Dva výběry
Dva výběry: Porovnání variancí
Porovnání středních hodnot
Porovnání dvou pravděpodobností
Příklady různých výběrů
Histogram z více proměnných
kojeni podle KLUKa.sta 11v*99c
hmK = 49*500*normal(x; 7928,5714; 850,1127)
hmD = 50*500*normal(x; 7455,26; 779,2897)
gr CH
gr D
5000
5500
6000
6500
7000
7500
8000
8500
9000
9500
10000
10500
0
2
4
6
8
10
12
14
Početpozorování
hmK: SW-W = 0,9885; p = 0,9107
hmD: SW-W = 0,9843; p = 0,7391
Histogram z více proměnných
kojeni podle KLUKa.sta 11v*99c
deK = 49*1*normal(x; 68,8163; 3,751)
delkaD = 50*1*normal(x; 68,28; 2,7482)
cm CH
cm D62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78
0
2
4
6
8
10
12
Početpozorování
deK: SW-W = 0,9658; p = 0,1640
delkaD: SW-W = 0,9609; p = 0,0972
Histogram z více proměnných
prasniky.sta 10v*19c
Var3 = 11*0,08*normal(x; 3,0182; 0,2228)
Var4 = 8*0,08*normal(x; 3,6875; 0,1458)
Var3
Var4
2,70
2,78
2,86
2,94
3,02
3,10
3,18
3,26
3,34
3,42
3,50
3,58
3,66
3,74
3,82
3,90
0
1
2
3
Početpozorování
Var3: SW-W = 0,9614; p = 0,7884
Var4: SW-W = 0,93; p = 0,5161
Histogram z více proměnných
kojeni podle Prsu.sta 10v*99c
trvANO censored = 33*1*normal(x; 12,1818; 5,6924)
trvNE censored = 38*1*normal(x; 9,3421; 6,2484)
trvANO censored
trvNE censored0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Početpozorování
Dva výběry: F-test shody variancí [homogeneity of variances]
Předpoklady testu:
• (X1, X2, …, Xk) a (Y1, Y2, …, Ym) všechno nezávislé; 𝑛 𝑋 = 𝑘, 𝑛 𝑌 = 𝑚
• 𝑿𝒊 ~ 𝑵(𝝁 𝑿, 𝝈 𝟐
𝑿), 𝒀𝒊 ~ 𝑵(𝝁 𝒀, 𝝈 𝟐
𝒀), parametry neznáme.
Hypotéza: 𝑯 𝟎: 𝝈 𝟐
𝑿 = 𝝈 𝟐
𝒀
ale testujeme
𝝈 𝟐
𝑿
𝝈 𝟐
𝒀
= 1
alternativa 𝑯 𝟏: 𝝈 𝟐
𝑿 ≠ 𝝈 𝟐
𝒀
Testová statistika:
𝑭 =
𝑆 𝑋
2
𝜎 𝑋
2
𝑆 𝑌
2
𝜎 𝑌
2
=
𝑆 𝑋
2
𝜎 𝑋
2 ∙
𝜎 𝑌
2
𝑆 𝑌
2 =
𝑆 𝑋
2
𝑆 𝑌
2 ∙
𝜎 𝑌
2
𝜎 𝑋
2 = 𝐻0
𝑺 𝑿
𝟐
𝑺 𝒀
𝟐
~ 𝑯 𝟎
𝑭 𝒏 𝑿−𝟏,𝒏 𝒀−𝟏
Histogram of multiple variables
kojeni podle KLUKa.sta 11v*99c
deK = 49*1*Normal(Location=68,8163; Scale=3,751)
delkaD = 50*1*Normal(Location=68,28; Scale=2,7482)
cm CH
cm D62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78
0
2
4
6
8
10
12
Noofobs
deK: SW-W = 0,9658; p = 0,1640
delkaD: SW-W = 0,9609; p = 0,0972
Dva výběry: Porovnání variancí
Porovnání středních hodnot
Porovnání dvou pravděpodobností
F–test shody variancí
Leveneův test
Ansari-Bradleyův test
Otázka a předpoklady
Testová statistika
Příklad
Konfidenční interval, síla testu
Za platnosti hypotézy je zlomek roven 1
Podrobnější odvození testové statistiky F:
Teoreticky má být
Máme:
𝑆 𝑋
2
𝜎 𝑋
2 =
1
𝜎 𝑋
2 ∙
σ 𝑖=1
𝑘
𝑋 𝑖− ത𝑋 2
𝑘−1
=
1
𝑘−1
∙
σ 𝑖=1
𝑘
𝑋 𝑖− ത𝑋 2
𝜎 𝑋
2 =
1
𝑘−1
∙ σ𝑖=1
𝑘 𝑋 𝑖− ത𝑋
𝜎 𝑋
2
Podobně pro S2
Y .
