C1480 Uvod do matematiky - seminář - Průběžný test
Řešení:
Maximum: 20 bodů
1) Určete hodnost matice: /  2   -4       8 0
3 -4
-6 2
1
5
4 -1
4\
-3 7
[2 body]
první x (-3) + druhý x (2) —y druhý
5		-4 -	12	5 -	uj
/	2	-4	8	0	a\
	0	0	-11	4	-9
	-4	2	5	-1	7
\	5	-4	-12	5	-uj
první x (2) + třetí x (1) —y třetí
Í2 0 0
V5 Í2
0
0
V° /2
0
0
v°
/2
0 0
v°
/2 0
o
-4 0 -6 -4 -4 0 -6 6 -4 -6 0 6 -4 -6 0 0 -4 -6 0 0
-11 21 -12 8 -11 21 -32 8 21 -11 -32 8 21 -11 -11 8 21 -11 0
0
4 -1
5 0
4 -1
5 0
-1
4
5 0
-1 4 4 0
-1 4 0
4\
-9 15
-Uj 4\
-9 15
-24 y
4\
15 -9
-24 y
4\
první x (-5) + čtvrtý x (2) —y čtvrtý
Výměna třetího a druhého řádku
druhý x (-1) + čtvrtý x (1) —y čtvrtý
tedy mám 3 nenulové řádky. 2) Řešte soustavu rovnic
y + z — 2w = x + 2y —  z = 2x + Ay + z — 3w = x — Ay — 7z —  w =
15 -9 -9 J A\
15 -9
°7
-3 2 -2 -19
čtvrtý x (-1) + třetí x (1) —y čtvrtý
Hodnost této matice je 3 protože se mi vynuloval poslední řádek,
[6 bodů]
nejprve si přepíši rovnice do matice: /O     1     1-2    -3 \ 12-10 2 2     4 1-3-2 1   -4  -7  -1 -19
V
vyměním první a druhý řádek
v
/1
0
2
1
/ 1
0
2
1
/ 1 O
0
1
/ 1 O
o o
/1
o o
v° /1
o
2
1
4 -4
2
1 4 -4
2
1
0 -4
2
1
0 -6
2
1 O
-6
-1 1 1
-7 -1 1 1
-7 -1 1 3 -7 -1 1 3 -6 -1 1 1
-6
O O y O O
-1 1 1 O
o
-2 -3 -1
O -2 -3 -1
O -2 -3 -1
0 -2 -3
1
0 -2 -1
1 O
-2 -1 -13
2\
-3 -2 -19
2\ -3 -2 -19
2\ -3 -6 -19
2\ -3 -6 -21
2\ -3 -2 -21
2\ -3 -2 -39
Přepíši zpět do rovnic: -13w = -39     w = -z — w = —2 —y z — 3 = y + z — 2w = —3 —)• y x + 2y -\—z = 2 —y x -
druhý x (-2) + třetí —y třetí
druhý x (6) + čtvrtý —y čtvrtý
třetí / 3
druhý x (6) + čtvrtý —y čtvrtý
39
—y w 13
-2 z h 1 - 6 = -4- 1 =
= 3 = 1
-3-> y
2^x =
2 -1
x = —l,y = 2,z = l,w = 3 :ete první a ( První derivace
3) Určete první a druhou derivaci funkce j(xt 2
- 4
[4 body]
4
- 4
Druhá derivace -8x
Víx1 - 4) - (x1 - 4)' _    0 - 2x
-8a:
(x2 - 4)2 (x2 - 4)2     (x2 - 4)2
x'(x2 -A)2-x ((x2 - A)2)' (x2 - 4)2 - x2(x2 - A)2x
x
{x2 -A)2 J V (x2 ~ 4)2 / (x2 ~4)4
(x - 4) (x2 - 4 - Ax2) (-3x2-4)     8(3x2 + 4)
(x2 - A)4
(x2 - 4)4 4) Pro funkcii f (x)
A
(x2 - 4)3       (x2 - 4)3
x2 -A
určete:
bodů]
a) definiční obor; průsečíky s osami; intervaly, kde je / kladná/záporná [2 body] Df =R-{-2,2}
průsečík s osou x: neexistuje
4
průsečík s osou y: y = —- = 1 —> P[0, — 1]
(-oo,-2)	(-2,2)	(2, oo)
+	-	+
kladné	záporné	kladné
b) intervaly, kde, je / rostoucí/klesající; body, ve kterých má lokální extrémy [1 bod] (x2 - 4)2
(-oo,-2)	(-2,0)	(0,2)	(2, oo)
+	+	-	-
roste	roste	klesá	klesá
Lokální extrém je v bodě s x souřadnicí 0. c) intervaly, kde je / konvexní/konkávní; inflexní body [1 bod]
8(3x2 + 4) (x2 - 4)3
(-oo,-2)	(-2,2)	(2, oo)
+	-	+
konvexní	konkávni	konvexní
Protože body -2, 2 jsou body nespojitosti, nemůže být v těchto bodech inflexní bod.
d) asymptoty bez a se směrnicí (pokud existují) [2 body] asymptoty bez směrnice jsou v bodech nespojitosti: asymptoty se směrnicí:
4
4
a = lim
x—>±oo
/(*)
lim
x—>±oo x
lim
->± 4
6 =  lim /(rr) — a ■ x =  lim —--
x—>±oo >±oo X   — 4
4
x—>±oo x(x2   4) OO
0
0 -> y = 0
									10										
																			
																			
																			
																			
																			
																			
																			
																			
																			
-1(	)								0										10
								/	»"		\								
								/											
																			
																			
									-u										
																			
																			
																			
									10										
Pomůcky:
A.S.S.: y = ax + b, a =  lim 6 =  lim /(rr)
Kv. rovnice: D = b2 — Aac, x
-b±VĎ 2a