Bendová, V., 2018: Úvod do matematiky
1
příklady ke cvičení předmětu c1460: ijvod do matematiky Téma 2: Limity a derivace
Skupina: C
Veronika Bendová podzimní semestr, 2018
2.1   Vlastnosti základních funkcí Příklad 2.1. Základní vlastnosti funkce cos(o:)
Na obrázku 1 vlevo je zobrazený graf funkce f(x) = cos (a;). Na základě grafu stanovte
1. definiční obor funkce f(x);
2. obor hodnot funkce f(x);
3. spojitost funkce f(x) na celém definičním oboru, případně na vybraných subintervalech, mádi to smysl;
4. ohraničenost funkce f(x) (horní / dolní / globální ohraničenost funkce f(x));
5. periodicitu funkce f(x), případně její periodu;
6. paritu funkce;
7. monotónnost funkce na celém definičním oboru, případně na vybraných subintervalech, mádi to smysl;
8. + uveďte limity funkce v zajímavých bodech, jsoudi nějaké. Své závěry stručně zdůvodněte.
-Jt      0       Jt      2it     3ji     4it -3-2-10123
x x
Obrázek 1: Graf funkce cos (a;) (vlevo); graf funkce x2 (vpravo)
(15. listopadu 2018)
Bendová, V., 2018: Úvod do matematiky
Příklad 2.2. Základní vlastnosti funkce x2
Na obrázku 1 vpravo je zobrazený graf funkce f(x) = x2. Na základě grafu stanovte
1. definiční obor funkce f(x);
2. obor hodnot funkce f(x);
3. spojitost funkce f(x) na celém definičním oboru, případně na vybraných subintervalech, má-li to smysl;
4. ohraničenost funkce f(x) (horní / dolní / globální ohraničenost funkce f(x));
5. periodicitu funkce f(x), případně její periodu;
6. paritu funkce;
7. monotónnost funkce na celém definičním oboru, případně na vybraných subintervalech, má-li to smysl;
8. + uveďte limity funkce v zajímavých bodech, jsou-li nějaké. Své závěry stručně zdůvodněte.
2.2   Výpočty limit
Příklad 2.3. Hornerovo schéma: Rozklad polynomu na kořenové činitele
Rozložte na kořenové činitele následující polynomy
1. x2+x-6 (x + 3) x (x - 2)
2. x3 + 7x2 + llx + 5 (x + 1) x (x + 1) x (x + 5)
Příklad 2.4. Limity funkcí ve vlastním bodě
Vypočítejte následující limity
x2 — 5x + 4
1. hmx^5--- 1
x — 1
3X + 3
2. limMo- — 1
2X — 4X
JU JU \JJU tj q
3- 1Ím^3 -^TTg- 3
4. limx^3 3a;2 - 7 20
Příklad 2.5. Limity funkcí v nevlastním bodě
Vypočítejte následující limity
2a;2 — x
x
4a; + 2 - 3a;2 - 2a;7 2a;3 + x5 - 3
3 + xa + x 3a;5 - 2a;3 - 6a; + 2 T - 5X
5. lim^^oo
5X 2+ -i-
2 - —
6X - 2X
6. lim^^.oo ——— -00 á
. 1 + 2a; - a;3 + 4a;5 ^
x  00    a;4 + 2a;5 — a;3
8. hmMOO ——— 0
(15. listopadu 2018)
Bendová, V., 2018: Úvod do matematiky
2.3   Výpočty derivací
Příklad 2.6. Derivace prvního řádu funkce
Vypočítejte následující derivace
1. (x4 + x~4 + x° - tan(x) + ex)' 4a;3 - 4a;"5 - + ex
eX + X2 - Ax) \ 2x + e3:-4 .T--4i+e'
hl(.ř0
-2
ln(x) x In.- (x)
3. ({x + x4) ln(.ť) - 4a;sin(a;))' (1 + 4a;3) ln(.ť) + x3 + 1 - 4sin(a;) - 4a;cos(a;)
4. (ln(cos(a-)) + ln(ln(a;)))' - tan(a;) + ^
5. (31n(a;)tan(a;)+sin(a;)cos(a;))' + §^ + cos2(x) - sin2(x)
6. (2a;6 - x4 + 3a;3 + 5a;)' 12a;5 - 4a;3 + 9a;2 + 5
l+x
(i - xy21
4cos(2.r+3)
sin(2a; + 3) J Ji^+W
Příklad 2.7. Derivace druhého řádu funkce
Vypočítejte následující druhé derivace
1. (ar1 ln(a:))"
2. (cos(a;2) + sin(2a;))" -2 sin(a;2) - 4a;2 cos(a;2) - 4 sin(2a;)
3. (sin(a;) ln(a;))" - sin(a;) (ln(.x) + ^)
4. (2a;6 - x4 + 3a;3 + 4a;2 - 5)" 2(30a;4 - 6a;2 + 9a; + 4)
2.4   1'Hospitalovo pravidlo Příklad 2.8. 1'Hospitalovo pravidlo
Zjistěte, zda je následující limity možné vypočítat pomocí 1'Hospitalova pravidla. Pokud ano, vypočítejte je.
1. lmiT_>3-^- 1'Hospitalovo pravidlo nelze použít
x2 — 9
navíc linXj.^3- = —oo; lim,E_>3+ = +oo     limx^3 neexistuje.
JU JU \JJb O o
2. limx^3-^--- 3
xl — 9
3a;3 - 7a;2 - 2a; + 8
3- hm—      4a;2+.-3 "3
(15. listopadu 2018)