Proto má test. statistika F-rozdělení
s (k-1) a (m-1) stupni volnosti:
s (nX-1) a (nY-1)
𝑉𝑖 ~ 𝑁 0,1 a tedy σ𝒊=𝟏
𝒌
𝑽𝒊
𝟐
~ 𝝌 𝟐
𝒌
𝑭 =
σ𝒊=𝟏
𝒌
𝑽𝒊
𝟐
𝒌
σ𝒋=𝟏
𝒎
𝑾𝒋
𝟐
𝒎
𝑊𝑗 ~ 𝑁 0,1 a tedy σ𝒋=𝟏
𝒎
𝑾𝒋
𝟐
~ 𝝌 𝟐
𝒎
~ 𝑁(0,1)Jeden stupeň volnosti ztrácím odhadem 𝜇 𝑋 = ത𝑋
𝑭 =
𝑆 𝑋
2
𝜎 𝑋
2
𝑆 𝑌
2
𝜎 𝑌
2
~ 𝐹 𝑘−1, 𝑚−1
Dva výběry: Porovnání variancí
Porovnání středních hodnot
Porovnání dvou pravděpodobností
F–test shody variancí:
Leveneův test
Ansari-Bradleyův test
Otázka a předpoklady
Testová statistika
Příklad
Konfidenční interval, síla testu
Dva výběry: F-test shody variancí
Testová statistika: 𝑭 =
𝑺 𝑿
𝟐
𝑺 𝒀
𝟐 ~ 𝑯 𝟎
𝑭 𝒏 𝑿−𝟏,𝒏 𝒀−𝟏
Kritérium: typicky uvažujeme oboustrannou alternativu 𝑯 𝟏: 𝝈 𝟐
𝑿 ≠ 𝝈 𝟐
𝒀,
zajímá nás jen otázka shody či neshody variancí.
Proti nulové hypotéze svědčí dvě situace:
buď 𝑺 𝟐
𝑿 ≫ 𝑺 𝟐
𝒀 a 𝑭 =
𝑺 𝑿
𝟐
𝑺 𝒀
𝟐 leží na pravém chvostu, srovnám s 𝑭 𝒇𝟏,𝒇𝟐 𝟏 −
𝜶
𝟐
nebo 𝑺 𝟐
𝑿 ≪ 𝑺 𝟐
𝒀 a 𝑭 =
𝑺 𝑿
𝟐
𝑺 𝒀
𝟐 leží na levém chvostu, srovnám s 𝑭 𝒇𝟏,𝒇𝟐
𝜶
𝟐
tedy buď 𝑷 𝑭 ≥ 𝑭 𝒇𝟏,𝒇𝟐 𝟏 −
𝜶
𝟐
=
𝜶
𝟐
nebo 𝑷 𝑭 ≤ 𝑭 𝒇𝟏,𝒇𝟐
𝜶
𝟐
=
𝜶
𝟐
F-rozdělení není souměrné, ale platí, že
𝑷 𝑭 ≤ 𝑭 𝒇𝟏,𝒇𝟐
𝜶
𝟐
= 𝑷
𝟏
𝑭
≥ 𝑭 𝒇𝟐, 𝒇𝟏 𝟏 −
𝜶
𝟐
=
𝜶
𝟐
Proto kritérium zní: 𝐹 =
𝑣ě𝑡ší 𝑧 𝑜𝑑ℎ𝑎𝑑ů 𝑟𝑜𝑧𝑝𝑡𝑦𝑙𝑢
𝑚𝑒𝑛ší 𝑧 𝑜𝑑ℎ𝑎𝑑ů 𝑟𝑜𝑧𝑝𝑡𝑦𝑙𝑢
≥ 𝑭č𝒊𝒕𝒂𝒕,𝒋𝒎𝒆𝒏𝒐𝒗 1 −
𝛼
2
Dva výběry: Porovnání variancí
Porovnání středních hodnot
Porovnání dvou pravděpodobností
F–test shody variancí:
Leveneův test
Ansari-Bradleyův test
Otázka a předpoklady
Testová statistika
Příklad
Konfidenční interval, síla testu
Dva výběry: F-test shody variancí
Příklad: délky miminek ve 24. týdnu
Rozlišujeme Chlapce a Dívky
H0: σ2
X = σ2
Y H1: σ2
X ≠ σ2
Y
R: var.test(x, y, ratio=1,
alternative=c("two.sided","less",
"greater"), conf.level=0.95, ...)
 F test to compare two variances
data: delka[Hoch == "ano"] and delka[Hoch == "ne"]
F = 1.8629, num df = 48, denom df = 49, p-value = 0.03225
alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
95 percent confidence interval: 1.054853 3.295444
sample estimates: ratio of variances 1.862886
Odhady rozptylů: 𝑆2
𝐶𝐻 = 14.07, 𝑆2
𝐷 = 7.55
Histogram of multiple variables
kojeni podle KLUKa.sta 11v*99c
deK = 49*1*Normal(Location=68,8163; Scale=3,751)
delkaD = 50*1*Normal(Location=68,28; Scale=2,7482)
cm CH
cm D62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78
0
2
4
6
8
10
12
Noofobs
deK: SW-W = 0,9658; p = 0,1640
delkaD: SW-W = 0,9609; p = 0,0972
Numerator degrees of freedom
Stupně volnosti v čitateli (nahoře)
Denominator degr. of freedom
St. volnosti ve jmenovateli (dole).
Dva výběry: Porovnání variancí
Porovnání středních hodnot
Porovnání dvou pravděpodobností
F–test shody variancí:
Leveneův test
Ansari-Bradleyův test
Předpoklady a testová statistika
Příklad
Konfidenční interval
Síla testu, poznámky
Příklad: F-test shody variancí
Jaký výsledek dostaneme, když zadáme proměnné v opačném pořadí?
