Bendová, V., 2018: Úvod do matematiky
1
Teorie ke cvičení předmětu C1460: Úvod do matematiky Téma 1: Lineární algebra
Skupina: Vyučující
Veronika Bendová podzimní semestr, 2018
1   Lineární algebra - Přehled pojmů
• vektor ...posloupnost čísel; např. (1,2,0)
1  3 0
• matice ... tabulka čísel; např. (    ^ ^
• délka vektoru ... počet čísel ve vektoru
• dimenze matice ... počet řádků matice a počet sloupců matice
• (hlavní) diagonála matice .. .prvky matice na pozicích [1,1], [2,2], [3,3], ...
( 1  3  0 V     (l ~l\
• transpozice matice ... zrcadlové převrácení matice podle hlavní diagonály; např. ^     q    2 J   = \^j
• skalární součin vektorů ... speciální násobení dvou vektorů, jehož výsledkem je číslo
• lineární kombinace vektorů ...např. 2 x    —1    +   0    =    —2    ...vektor    —2    je lineární kombinací
w w w w
vektoru    — 1    a 0
V 3 / W
• lineární závislost vektorů .. .vektory jsou lineárně závislé, pokud lze minimálně jeden z nich vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních vektoru; .. .např.    —1   ,    0   , a    —2    isou lineárně závislé vektory
\*) U W
• lineární nezávislost vektorů ... vektory jsou lineárně nezávislé, pokud žádný z nich nelze vyjádřit jako lineární
H   (°\ (°\
kombinaci ostatních vektoru, ... např. vektory    0,2,0    isou lineárně nezávislé
w w w
/l 2 0\ /l 2 0\
• schodovitý tvar matice ... tvar matice, kde jsou pod diagonálou samé nuly; např.    0 2 3, nebo    0 2 3,
\0 0 5/ \0 0 0/
ale i    0 0 0. Každou matici můžeme převést na schodovitý tvar procesem zvaným Gaussova eliminace. \0 0 0/
• Gaussova eliminace ... algoritmus, pomocí kterého převádíme matici v libovolném tvaru na matici ve schodovitém tvaru pomocí vhodně volené posloupnosti následujících úprav
a) záměna řádků,
b) vynásobení libovolného řádku nenulovým číslem,
c) přičtení některého řádku nebo jeho násobku k jinému řádku,
d) vynechání řádku, který je lineární kombinací ostatních řádků.
(6. listopadu 2018)
Bendová, V., 2018: Úvod do matematiky
2
• hodnost matice ... počet lineárně nezávislých řádků matice (lineárně nezávislé řádky matice jsou ty, které po
úpravě na schodovitý tvar neobsahují samé nuly), např. matice    0 2 3    má 2 lineárně nezávislé řádky.
\0 0 0/
í1 ° 2\
• homogenní matice ... matice ve tvaru    0 3 2
/l 0 2 | 4\
• nehomogenní matice ... matice ve tvaru I 0 3 2 | 4 I
\1 0 1 | 3/
—2a; i — 2x2 —   x% = 1
• soustava lineárních rovnic ...    3a; i +   X2 +   x% = 0
—x\ + 5x2 + 4a?3 = 3
• determinant matice ... číslo, které umíme vypočítat z každé čtvercové matice. V případě matice dimenze 2x2 počítáme determinant křížovým pravidlem, v případě matice dimenze 3x3 počítáme determinant matice Sarussovým pravidlem, v případě matice libovolné dimenze větší než 3x3 počítáme determinant Laplaceovým rozvojem (zde neděláme).
• křížové pravidlo .. .metoda umožňující rychle vypočítat determinant matice dimenze 2x2
• Sarussovo pravidlo ... metoda umožňující relativně rychle vypočítat determinant matice dimenze 3x3
(6. listopadu 2018)