Bendová, V., 2018: Úvod do matematiky
1
příklady ke cvičení předmětu c1460: uvoď do matematiky Téma 4: Extrémy funkcí dvou proměnných
Skupina: C
Veronika Bendová podzimní semestr, 2018
Příklad 4.1. Parciální derivace prvního řádu
Určete první parciální derivace následujících funkcí
1. xy2 — ex + cos y
2. x2 cosy2
3. ln-
V
4. y2exy
x + 1
6. sin(a;2 + y2)
7. x2\i\y2
y2 — ex; 2xy — sin y 2a; cosy2; — 2a;2ysiny2
i. _i
x ' y
y3exy; yexy(xy + 2) 2-y . i
(x+l)2' x+1
2a;cos(a;2 + y2); 2ycos(a;2 + y2)
2x ln y ,
2. 2xz
Příklad 4.2. Parciální derivace druhého řádu
Určete druhé parciální derivace následujících funkcí
1. xy2 — ex + cos y
2. x2 cosy2
3. ln-
V
4. y2e*y
x + 1
6. sin(a;2 + y2)
7. x2\ny2
—ex; 2x — cosy; 2y 2cosy2; —2a;2(siny2 + 2y2 cosy2); —4a;ysiny2
.J_. _L- n
x2,   y2 , U
y4exy; exy(x2y2 + Axy + 2); y2exy(xy + 3) 2(y-2). n. i
(x+1)3 ' U'      (x + 1)2
2cos(a;2 + y2) — 4a;2 sin(a;2 + y2); 2cos(a;2 + y2) — 4y2 sin(a;2 + y2); —4a;ysin(a;2 + y2)
21nw2- — — • —
Příklad 4.3. Lokální extrémy funkce dvou proměnných
Najděte stacionární body následujících funkcí a rozhodněte, zda se jedná o extrém. Pokud ano, určete jeho typ.
1. f(x, y) = x2 + y2 — xy — 2x + y
2. f (x, y) = y2a; + 3a;y — 6y
3- f (x, y) = 4(a; - y) - a;2 - y2
4. /(a;,y) = (2a;2-3)(y+l)
5. f (x, y) = x4 + y4 — x2 — 2xy — y2
6. f (x, y) = 2a;2 — 6a;y + 5y2 — x + 3y + 2 7- f (x,y) = xy(4: - x - y)
m[l,0] 5[-2,-3]; 5[2,0] M\2, -21
S
m[l,l]; m[-l,-l]; 5[0,0] m[-2, -|] M[|, |]; 5[0,0]; 5*[0,4]; 5[4,0]
(5. prosince 2018)