R: var.test(delka[Hoch=="ne"], delka[Hoch=="ano"])
 F test to compare two variances
data: delka[Hoch == "ne"] and delka[Hoch == "ano"]
F = 0.5368, num df = 49, denom df = 48, p-value = 0.03225
alternative hyp.: true ratio of variances is not equal to 1
95 percent confidence interval: 0.3034493 0.9479990
sample estimates: ratio of variances 0.5368016
První zadání:
 F test to compare two variances
data: delka[Hoch == "ano"] and delka[Hoch == "ne"]
F = 1.8629, num df = 48, denom df = 49, p-value = 0.03225
alternative hyp.: true ratio of variances is not equal to 1
95 percent confidence interval: 1.054853 3.295444
sample estimates: ratio of variances 1.862886
14.07
7.55
= 1.86
7.55
14.07
=
1
1.86
= 0.538
𝐹49, 48 0.025 = 0.566
𝐹48, 49 0.975 = 1.766
Dva výběry: Porovnání variancí
Porovnání středních hodnot
Porovnání dvou pravděpodobností
F–test shody variancí:
Leveneův test
Ansari-Bradleyův test
Předpoklady a testová statistika
Příklad
Konfidenční interval
Síla testu, poznámky
Příklad: F-test shody variancí
STAT: test shody variancí provádí v rámci t-testu rovnosti středních hodnot
Statistiky  Základní statistiky  t-test, nezávislé, dle skupin (dle proměn.)
Dva výběry: Porovnání variancí
Porovnání středních hodnot
Porovnání dvou pravděpodobností
F–test shody variancí:
Leveneův test
Ansari-Bradleyův test
Předpoklady a testová statistika
Příklad
Konfidenční interval
Síla testu, poznámky
Konfidenční interval pro poměr variancí
𝝈 𝟐
𝑿
𝝈 𝟐
𝒀
Je nesouměrný, protože F-rozdělení je nesouměrné:
𝐹𝑛 𝑋−1,𝑛 𝑌−1
𝛼
2
≤
𝑺 𝟐
𝑿
𝑺 𝟐
𝒀
∙
𝝈 𝟐
𝒀
𝝈 𝟐
𝑿
≤ 𝐹𝑛 𝑋−1,𝑛 𝑌−1 1 −
𝛼
2
zapracujeme znalost 𝑷 𝑭 ≤ 𝑭 𝒇𝟏,𝒇𝟐
𝜶
𝟐
= 𝑷
𝟏
𝑭
≥ 𝑭 𝒇𝟐,𝒇𝟏 𝟏 −
𝜶
𝟐
𝐹𝑛 𝑌−1,𝑛 𝑋−1 1 −
𝛼
2
≥
𝑺 𝟐
𝒀
𝑺 𝟐
𝑿
∙
𝝈 𝟐
𝑿
𝝈 𝟐
𝒀
≥ 𝐹𝑛 𝑌−1,𝑛 𝑋−1
𝛼
2
Uspořádáme logicky menší < větší a převedeme poměr odhadů rozptylů:
𝑭 𝒏 𝒀−𝟏,𝒏 𝑿−𝟏
𝜶
𝟐
∙
𝑺 𝟐
𝑿
𝑺 𝟐
𝒀
≤
𝝈 𝟐
𝑿
𝝈 𝟐
𝒀
≤ 𝑭 𝒏 𝒀−𝟏,𝒏 𝑿−𝟏 𝟏 −
𝜶
𝟐
∙
𝑺 𝟐
𝑿
𝑺 𝟐
𝒀
Ad příklad: 0.566 * 1.863 ≤ var(X)/ var(Y) ≤ 1.766 * 1.863
1.055 ≤ var(X)/ var(Y) ≤ 3.295 … nepokrývá 1, H0 zamítáme
Dva výběry: Porovnání variancí
Porovnání středních hodnot
Porovnání dvou pravděpodobností
F–test shody variancí:
Leveneův test
Ansari-Bradleyův test
Předpoklady a testová statistika
Příklad
Konfidenční interval
Síla testu, poznámky
F-test shody variancí – další poznámky
• Pokud nezamítám H0 (rozptyly jsou shodné), počítám odhad společného
rozptylu [pooled variance] takto:
𝑆2 =
σ𝑖=1
𝑛 𝑋
𝑋𝑖 − ത𝑋 2 + σ 𝑗=1
𝑛 𝑌
𝑌𝑗 − ത𝑌
2
𝑛 𝑋 + 𝑛 𝑌 − 2
=
𝑛 𝑋 − 1 𝑆 𝑋
2
+ 𝑛 𝑌 − 1 𝑆 𝑌
2
𝑛 𝑋 + 𝑛 𝑌 − 2
• F-test je dost slabý test, zvláště při malých četnostech výběrů. Uvažte, že
pro výběry velikosti 10 (běžné počty v biologii) srovnáváme statistiku F
s kvantilem F9, 9 (0.975) = 4.026, tzn. že musí být SX
2 > 4*SY
2, čtyřikrát
větší, aby test zamítnul H0. Proto je pravděpod. β chyby 2. druhu velká.
• Excel (verze 2010, modul Analýza dat) udává p-hodnotu jednostranného testu.
Skutečná p-hodnota testové statistiky je dvojnásobná! Excel počítá
𝑃 𝑛áℎ. 𝑣𝑒𝑙. ≥
𝑺 𝟐
𝑿
𝑺 𝟐
𝒀
= 𝑝, ale musím přidat také „druhý chvost“.
Dva výběry: Porovnání variancí
Porovnání středních hodnot
Porovnání dvou pravděpodobností
F–test shody variancí:
Leveneův test
Ansari-Bradleyův test
Předpoklady a testová statistika
Příklad
Konfidenční interval
Síla testu, poznámky
Další testy shody variancí
Leveneův test – bude u analýzy rozptylu; pracuje s odchylkami od průměrů
(nebo lépe mediánů). Předpokládá normální rozdělení dat.
STAT: volitelný test v záložce Možnosti při definování t-testu.
R: balík car (Companion to Applied Regression), funkce leveneTest(x, y, …)
Brown & Forsythe test – modifikace Leveneova testu na mediány, takto je
test robustnější vůči odchylce od normálního rozdělení dat.
