Bendová, V., 2018: Úvod do matematiky
1
příklady ke cvičení předmětu c1460: ijvod do matematiky Téma 2: Limity a derivace
Skupina: A
Veronika Bendová podzimní semestr, 2018
2.1   Vlastnosti základních funkcí Příklad 2.1. Základní vlastnosti funkce tan(a;)
Na obrázku 1 vlevo je zobrazený graf funkce f(x) = tan(a;). Na základě grafu stanovte
1. definiční obor funkce f(x);
2. obor hodnot funkce f(x);
3. spojitost funkce f(x) na celém definičním oboru, případně na vybraných subintervalech, mádi to smysl;
4. ohraničenost funkce f(x) (horní / dolní / globální ohraničenost funkce f(x));
5. periodicitu funkce f(x), případně její periodu;
6. paritu funkce;
7. monotónnost funkce na celém definičním oboru, případně na vybraných subintervalech, mádi to smysl;
8. + uveďte limity funkce v zajímavých bodech, jsoudi nějaké. Své závěry stručně zdůvodněte.
-jt    -tc/2     0      tc/2      jt     3tc/2    2tc _4_3_2-101234
x x
Obrázek 1: Graf funkce tan(a;) (vlevo); graf funkce x1 (vpravo)
(15. listopadu 2018)
Bendová, V., 2018: Úvod do matematiky
Příklad 2.2. Základní vlastnosti funkce x1
Na obrázku 1 vpravo je zobrazený graf funkce f(x) = x1. Na základě grafu stanovte
1. definiční obor funkce f(x);
2. obor hodnot funkce f(x);
3. spojitost funkce f(x) na celém definičním oboru, případně na vybraných subintervalech, má-li to smysl;
4. ohraničenost funkce f(x) (horní / dolní / globální ohraničenost funkce f(x));
5. periodicitu funkce f(x), případně její periodu;
6. paritu funkce;
7. monotónnost funkce na celém definičním oboru, případně na vybraných subintervalech, má-li to smysl;
8. + uveďte limity funkce v zajímavých bodech, jsou-li nějaké. Své závěry stručně zdůvodněte.
2.2   Výpočty limit
Příklad 2.3. Hornerovo schéma: Rozklad polynomu na kořenové činitele
Rozložte na kořenové činitele následující polynomy
1. x2+x-2 (x + 2)x(x-l)
2. x3 - 3x2 - 6x + 8 (x - 1) x (x + 2) x (x - 4)
Příklad 2.4. Limity funkcí ve vlastním bodě
Vypočítejte následující limity
1. limx^_3 x2 + 3x + 2 2
„ ,. 3X - 2X ,
2. lim^2     5X 5
4a;3 - x + 2 1 x4 - 6x3 - 9x + 4 2
3. lim.
xa + 2x2 — 5x — 6 15 4. lim^^o-ň-:-
x2 - A 4
Příklad 2.5. Limity funkcí v nevlastním bodě
Vypočítejte následující limity
4
xá
2 + x3 - x4
2. hm^-oo —-5-5—0 4 , , 0
xA — ôx* — 2a;4 + 1
_
3. lim^oo ——— 0
5X
4 + 2X
4. liniT^-no- 2
2 + 5X
5. limx_
6. limx_
7. limx_
8. limT
6a; — 5a; + 4a; — 1 3 50 6 + x2 - 3a;5 + 4a;7 2
4^
3a;4 + 4a;8 - 3 2a;6 — x5 + 3x4 — 5x
3X _ QX
(15. listopadu 2018)
Bendová, V., 2018: Úvod do matematiky
2.3   Výpočty derivací
Příklad 2.6. Derivace prvního řádu funkce
Vypočítejte následující derivace
1. (a;8 + x~s + x° — cos(x) + ex)'
2. (3a;5 - 2a;3 - 4a; + 4)'
3. (a;3 sin (a;) + 4a;tan(a;))' 'cos(a;) \'
8a;7 — 8a; 9 + sin(a;) + ex 15a;4 - 6a;2 - 4 4a;
3a; sin(a;) + x cos(x) + 4 tan(a;) +
cos2 (a;)
■ sin(a;) sin(a;) — cos(a;) cos(a;) —1
sin2 (a;)
sin (a;)
2(x-l) x(x — 2)
2cos(2a;) — 2a;sin(a;2)
1 — sin' (a;)     3 cos(a;) cos(a;) x
sm(x)
x2 - 3x + 2 x-2
6. (ln(2a;2 - 4a;))'
7. (cos(a;2) + sin(2a;))'
8. (tan(a;) cos(a;) — 3 ln(a;) cos(a;))'
Příklad 2.7. Derivace druhého řádu funkce
Vypočítejte následující druhé derivace
1. (2a;5 - a;3 - 4a; + 4)"
2. ((x4-l)ex)"
3. (3ex sin(a;))" 24x _ 2^ "
2a;
2.4   1'Hospitalovo pravidlo Příklad 2.8. 1'Hospitalovo pravidlo
Zjistěte, zda je následující limity možné vypočítat pomocí 1'Hospitalova pravidla. Pokud ano, vypočítejte je.
+ 3 ln(a;) sin(a;)
40a;3 — 6x (a;4 + 8a;3 + 12a;2 - l)ex 6ex cos(a;)
8e^
Ax 2
1. lim.
2. lim.
3. limx^_2
x + 2x — 5a; — 6 a;2 - 4
a;3 + 2a;2 + 5a; — 6 a;2 - 4
3a;3 + 10a;2 + 9x + 2
15 4
1'Hospitalovo pravidlo nelze použít navíc lirria;^!- = —oo; lim:l.^1+ = +oo => limx^i neexistuje.
x2 — 3x — 10
(15. listopadu 2018)