8. Atomové orbitaly – řešení
Vztahy:
celková stínící konstanta 𝜎 = ∑ 𝜎𝑖
efektivní náboj 𝑍∗
= 𝑍 − 𝜎
orbitální poloměr 𝜌 =
𝑛2 𝑎0
𝑍∗
Konstanty:
Rydbergova konstanta 𝑅𝑦 = 13,6 eV
Bohrův poloměr 𝑎0 = 0,529 · 10-10
m = 0,529 Å
Slaterova pravidla pro výpočet stínících konstant pro elektrony v s- a p-orbitalech:
Nachází-li se
elektron v orbitalu
…
… ostatní elektrony z orbitalů s hlavním kvantovým číslem 𝑛′
přispívají k jeho
stínění konstantou …
𝑛′
< 𝑛 − 1 𝑛′
= 𝑛 − 1 𝑛′
= 𝑛 𝑛′
> 𝑛
1s – – 0,30 0
𝑛s, 𝑛p 1 0,85 0,35 0
Slaterova pravidla pro výpočet stínících konstant pro elektrony v d- a f-orbitalech:
Slaterovy skupiny: (1s)(2s,2p)(3s,3p)(3d)(4s,4p)(4d)(4f)(5s,5p)(5d)(5f)…
Nachází-li se elektron ve Slaterově skupině … … vlevo … … stejné … … vpravo …
… přispívá ke stínění elektronu v d- nebo f-orbitalu
konstantou …
1 0,35 0
Hodnoty efektivního hlavního kvantového čísla 𝑛∗
pro 4., 5. a 6. periodu:
perioda 4. 5. 6.
𝑛∗ 3,7 4,0 4,2
Příklady:
Atomy s jedním elektronem (= atomy vodíkového typu)
1. Uvažujte kation He+
. Vypočítejte degeneraci a energii obsazené hladiny a ionizační potenciál
kationtu, nachází-li se kation v
(i) základním stavu.
Řešení:
Kation se nachází ve stavu s 𝑛 = 1. Této hodnotě hlavního kvantového čísla odpovídá pouze jeden
orbital: 1s. Základní stav je tedy nedegenerovaný.
Energii hladiny (slupky)/elektronu vypočítáme pomocí vztahu
𝐸 𝑛 =
−𝑅𝑦𝑍2
𝑛2 𝑛 ∈ {1,2,3, … }
𝐸1 =
−13,6·22
12 eV = -54,4 eV
Ionizační potenciál je energie, kterou je třeba dodat elektronu, abychom jej odtrhli z atomu/iontu.
Obecně platí, že dodáme-li elektronu energii, elektron přeskočí na vyšší energetickou hladinu, tj. na
energetickou hladinu s vyšším 𝑛. Pro volný (odtržený) elektron 𝑛 = ∞. Ionizační potenciál je tedy
energetický rozdíl mezi hladinou (slupkou), ve které se elektron nachází a hladinou s 𝑛 = ∞:
𝐼𝑃 = 𝐸∞ − 𝐸 𝑛′ =
−𝑅𝑦𝑍2
𝑛2 − (
−𝑅𝑦𝑍2
𝑛′2 ) = 𝑅𝑦𝑍2
(
1
𝑛′2 −
1
𝑛2) = 13,6 · 22
(
1
12 −
1
∞2) eV = 54,4 eV
Obecně tedy platí, že ionizační potenciál je roven energii hladiny (slupky) s opačným znaménkem.
(ii) 1. excitovaném stavu.
Řešení:
Kation se nachází ve stavu s 𝑛 = 2. Této hodnotě hlavního kvantového čísla odpovídají čtyři orbitaly:
2s, 2px, 2py a 2pz. Degenerace je tedy 4.
𝐸2 =
−13,6·22
22 eV = -13,6 eV
𝐼𝑃 = 13,6 eV (viz (i))
(iii) 2. excitovaném stavu.
Řešení:
Kation se nachází ve stavu s 𝑛 = 3. Této hodnotě hlavního kvantového čísla odpovídá devět orbitalů:
3s, 3px, 3py, 3pz, 3dxy, 3dxy, 3dxy, 3𝑑 𝑥2−𝑦2 a 3𝑑 𝑧2. Degenerace je tedy 9.
𝐸3 =
−13,6·22
32 eV = -6,04 eV
𝐼𝑃 = 6,04 eV (viz (i))
(iv) 3. excitovaném stavu.
Řešení:
Kation se nachází ve stavu s 𝑛 = 4. Této hodnotě hlavního kvantového čísla odpovídá 16 orbitalů: 4s,
4px, 4py, 4pz, 4dxy, 4dxy, 4dxy, 4𝑑 𝑥2−𝑦2, 4𝑑 𝑧2 a 7 orbitalů f. Degenerace je tedy 16.