STAT: tamtéž.
Ansari-Bradleyův dvouvýběrový test - pořadový test, neparametrický.
Testuje hodnotu s, což je zde poměr směrodatných odchylek (scales).
R: ansari.test(x, y, …)
R obsahuje také Moodyho test, který je ovšem komentován takto:
„existují užitečnější testy pro tento problém“ 
Dva výběry: Porovnání variancí
Porovnání středních hodnot
Porovnání dvou pravděpodobností
F–test shody variancí
Leveneův test
Ansari-Bradleyův test
Dva výběry: t-test shody průměrů
Předpoklady testu:
• (X1, X2, …, Xk) a (Y1, Y2, …, Ym) všechno nezávislé
• 𝑿𝒊 ~ 𝑵(𝝁 𝑿, 𝝈 𝑿
𝟐), 𝒀𝒊 ~ 𝑵(𝝁 𝒀, 𝝈 𝒀
𝟐), parametry neznáme.
• výběry mají stejnou varianci, liší se tedy jen posunutím střední hodnoty;
𝝈 𝑿
𝟐 = 𝝈 𝒀
𝟐 ozn. 𝝈 𝟐
• pokud předpoklad stejných rozptylů není splněn, máme Welchův test (dále)
Hypotéza: 𝑯 𝟎: 𝝁 𝑿 = 𝝁 𝒀 testujeme 𝜇 𝑋 − 𝜇 𝑌 = 0
alternativa 𝑯 𝟏: 𝝁 𝑿 ≠ 𝝁 𝒀
t–test shody průměrů
Welchovo přibližné t
Wilcoxonův dvouvýběrový test
Mannův-Whitneyův test
Předpoklady a hypotéza
Testová statistika
Poznámky
Příklady
Histogram of multiple variables
kojeni podle KLUKa.sta 11v*99c
deK = 49*1*Normal(Location=68,8163; Scale=3,751)
delkaD = 50*1*Normal(Location=68,28; Scale=2,7482)
cm CH
cm D62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78
0
2
4
6
8
10
12
Noofobs
deK: SW-W = 0,9658; p = 0,1640
delkaD: SW-W = 0,9609; p = 0,0972
Histogram of multiple variables
kojeni podle KLUKa.sta 11v*99c
hmK = 49*500*Normal(Location=7928,5714; Scale=850,1127)
hmD = 50*500*Normal(Location=7455,26; Scale=779,2897)
gr CH
gr D5000 5500 6000 6500 7000 7500 8000 8500 9000 9500 10000 10500
0
2
4
6
8
10
12
14
Noofobs
hmK: SW-W = 0,9885; p = 0,9107
hmD: SW-W = 0,9843; p = 0,7391
Dva výběry: Porovnání variancí
Porovnání středních hodnot
Porovnání dvou pravděpodobností
Dva výběry: t-test shody průměrů
Hypotéza: 𝑯 𝟎: 𝝁 𝑿 = 𝝁 𝒀 testujeme 𝜇 𝑋 − 𝜇 𝑌 = 0
alternativa 𝑯 𝟏: 𝝁 𝑿 ≠ 𝝁 𝒀
Použijeme odhad: 𝑆2
=
σ 𝑖=1
𝑛 𝑋 𝑋 𝑖− ത𝑋 2+ σ 𝑗=1
𝑛 𝑌 𝑌 𝑗−ത𝑌
2
𝑛 𝑋+𝑛 𝑌−2
=
𝑛 𝑋−1 𝑆 𝑋
2
+ 𝑛 𝑌−1 𝑆 𝑌
2
𝑛 𝑋+𝑛 𝑌−2
Odhad pro společný rozptyl [pooled variance]
Testová statistika:
𝑻 =
ഥ𝑿 − ഥ𝒀 − 𝟎
𝑺. 𝑬. (ഥ𝑿 − ഥ𝒀)
=
ഥ𝑿 − ഥ𝒀
𝑺
𝒏 𝑿 𝒏 𝒀
𝒏 𝑿 + 𝒏 𝒀
~ 𝑯 𝟎
𝒕 𝒏 𝑿+𝒏 𝒀−𝟐
Kritéria podle H1: 𝜇 𝑋 ≠ 𝜇 𝑌 → 𝑻 ≥ 𝒕 𝒏 𝑿+𝒏 𝒀−𝟐 𝟏 − Τ𝜶
𝟐
𝜇 𝑋 > 𝜇 𝑌 → 𝑻 ≥ 𝒕 𝒏 𝑿+𝒏 𝒀−𝟐 𝟏 − 𝜶
𝜇 𝑋 < 𝜇 𝑌 → 𝑻 ≤ 𝒕 𝒏 𝑿+𝒏 𝒀−𝟐 𝜶 = −𝒕 𝒏 𝑿+𝒏 𝒀−𝟐 𝟏 − 𝜶
čti: má za platnosti
hypotézy H0 rozdělení …
Dva výběry: Porovnání variancí
Porovnání středních hodnot
Porovnání dvou pravděpodobností
t–test shody průměrů
Welchovo přibližné t
Wilcoxonův dvouvýběrový test
Mannův-Whitneyův test
Předpoklady a hypotéza
Testová statistika
Poznámky
Příklady
Pro zájemce odvození rovnosti
𝑆. 𝐸. ത𝑋 − ത𝑌 = 𝑆 ∙
𝑛 𝑋+𝑛 𝑌
𝑛 𝑋 𝑛 𝑌
, tedy 𝒗𝒂𝒓 ഥ𝑿 − ഥ𝒀 =
𝒏 𝑿+𝒏 𝒀
𝒏 𝑿 𝒏 𝒀
𝑺 𝟐
 𝒗𝒂𝒓 ഥ𝑿 − ഥ𝒀 = 𝐸 ത𝑋 − ത𝑌 − 𝐸 ത𝑋 − ത𝑌 2
= 𝐸 ത𝑋 − 𝐸 ത𝑋 − ത𝑌 + 𝐸 ത𝑌 2
=
𝐸 ( ത𝑋 − 𝐸 ത𝑋) − (ത𝑌 − 𝐸 ത𝑌) 2
= 𝐸ሼ( ത𝑋 − 𝐸 ത𝑋)2
−2 ∙ ത𝑋 − 𝐸 ത𝑋 ത𝑌 − 𝐸 ത𝑌 +
Dva výběry: Porovnání variancí
Porovnání středních hodnot
Porovnání dvou pravděpodobností
t–test shody průměrů
Welchovo přibližné t
Wilcoxonův dvouvýběrový test
