Bendová, V., 2018: Úvod do matematiky
1
příklady ke cvičení předmětu c1460: ijvod do matematiky Téma 2: Limity a derivace
Skupina: D
Veronika Bendová podzimní semestr, 2018
2.1   Vlastnosti základních funkcí Příklad 2.1. Základní vlastnosti funkce sin(a;)
Na obrázku 1 vlevo je zobrazený graf funkce f(x) = sin(a;). Na základě grafu stanovte
1. definiční obor funkce f(x);
2. obor hodnot funkce f(x);
3. spojitost funkce f(x) na celém definičním oboru, případně na vybraných subintervalech, mádi to smysl;
4. ohraničenost funkce f(x) (horní / dolní / globální ohraničenost funkce f(x));
5. periodicitu funkce f(x), případně její periodu;
6. paritu funkce;
7. monotónnost funkce na celém definičním oboru, případně na vybraných subintervalech, mádi to smysl;
8. + uveďte limity funkce v zajímavých bodech, jsoudi nějaké. Své závěry stručně zdůvodněte.
1.5
-Jt      0       Jt      2it     3ji     4it -3-2-10123
x x
Obrázek 1: Graf funkce sin (a;) (vlevo); graf funkce xa (vpravo)
(15. listopadu 2018)
Bendová, V., 2018: Úvod do matematiky
Příklad 2.2. Základní vlastnosti funkce xa
Na obrázku 1 vpravo je zobrazený graf funkce f(x) = xa. Na základě grafu stanovte
1. definiční obor funkce f(x);
2. obor hodnot funkce f(x);
3. spojitost funkce f(x) na celém definičním oboru, případně na vybraných subintervalech, má-li to smysl;
4. ohraničenost funkce f(x) (horní / dolní / globální ohraničenost funkce f(x));
5. periodicitu funkce f(x), případně její periodu;
6. paritu funkce;
7. monotónnost funkce na celém definičním oboru, případně na vybraných subintervalech, má-li to smysl;
8. + uveďte limity funkce v zajímavých bodech, jsou-li nějaké. Své závěry stručně zdůvodněte.
2.2   Výpočty limit
Příklad 2.3. Hornerovo schéma: Rozklad polynomu na kořenové činitele
Rozložte na kořenové činitele následující polynomy
1. x2 - 3x + 2 (x - 1) x (x - 2)
2. xa - 3x2 - 6x + 8 (x - 4) x (x + 2) x (x - 1)
Příklad 2.4. Limity funkcí ve vlastním bodě
Vypočítejte následující limity
1. limx^2 xa + x — 5 5
gx _|_ gx
2. limMi--1 3
x3 — 4a;2 — x + 4 ,
3. limM4-7----— §
x1 — 2x — 8 z
A 2x2 + x + 3 q
4. mru^_-3- — t;
3a;+ 5 2
Příklad 2.5. Limity funkcí v nevlastním bodě
Vypočítejte následující limity
3a;2 + 2 4
5a;2 — a;4 — 6a;6 + xa
x2 — xa + 4
4x + QX
4^
^      ^ X2   — X3 + 4:
x  °° 5a;2 — 5a;4 + x + 3
4* -5 5
5. lim^^-oo gx _ 2 2
gx rý£
6. lim^oo ——— 0
3a;6-l + 4a;2
7. fim^^-oo -—-      r— - -      - —3
3a;'1 — ar + 4ar — x°
_ gx
8. limT
(15. listopadu 2018)
Bendová, V., 2018: Úvod do matematiky
2.3   Výpočty derivací
Příklad 2.6. Derivace prvního řádu funkce
Vypočítejte následující derivace
1.
x2 — x + 1
3
6
3. (ln(cos(a;)) + ln(ln(a;)))"
(2x — 1) cos(x)-\-(x —x + sin(x) cos2(x)
cos(x)
2. (o;6 — x~6 — x° + cos(rr) — ln(:r))' 6a;5 + 6a;-7 — sin(rr) — -
1-xJ (T-^r
4. (3a;tan(a;) + (3a; - a;4)ex)' 3 tan(a;) + cJf(x) + ex(3 - 4a;3 + 3x - x4)
5. (2 cos(a;) sin(a;) — ex tan(a;))' —2 sin2(a;) + 2 cos2(a;) — ex tan(a;) — cc^2^ x2 -2x + V
x(x — l)
4a; - 2    / (2x-iy>
7. (a;7 + 3a;5 - 2x2 + x + 7)' 7a;6 + 15a;4 - 4x + 1
8. (3cos2(a;) — 4cos(a;2))' 8a; sin(a;2) — 6 sin(a;) cos(a;)
Příklad 2.7. Derivace druhého řádu funkce
Vypočítejte následující druhé derivace
1. ((a;5 - x)ex)" (x5 + 10a;4 + 20a;3 - x - 2)ex
2. (2cos(x)ex)" — Asin(x)ex
1 \n(x) + 1
cos2 (a;) (a;ln(a;))2
4. (x7 + 3a;5 - 2a;2 + x + 7)" 42a;5 + 60a;3 - 4
2.4   1'Hospitalovo pravidlo Příklad 2.8. 1'Hospitalovo pravidlo
Zjistěte, zda je následující limity možné vypočítat pomocí 1'Hospitalova pravidla. Pokud ano, vypočítejte je.
1. lim.
a;3 — 4a;2 — x + 4
5
a;2 - 2a; - 8 2
a;3 — 4a;2 + x + 4
2. limx^4-r- 1'Hospitalovo pravidlo nelze použít
xz — 2x — 8
navíc linx^x- = —oo; limx^1+ = +oo => limx^i neexistuje.
„  ,. 2a;3 - 5a;2 - 4a; + 3 ln
3. limx^3-r--- -f
xl — 9 1
(15. listopadu 2018)