Bendová, V., 2018: Úvod do matematiky
1
příklady ke cvičení předmětu c1460: ijvod do matematiky Téma 2: Limity a derivace
Skupina: B
Veronika Bendová podzimní semestr, 2018
2.1   Vlastnosti základních funkcí Příklad 2.1. Základní vlastnosti funkce ex
Na obrázku 1 vlevo je zobrazený graf funkce f(x) = ex. Na základě grafu stanovte
1. definiční obor funkce f(x);
2. obor hodnot funkce f(x);
3. spojitost funkce f(x) na celém definičním oboru, případně na vybraných subintervalech, mádi to smysl;
4. ohraničenost funkce f(x) (horní / dolní / globální ohraničenost funkce f(x));
5. periodicitu funkce f(x), případně její periodu;
6. paritu funkce;
7. monotónnost funkce na celém definičním oboru, případně na vybraných subintervalech, mádi to smysl;
8. + uveďte limity funkce v zajímavých bodech, jsoudi nějaké. Své závěry stručně zdůvodněte.
-2-10 1 -2-1012
x x Obrázek 1: Graf funkce ex (vlevo); graf funkce x~x (vpravo)
(15. listopadu 2018)
Bendová, V., 2018: Úvod do matematiky
Příklad 2.2. Základní vlastnosti funkce x 1
Na obrázku 1 vpravo je zobrazený graf funkce f{x) = x~x. Na základě grafu stanovte
1. definiční obor funkce f(x);
2. obor hodnot funkce f(x);
3. spojitost funkce f(x) na celém definičním oboru, případně na vybraných subintervalech, má-li to smysl;
4. ohraničenost funkce f(x) (horní / dolní / globální ohraničenost funkce f(x));
5. periodicitu funkce f(x), případně její periodu;
6. paritu funkce;
7. monotónnost funkce na celém definičním oboru, případně na vybraných subintervalech, má-li to smysl;
8. + uveďte limity funkce v zajímavých bodech, jsou-li nějaké. Své závěry stručně zdůvodněte.
2.2   Výpočty limit
Příklad 2.3. Hornerovo schéma: Rozklad polynomu na kořenové činitele
Rozložte na kořenové činitele následující polynomy
1. x2 - 5x + 4 (x - 4) x (x - 1)
2. xa - 7x - 6 (x + 1) x (x + 2) x (x - 3)
Příklad 2.4. Limity funkcí ve vlastním bodě
Vypočítejte následující limity
x3 - 3x2 - Ax + 12
1. limM_2----- 0
x° — 2
„ ,. 2X - 6X - 3X i
2. limMn- — é
3. limx^4 x2 - 3x - 4 0
x3 — x2 — 4x + 4 ,9
4. hmx^_2-r,- -¥
xz — 3x — 10
Příklad 2.5. Limity funkcí v nevlastním bodě
Vypočítejte následující limity
2
1. hm^oo —-x 0
XÁ + X
3X + 5X 8X
6x5 - 2xa - 8x + 2
>o -í-- —OO
3 + x2 + 4x4 — + 1
3. limx_
4. lim
x->oo j__ 3
2a;6 — x5 + 3a:4 — 5x
5. limM_0
6. lim.
7. lnrw^oo-
3X
3x4 + Ax8 - 3 2X +AX
8. lim. ~ X ~ 3
x'A — x + 9a;4 — 5
9
(15. listopadu 2018)
Bendová, V., 2018: Úvod do matematiky
3
2.3   Výpočty derivací
Příklad 2.6. Derivace prvního řádu funkce
Vypočítejte následující derivace
1. (x5 -4a;4 - 5a;2 - a; - 3)'
2. (cos4(x) + tan(3x))'
'4 — cos(a;) \ '
4. (ex sin(a;) — 4 ln(a;) cos(a;))'
X   + X — 6 \
a; + 3
6. {x7 - x~7 - a;° - ln(z) + tan(a;))'
7. ((2 — x2) sin(a;) — xA cos(a;))'
2a;
Příklad 2.7. Derivace druhého řádu funkce
Vypočítejte následující druhé derivace
1. (cos(a;) ln(a;))"
2. (x5 - x4 - 5a;2 + a; - 3)" 'ln(a;2)s
4. (x cos(x))'
2.4   1'Hospitalovo pravidlo
5a;4 - 16a;3 - 10a; - 1
—4cos* (a:) sinía:) -(--4^tt
sin(x) —4+cos(x)
sin(x)(ex + 41n(a;)) + cos(x)(ex — ^)
1
7a;6 + 7a-"8 - ± +
x cos2(.r)
a;sin(a;)(a;2 — 2) + 2cos(a;)(l — 2a;2)
2e4x + 4j
2.T sin(x)+cos(x) (1+x2 ln(.r)) P
2(10a;3 - 6a;2 - 5)
2(ln(xJ)-3)
-2 sin(a;) — x cos(a;)
Příklad 2.8. 1'Hospitalovo pravidlo
Zjistěte, zda je následující limity možné vypočítat pomocí 1'Hospitalova pravidla. Pokud ano, vypočítejte je.
1. lim.
2. limT
3. lim.
a;3 - a;2 - 4a; + 4 a;2 - 3a; - 10
a;3 - a;2 + 4a; + 4 a;2 - 3.T - 10
2a;3 - 3a-2 - 2a; + 3 5a;2 - 8x + 3
12 " 7
navíc lim,
1'Hospitalovo pravidlo nelze použít -oc; limx^1+ = +oo     limx^i neexistuje.
-1
(15. listopadu 2018)