Mannův-Whitneyův test
Předpoklady a hypotéza
Testová statistika
Poznámky
Příklady
• Všimněte si rozdílu proti párovému t-testu:
Párový t-test H0: 𝝁 𝑿 = 𝝁 𝒀 a počítám 𝑿𝒊 = 𝑼𝒊 − 𝑽𝒊 … průměr rozdílů,
tj. má smysl počítat rozdíl v páru pozorování
Dvouvýběrový H0: 𝝁 𝑿 = 𝝁 𝒀 (H0 stejná) ഥ𝑿 − ഥ𝒀 … rozdíl průměrů
Zde není žádný vztah mezi 𝑋𝑖 a 𝑌𝑖, navíc počet 𝒏 𝑿 a 𝒏 𝒀 se může lišit.
• t-test je celkem robustní vůči narušení předpokladů, zvlášť pokud máme
dostatek pozorování a výběry jsou zhruba stejně početné (uplatní se CLV).
PŘESTO je-li podezření na nestejnost variancí (normálního rozdělení)
nebo se 𝒏 𝑿 a 𝒏 𝒀 značně liší, použijeme lépe
Welchův přibližný t-test:
𝑻 =
ഥ𝑿 − ഥ𝒀 − 𝟎
𝑺 𝑿
𝟐
𝒏 𝑿
+
𝑺 𝒀
𝟐
𝒏 𝒀
~ 𝑯 𝟎
𝒕 𝒇 , 𝑘𝑑𝑒 𝑓 =
𝑆 𝑋
2
𝑛 𝑋
+
𝑆 𝑌
2
𝑛 𝑌
2
𝑆 𝑋
2
𝑛 𝑋
2
𝑛 𝑋 − 1 +
𝑆 𝑌
2
𝑛 𝑌
2
𝑛 𝑌 − 1
Počet stupňů volnosti f
může být i desetinné číslo!
Rozdělení testové
statistiky známe jen
přibližně, proto také
p-hodnota je jen přibližná.
Dva výběry: Porovnání variancí
Porovnání středních hodnot
Porovnání dvou pravděpodobností
t–test shody průměrů
Welchovo přibližné t
Wilcoxonův dvouvýběrový test
Mannův-Whitneyův test
Předpoklady a hypotéza
Testová statistika
Poznámky
Příklady
T-test - zadání v softwaru:
STAT: Statistiky  Základní statistiky  t-test, nezávislé, dle skupin
nebo  t-test, nezávislé, dle proměnných
Welchův test: v záložce Možnosti zvolit test se samostatnými odhady rozptylu
(Test with separate variance estimates).
R: t.test(x, y, alternative=c("two.sided","less",
"greater"), mu=0, paired=FALSE, var.equal=FALSE,
conf.level=0.95, ...)
t.test(měření ~ skupiny, data, subset, …) Přednastavené nestejné
rozptyly, počítá rovnou
Welchův přibližný test.
Dva výběry: Porovnání variancí
Porovnání středních hodnot
Porovnání dvou pravděpodobností
t–test shody průměrů
Welchovo přibližné t
Wilcoxonův dvouvýběrový test
Mannův-Whitneyův test
Předpoklady a hypotéza
Testová statistika
Poznámky
Příklady
t-test – příklad první:
Délka miminek ve 24. týdnu
Rozlišujeme Chlapce a Dívky
H0: μX = μY H1: μX ≠ μY
Předpoklady:
Normalita slušná, navíc máme dost
pozorování v obou skupinách (49 a 50).
Variance se různí  Welchův přibližný t-test.
STAT:
Zde zadání
„dle proměnných“.
Histogram of multiple variables
kojeni podle KLUKa.sta 11v*99c
deK = 49*1*Normal(Location=68,8163; Scale=3,751)
delkaD = 50*1*Normal(Location=68,28; Scale=2,7482)
cm CH
cm D62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78
0
2
4
6
8
10
12
Noofobs
deK: SW-W = 0,9658; p = 0,1640
delkaD: SW-W = 0,9609; p = 0,0972
Welchovo t zde
pokračování horní tabulky
Dva výběry: Porovnání variancí
Porovnání středních hodnot
Porovnání dvou pravděpodobností
t–test shody průměrů
Welchovo přibližné t
Wilcoxonův dvouvýběrový test
Mannův-Whitneyův test
Předpoklady a hypotéza
Testová statistika
Poznámky
Příklady
t-test – příklad první:
Délka miminek ve 24. týdnu
Rozlišujeme Chlapce a Dívky
H0: μX = μY H1: μX ≠ μY
Předpoklady:
Normalita slušná, navíc máme dost
pozorování v obou skupinách (49 a 50).
