPULZNÍ ODEZVY NA TVAR FÁZOVÉ CHARAKTERISTIKY • levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þdiferenční rovnice þy(nTvz)=x(nTvz)+x(nTvz-Tvz) þ þobrazová přenosová funkce þ Y(z) = X(z) + X(z).z-1 þ Y(z) = X(z)(1+z-1) þ SUMAČNÍ ČLEN 1.ŘÁDU KLOUZAVÝ PRŮMĚR – MOVING AVERAGE (MA) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þdiferenční rovnice þ2y(nTvz)=x(nTvz)+x(nTvz-Tvz) þ þobrazová přenosová funkce þ 2Y(z) = X(z) + X(z).z-1 þ 2Y(z) = X(z)(1+z-1) þ SUMAČNÍ ČLEN 1.ŘÁDU KLOUZAVÝ PRŮMĚR – MOVING AVERAGE (MA) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þdiferenční rovnice þ2y(nTvz)=x(nTvz)-x(nTvz-Tvz) þ þobrazová přenosová funkce þ 2Y(z) = X(z) - X(z).z-1 þ 2Y(z) = X(z)(1-z-1) þ DIFERENČNÍ ČLEN 1.ŘÁDU KLOUZAVÝ PRŮMĚR – MOVING AVERAGE (MA) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þdiferenční rovnice þy(nTvz)=x(nTvz)-x(nTvz-Tvz) þ þobrazová přenosová funkce þ Y(z) = X(z) - X(z).z-1 þ Y(z) = X(z)(1-z-1) þ DIFERENČNÍ ČLEN 1.ŘÁDU KLOUZAVÝ PRŮMĚR – MOVING AVERAGE (MA) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þdiferenční rovnice þ þ þobrazová přenosová funkce þ Y(z) = b0X(z) + b1X(z).z-1 +… þ …+ bmX(z).z-m þ Y(z) = X(z)(b0+b1z-1+…+bmz-m) þ SUMAČNÍ ČLEN KLOUZAVÝ PRŮMĚR – MOVING AVERAGE (MA) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þdiferenční rovnice þ þ þobrazová přenosová funkce þ Y(z) = b0X(z) + b1X(z).z-1 +… þ …+ bmX(z).z-m þ Y(z) = X(z)(b0+b1z-1+…+bmz-m) þ SUMAČNÍ ČLEN KLOUZAVÝ PRŮMĚR – MOVING AVERAGE (MA) •bi = 1, i=1,..,4; a0 = 4 levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz AUTOREGRESIVNÍ ČLEN 1. ŘÁDU þdiferenční rovnice þ y(nTvz) – y(nTvz-Tvz) = x(nTvz) þ y(nTvz) = x(nTvz) + y(nTvz-Tvz) þ þobrazová přenosová funkce þ Y(z) – Y(z).z-1 = X(z) þ Y(z)(1–z-1) = X(z) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz AUTOREGRESIVNÍ ČLEN 1. ŘÁDU þdiferenční rovnice þ y(nTvz) + y(nTvz-Tvz) = x(nTvz) þ y(nTvz) = x(nTvz) - y(nTvz-Tvz) þ þobrazová přenosová funkce þ Y(z) + Y(z).z-1 = X(z) þ Y(z)(1+z-1) = X(z) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz AUTOREGRESIVNÍ ČLEN 1. ŘÁDU þdiferenční rovnice þ y(nTvz) + y(nTvz-Tvz) = x(nTvz) þ y(nTvz) = x(nTvz) - y(nTvz-Tvz) þ þobrazová přenosová funkce þ Y(z) + Y(z).z-1 = X(z) þ Y(z)(1+z-1) = X(z) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz AUTOREGRESIVNÍ ČLEN 1. ŘÁDU þdiferenční rovnice þ y(nTvz) + y(nTvz-Tvz) = 2x(nTvz) þ y(nTvz) = 2x(nTvz) - y(nTvz-Tvz) þ þobrazová přenosová funkce þ Y(z) + Y(z).z-1 = 2X(z) þ Y(z)(1+z-1) = 2X(z) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz AUTOREGRESIVNÍ ČLEN 1. ŘÁDU þdiferenční rovnice þy(nTvz)+0,9.y(nTvz-Tvz)=1,9.x(nTvz) þy(nTvz)=1,9.x(nTvz)–0,9.y(nTvz-Tvz) þ þobrazová přenosová funkce þ Y(z) + 0,9.Y(z).z-1 = 1,9.X(z) þ Y(z)(1+0,9.z-1) = 1,9.X(z) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz AUTOREGRESIVNÍ ČLEN 2. ŘÁDU þdiferenční rovnice þ y(nTvz)+y(nTvz-2Tvz)=2.x(nTvz) þ y(nTvz)=2.x(nTvz)–y(nTvz-2Tvz) þ þobrazová přenosová funkce þ Y(z) + Y(z).z-2 = 2.X(z) þ Y(z)(1+ z-2) = 2.X(z) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz AUTOREGRESIVNÍ ČLEN 2. ŘÁDU þdiferenční rovnice þy(nTvz)+0,81y(nTvz-2Tvz)=1,81x(nTvz) þy(nTvz)=1,81x(nTvz)–0,81y(nTvz-2Tvz) þ þobrazová přenosová funkce þ Y(z) + 0,81.Y(z).z-2 = 1,81.X(z) þ Y(z)(1+ 0,81.z-2) = 1,81.X(z) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz AUTOREGRESIVNÍ ČLEN 2. ŘÁDU þdiferenční rovnice þy(nTvz)+1,23y(nTvz-2Tvz)=2,23x(nTvz) þy(nTvz)=2,23x(nTvz)–1,23y(nTvz-2Tvz) þobrazová přenosová funkce þ Y(z) + 1,23.Y(z).z-2 = 2,23.X(z) þ Y(z)(1+ 1,23.z-2) = 2,23.X(z) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz AUTOREGRESIVNÍ ČLEN þdiferenční rovnice þ y(nTvz) – a1y(nTvz-Tvz) - … - amy(nTvz-mTvz) = b0x(nTvz) þ y(nTvz) = b0x(nTvz) + a1y(nTvz-Tvz) + … + amy(nTvz-mTvz) þobrazová přenosová funkce þ Y(z) – a1Y(z).z-1 -…- amY(z).z-m = b0X(z) þ þ