Korelační analýza – řešení.

Datový soubor KMENY.

Studujeme třešňové stromy (31 stromů) a máme údaje o průměru kmene v prsní výšce [cm], odhadu výšky
stromu [metry] a odhadu dřevní hmoty [m^3]. Zajímá nás, jak silné jsou závislosti mezi naměřenými
charakteristikami.


Sílu vztahů dvou proměnných popisujeme pomocí korelačního koeficientu a testu hypotézy, že skutečný
(populační) korelační koeficient je roven nule a tedy obě studované charakteristiky jsou vzájemně
nezávislé.

Korelační koeficient můžeme počítat parametricky (Pearsonův k.k.), pokud obě charakteristiky mají
normální rozdělení, nebo neparametricky (Spearmanův k.k.).

Ověření normality všech tří proměnných:

Vizuální kontrola histogramů prozrazuje data sešikmená doprava pro průměr a pro objem. Pochybnosti
potvrzují i testy normality (Shapiro-Wilkův test v rámečku na „dně“ grafu), které zamítají
hypotézu, že data pocházejí z normálních rozdělení.

Histogram výšek stromů je tvarově sporný, Shapiro-Wilkův test však normalitu nevyvrací.

Máme dvě možnosti: buď zkusíme data transformovat pomocí logaritmické funkce, nebo zvolíme rovnou
Spearmanův neparametrický korelační koeficient.


Logaritmická transformace pomůže (musím vytvořit nové proměnné, do kterých nechám napočítat
logaritmy původních hodnot), Shapiro-Wilkovy testy již nezamítají hypotézu o normalitě proměnných:
LOG(průměr) à p-hodnota = 0,32; LOG(výška) à p = 0,20; LOG(objem) à p = 0,38. Data o odhadu výšek
stromů bychom transformovat nemuseli, ale bývá zvykem podrobit všechny „jednotkově podobné“
proměnné stejné úpravě…

Pearsonův korelační koeficient r.

P-hodnota se vztahuje k testu hypotézy, že skutečný korelační koeficient je nulový a
charakteristiky jsou nezávislé (v testované dvojici). Test hypotézy provádíme t-testem. Testové
statistiky najdeme v jiné tabulce zde: záložka Možnosti: Formát zobrazení à Zobrazit detailní
tabulku výsledků, pak tlačítko VÝPOČET.

Textové pole: Statistiky à Základní statistiky à Korelační matice LOG(průměr) X LOG(výška): r =
0,53, p = 0,002, t = 3,37

LOG(průměr) X LOG(objem): r = 0,98, p < 0,001, t = 24,45

LOG(výška) X LOG(objem): r = 0,65, p < 0,001, t = 4,60.


Spearmanův korelační koeficient:

(Ve STATISTICA zadám všechny tři proměnné do obou seznamů. Z nabídky VYTVOŘIT vyberu „čtvercová
matice“ pro tuto přehlednou tabulku a potom „detailní report“ pro testové statistiky a p-hodnoty.)

průměr X výška: r = 0,44, p = 0,013, t = 2,64

průměr X objem: r = 0,95, p < 0,001, t = 17,32

výška X objem: r = 0,58, p < 0,001, t = 3,84.


Nejsilnější vztah je tedy mezi průměrem kmene a objemem dřevní hmoty. Jejich bodový graf je také
uspořádán kolem teoretické regresní přímky „nejúžeji“, s nejmenším rozptylem.















Předpověď objemu dřevní hmoty: toto umí regresní analýza. Má-li být závislá proměnná OBJEM, potom
jako nezávislou proměnnou vybírám tu nejvíce korelovanou charakteristiku. V našem příkladu to je
PRŮMĚR.

V záhlaví bodového grafu z modulu „Korelační analýza“ máme rovnou uvedenu rovnici regresního
lineárního modelu.