Variance se různí  Welchův přibližný t-test.
R: t.test(delka ~ Hoch, data=kojeni, var.equal=FALSE)
Welch Two Sample t-test
data: delka by Hoch
t = 0.81021, df = 87.945, p-value = 0.42
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval: -0.7791904 1.8518435
sample estimates: mean in group ano mean in group ne
68.81633 68.28000
Histogram of multiple variables
kojeni podle KLUKa.sta 11v*99c
deK = 49*1*Normal(Location=68,8163; Scale=3,751)
delkaD = 50*1*Normal(Location=68,28; Scale=2,7482)
cm CH
cm D62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78
0
2
4
6
8
10
12
Noofobs
deK: SW-W = 0,9658; p = 0,1640
delkaD: SW-W = 0,9609; p = 0,0972
Nezamítám hypotézu o shodných
průměrech
Dva výběry: Porovnání variancí
Porovnání středních hodnot
Porovnání dvou pravděpodobností
t–test shody průměrů
Welchovo přibližné t
Wilcoxonův dvouvýběrový test
Mannův-Whitneyův test
Předpoklady a hypotéza
Testová statistika
Poznámky
Příklady
t-test – příklad druhý:
Hmotnost miminek ve 24. týdnu
Rozlišujeme Chlapce a Dívky
H0: μX = μY H1: μX ≠ μY
Předpoklady:
Normalita výborná, navíc máme dost
pozorování v obou skupinách (49 a 50).
STAT:
Zadání „dle skupin“.
Zamítám hypotézu o shodných
průměrech
Histogram z více proměnných
kojeni podle KLUKa.sta 11v*99c
hmK = 49*500*normal(x; 7928,5714; 850,1127)
hmD = 50*500*normal(x; 7455,26; 779,2897)
gr CH
gr D
5000
5500
6000
6500
7000
7500
8000
8500
9000
9500
10000
10500
0
2
4
6
8
10
12
14
Početpozorování
hmK: SW-W = 0,9885; p = 0,9107
hmD: SW-W = 0,9843; p = 0,7391
Dva výběry: Porovnání variancí
Porovnání středních hodnot
Porovnání dvou pravděpodobností
t–test shody průměrů
Welchovo přibližné t
Wilcoxonův dvouvýběrový test
Mannův-Whitneyův test
Předpoklady a hypotéza
Testová statistika
Poznámky
Příklady
t-test – příklad druhý:
Hmotnost miminek ve 24. týdnu
Rozlišujeme Chlapce a Dívky
H0: μX = μY H1: μX ≠ μY
Předpoklady:
Normalita výborná, navíc máme dost
pozorování v obou skupinách (49 a 50).
R: var.test(hmotnost~Hoch,data=kojeni)
F test to compare two variances
data: hmotnost by Hoch
F = 1.19, num df = 48, denom df = 49, p-value = 0.5462 … variance OK
t.test(hmotnost ~ Hoch, data=kojeni, var.equal=TRUE)
Two Sample t-test
data: hmotnost by Hoch
t = 2.8887, df = 97, p-value = 0.004772
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval: 148.1130 798.5098
sample estimates:
mean in group ano mean in group ne
7928.571 7455.260
Zamítám hypotézu o shodných
průměrech
Histogram z více proměnných
kojeni podle KLUKa.sta 11v*99c
hmK = 49*500*normal(x; 7928,5714; 850,1127)
hmD = 50*500*normal(x; 7455,26; 779,2897)
gr CH
gr D
5000
5500
6000
6500
7000
7500
8000
8500
9000
9500
10000
10500
0
2
4
6
8
10
12
14
Početpozorování
hmK: SW-W = 0,9885; p = 0,9107
hmD: SW-W = 0,9843; p = 0,7391
Dva výběry: Porovnání variancí
Porovnání středních hodnot
Porovnání dvou pravděpodobností
t–test shody průměrů
Welchovo přibližné t
Wilcoxonův dvouvýběrový test
Mannův-Whitneyův test
Předpoklady a hypotéza
Testová statistika
Poznámky
Příklady
Neparametrický test rovnosti středních hodnot
Mannův-Whitneyův test alias dvouvýběrový Wilcoxonův test
Předpoklady:
(X1, X2, …, Xk) a (Y1, Y2, …, Ym) všechno nezávislé ze spojitého rozdělení.
Nulová hypotéza: rozdělení pravděpodobností náh. veličin X a Y je stejné
(tedy ani posunutí, ani velký rozdíl ve variabilitě)
 Za platnosti nulové hypotézy jsou stejné i populační mediány
Princip Wilcoxonova pořadového testu:
Sesypeme oba výběry dohromady a hodnoty seřadíme (neřešíme +/- jako u
párového testu). Když platí H0, měly by se zhruba pravidelně střídat hodnoty
z X a z Y. Součet pořadí by tedy měl být srovnatelný, zhruba polovina
z
(𝑛 𝑥+𝑛 𝑌)∙(𝑛 𝑥+𝑛 𝑌+1)
2
, tedy
(𝑛 𝑥+𝑛 𝑌)∙(𝑛 𝑥+𝑛 𝑌+1)
4
.
Protože ale velikosti výběrů nX a nY nemusí být stejné, musím spočtený
součet porovnávat s poměrnou částí celého součtu, viz dále:
Dva výběry: Porovnání variancí
Porovnání středních hodnot
Porovnání dvou pravděpodobností
t–test shody průměrů
Welchovo přibližné t
Wilcoxonův dvouvýběrový test
Mannův-Whitneyův test
Předpoklady, hypotéza, princip
Testová statistika
Poznámky
Příklad
Dvouvýběrový Wilcoxonův test
Princip Wilcoxonova pořadového testu:
 𝑾 𝑿 = σ𝒊=𝟏
𝒏 𝑿
𝑹 𝑿𝒊 … součet pořadí hodnot z výběru X
 𝑾 𝒀 = σ𝒋=𝟏
𝒏 𝒀
𝑹 𝒀𝒋 … součet pořadí hodnot z výběru Y
 Součet všech pořadí: 𝑾 𝑿 + 𝑾 𝒀 =
(𝒏 𝒙+𝒏 𝒀)∙(𝒏 𝒙+𝒏 𝒀+𝟏)
𝟐
 Za platnosti H0 je očekávaný součet
𝑬𝑾 𝑿 =
𝒏 𝒙
𝒏 𝒙 + 𝒏 𝒀
(𝒏 𝒙 + 𝒏 𝒀) ∙ (𝒏 𝒙 + 𝒏 𝒀 + 𝟏)
𝟐
=
𝒏 𝒙 ∙ (𝒏 𝒙 + 𝒏 𝒀 + 𝟏)
𝟐
𝒗𝒂𝒓 𝑾 𝑿 =
𝒏 𝒙 ∙ 𝒏 𝒀 ∙ (𝒏 𝒙 + 𝒏 𝒀 + 𝟏)
𝟏𝟐
 Při větším množství shod v pořadí ještě úprava výběrového rozptylu…
 Pro menší rozsahy výběrů nX a nY lze počítat přesné pravděpodobnosti,
pro větší n se používá aproximace normálním rozdělením.
Poměrná část vůči celkovému počtu hodnot
Dva výběry: Porovnání variancí
Porovnání středních hodnot
Porovnání dvou pravděpodobností
t–test shody průměrů
Welchovo přibližné t
Wilcoxonův dvouvýběrový test
Mannův-Whitneyův test
Předpoklady, hypotéza, princip
Testová statistika
Poznámky
Příklad
~ multinomické
rozdělení
Dvouvýběrový Mannův-Whitneyův test
Test je založen na zdánlivě jiné myšlence: porovnává všechny možné dvojice
(Xi, Yj) a počítá, v kolika případech je hodnota X menší než Y.
Jsou-li distribuce veličin srovnatelné (H0), bude to zhruba polovina dvojic.
 Označme 𝑼 𝑿 počet dvojic, kde 𝑿𝒊 < 𝒀𝒋 , 𝑼 𝑿 ~ 𝑯 𝟎
𝑩𝒊(𝒏 𝑿 ∙ 𝒏 𝒀, 𝟎. 𝟓)
 Označme 𝑼 𝒀 počet dvojic, kde 𝑿𝒊 > 𝒀𝒋
 Případy 𝑿𝒊 = 𝒀𝒋 započítáme polovinou k UX a polovinou k UY
 Kritický obor je zpravidla popisován pomocí 𝑈 = min(𝑈 𝑋, 𝑈 𝑌).
 Tyto rovnice ukazují souvislost mezi testovými statistikami:
𝑾 𝑿 = 𝒏 𝒙 𝒏 𝒀 +
𝒏 𝒙∙(𝒏 𝒙+𝟏)
𝟐
− 𝑼 𝑿
𝑾 𝒀 = 𝒏 𝒙 𝒏 𝒀 +
𝒏 𝒀∙(𝒏 𝒀+𝟏)
𝟐
− 𝑼 𝒀
Dva výběry: Porovnání variancí
Porovnání středních hodnot
Porovnání dvou pravděpodobností
t–test shody průměrů
Welchovo přibližné t
Wilcoxonův dvouvýběrový test
Mannův-Whitneyův test
Předpoklady, hypotéza, princip
Testová statistika
Poznámky
Příklad
Poznámky k Mann-Whitneyovu U testu a Wilcoxonovu testu
• Oba testy prověřují nulovou hypotézu o shodě rozdělení, ze kterého
pocházejí porovnávané výběry. Pokud testujeme nulovou hypotézu
o shodě polohy (mediánu), musíme předpokládat, že se distribuce
příliš neliší tvarem.
• Statistika U zahrnuje úpravu pro shody v pořadí (tied values).
• Uvádí se, že pro výběry početnější než 20 pozorování se rozdělení
U statistiky rychle blíží normálnímu rozdělení, proto je ve výsledcích
testů také Z statistika a Z statistika s opravou na spojitost (Yatesova
korekce).
• Zároveň je pro menší n spočtena přesná (exact) pravděpodobnost,
že náhodná veličina bude větší než spočtená statistika U, tedy prst.
na pravém chvostu. Tato p-hodnota je vynásobena *2, což odpovídá
pravděpodobnosti oboustranné alternativní hypotézy. Nicméně ve
výpočtu není zahrnuta oprava na shody v pořadí, proto R takovou
zkreslenou „exact“ pravděpodobnost vůbec nenabízí.
Dva výběry: Porovnání variancí
Porovnání středních hodnot
Porovnání dvou pravděpodobností
t–test shody průměrů
Welchovo přibližné t
Wilcoxonův dvouvýběrový test
Mannův-Whitneyův test
Předpoklady, hypotéza, princip
Testová statistika
Poznámky
Příklad
Neparametrické dvouvýběrové testy v softwaru:
STAT: Statistiky  Neparametrické statistiky  Porovnání dvou nezávislých
vzorků (skupiny)
tzn. data musí být uspořádány jako hodnoty (Var1) a kódování (Var2)
Nabídka:
Wald-Wolfowitz runs test – testuje rozdíly
ve tvaru distribuční funkce, nedá se interpretovat
přímo na posunutí středních hodnot.
Kolmogorov-Smirnov dvouvýběrový test
– totéž
Mann-Whitney U test – může být interpretován
stejně jako t-test, tedy jako test
shody (nebo posunutí) středních hodnot.
Yatesova korekce na spojitost – pro velké
rozsahy výběrů vypnout.
Dva výběry: Porovnání variancí
Porovnání středních hodnot
Porovnání dvou pravděpodobností
t–test shody průměrů
Welchovo přibližné t
Wilcoxonův dvouvýběrový test
Mannův-Whitneyův test
Předpoklady, hypotéza, princip
Testová statistika
Poznámky
Příklad
Mann-Whitney alias Wilcoxon - příklad:
Příklad: data o délce kojení (v týdnech) a záznam, zda bylo dítě do 30 minut
po porodu přiloženo k prsu. Z výběru byly „uříznuty“ údaje „24 týdnů“,
protože toto číslo zahrnuje všechny matky, které kojily ve 24. týdnu, ale
neříkají nic o tom, jak dlouho ještě kojily po tomto datu.
R: wilcox.test(x, y, alternative=
c("two.sided","less","greater"),
mu=0, paired=FALSE, exact=NULL,
correct=TRUE, conf.int=FALSE,
conf.level=0.95, ...)
Pozn. STAT a R se v číslech zcela neshodnou…
Histogram z více proměnných
kojeni podle Prsu.sta 10v*99c
trvANO censored = 33*1*normal(x; 12,1818; 5,6924)
trvNE censored = 38*1*normal(x; 9,3421; 6,2484)
trvANO censored
trvNE censored0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Početpozorování
Dva výběry: Porovnání variancí
Porovnání středních hodnot
Porovnání dvou pravděpodobností
t–test shody průměrů
Welchovo přibližné t
Wilcoxonův dvouvýběrový test
Mannův-Whitneyův test
Předpoklady, hypotéza, princip
Testová statistika
Poznámky
Příklad
Mediánový test
Existuje, je však velmi slabý.
Dva výběry: Porovnání variancí
Porovnání středních hodnot
Porovnání dvou pravděpodobností
t–test shody průměrů
Welchovo přibližné t
Wilcoxonův dvouvýběrový test
Mannův-Whitneyův test
Porovnání dvou pravděpodobností
tj. mám data o dvou znacích nominální proměnné a ptám se,
zda se dva výběry shodnou v pravděpodobnosti, že nastane znak A.
Toto odpovídá čtyřpolní kontingenční tabulce.
(je-li sledovaných znaků více, testuji obecnou kontingenční tabulku)
Předpoklad: mám dvě série vzájemně nezávislých pokusů, ve kterých zjišťuji,
zda nastal znak (jev) A. Prst. znaku A v jedné sérii je stejný.
• Y1 = počet pokusů, kdy nastal znak A v první sérii (celkem n1)
• Y2 = počet pokusů, kdy nastal znak A ve druhé sérii (celkem n2)
• 𝒀 𝟏~𝑩𝒊 𝒏 𝟏, 𝒑 𝟏 𝒀 𝟐~𝑩𝒊(𝒏 𝟐, 𝒑 𝟐)
Nulová hypotéza: obě pravděpodobnosti jsou shodné, 𝒑 𝟏 = 𝒑 𝟐 = 𝒑
Odhady: ෝ𝒑 𝟏 =
𝒀 𝟏
𝒏 𝟏
ෝ𝒑 𝟐 =
𝒀 𝟐
𝒏 𝟐
𝒗𝒂𝒓 ෝ𝒑 𝟏 − ෝ𝒑 𝟐 =
𝒑 𝟏∙(𝟏−𝒑 𝟏)
𝒏 𝟏
+
𝒑 𝟐∙(𝟏−𝒑 𝟐)
𝒏 𝟐
= 𝑯 𝟎
𝒑 ∙ (𝟏 − 𝒑) ∙
𝟏
𝒏 𝟏
+
𝟏
𝒏 𝟐
Dva výběry: Porovnání variancí
Porovnání středních hodnot
Porovnání dvou pravděpodobností
Dvě pravděpodobnosti binomického
rozdělení
Binomický test
Aproximace normálním rozdělením
Chí-kvadrát test
Porovnání dvou pravděpodobností
𝒀 𝟏~𝑩𝒊 𝒏 𝟏, 𝒑 𝟏 𝒀 𝟐~𝑩𝒊(𝒏 𝟐, 𝒑 𝟐)
Nulová hypotéza: obě pravděpodobnosti jsou shodné, 𝒑 𝟏 = 𝒑 𝟐 = 𝒑
Testovat můžeme trojím způsobem:
1) Přesný binomický test  R: binom.test
2) Přibližný test přes aproximaci normálním rozdělením
𝑍 =
ෝ𝒑 𝟏−ෝ𝒑 𝟐
𝑆.𝐸.(ෝ𝒑 𝟏−ෝ𝒑 𝟐)
=
ෝ𝒑 𝟏−ෝ𝒑 𝟐
ො𝑝(1− ො𝑝)
𝟏
𝒏 𝟏
+
𝟏
𝒏 𝟐
~ 𝑁(0,1)
STAT: Statistiky Základní statistiky  Testy rozdílů
3) Chí-kvadrát test
R: prop.test
chisq.test
STAT: Statistiky Neparametrické statistiky  2x2 tabulky
Dva výběry: Porovnání variancí
Porovnání středních hodnot
Porovnání dvou pravděpodobností
Dvě pravděpodobnosti binomického
rozdělení
Binomický test
Aproximace normálním rozdělením
Chí-kvadrát test