𝐸4 =
−13,6·22
42 eV = -3,4 eV
𝐼𝑃 = 3,4 eV (viz (i))
Atomy s mnoha elektrony
2. Pro valenční elektrony s- a p-prvků 1.-6. periody vypočítejte
(i) stínící konstanty.
Řešení:
H:
elektronová konfigurace: 1s1
𝜎 = 0*0,3 = 0
He:
elektronová konfigurace: 1s2
𝜎 = 1*0,3 = 0,3
Li:
elektronová konfigurace: 1s2
2s1
𝜎 = 2*0,85 + 0*0,35 = 1,7
Be:
elektronová konfigurace: 1s2
2s2
𝜎 = 2*0,85 + 1*0,35 = 2,05
B:
elektronová konfigurace: 1s2
2s2
2p1
𝜎 = 2*0,85 + 2*0,35 = 2,4
C:
elektronová konfigurace: 1s2
2s2
2p2
𝜎 = 2*0,85 + 3*0,35 = 2,75
N:
elektronová konfigurace: 1s2
2s2
2p3
𝜎 = 2*0,85 + 4*0,35 = 3,1
O:
elektronová konfigurace: 1s2
2s2
2p4
𝜎 = 2*0,85 + 5*0,35 = 3,45
F:
elektronová konfigurace: 1s2
2s2
2p5
𝜎 = 2*0,85 + 6*0,35 = 3,8
Ne:
elektronová konfigurace: 1s2
2s2
2p6
𝜎 = 2*0,85 + 7*0,35 = 4,15
Na:
elektronová konfigurace: 1s2
2s2
2p6
3s1
𝜎 = 2*1 + 8*0,85 + 0*0,35 = 8,8
Mg:
elektronová konfigurace: 1s2
2s2
2p6
3s2
𝜎 = 2*1 + 8*0,85 + 1*0,35 = 9,15
Al:
elektronová konfigurace: 1s2
2s2
2p6
3s2
3p1
𝜎 = 2*1 + 8*0,85 + 2*0,35 = 9,5
Si:
elektronová konfigurace: 1s2
2s2
2p6
3s2
3p2
𝜎 = 2*1 + 8*0,85 + 3*0,35 = 9,85
P:
elektronová konfigurace: 1s2
2s2
2p6
3s2
3p3
𝜎 = 2*1 + 8*0,85 + 4*0,35 = 10,2
S:
elektronová konfigurace: 1s2
2s2
2p6
3s2
3p4
𝜎 = 2*1 + 8*0,85 + 5*0,35 = 10,55
Cl:
elektronová konfigurace: 1s2
2s2
2p6
3s2
3p5
𝜎 = 2*1 + 8*0,85 + 6*0,35 = 10,9
Ar:
elektronová konfigurace: 1s2
2s2
2p6
3s2
3p6
𝜎 = 2*1 + 8*0,85 + 7*0,35 = 11,25
K:
elektronová konfigurace: 1s2
2s2
2p6
3s2
3p6
4s1
𝜎 = 10*1 + 8*0,85 + 0*0,35 = 16,8
Ca:
elektronová konfigurace: 1s2
2s2
2p6
3s2
3p6
4s2
𝜎 = 10*1 + 8*0,85 + 1*0,35 = 17,15
Ga:
elektronová konfigurace: 1s2
2s2
2p6
3s2
3p6
4s2
3d10
4p1
𝜎 = 10*1 + 18*0,85 + 2*0,35 = 26
Ge:
elektronová konfigurace: 1s2
2s2
2p6
3s2
3p6
4s2
3d10
4p2
𝜎 = 10*1 + 18*0,85 + 3*0,35 = 26,35
As:
elektronová konfigurace: 1s2
2s2
2p6
3s2
3p6
4s2
3d10
4p3
𝜎 = 10*1 + 18*0,85 + 4*0,35 = 26,7
Se:
elektronová konfigurace: 1s2
2s2
2p6
3s2
3p6
4s2
3d10
4p4
𝜎 = 10*1 + 18*0,85 + 5*0,35 = 27,05
Br:
elektronová konfigurace: 1s2
2s2
2p6
3s2
3p6
4s2
3d10
4p5
𝜎 = 10*1 + 18*0,85 + 6*0,35 = 27,4
Kr:
elektronová konfigurace: 1s2
2s2
2p6
3s2
3p6
4s2
3d10
4p6
𝜎 = 10*1 + 18*0,85 + 7*0,35 = 27,75
Rb:
elektronová konfigurace: 1s2
2s2
2p6
3s2
3p6
4s2
3d10
4p6
5s1
𝜎 = 28*1 + 8*0,85 + 0*0,35 = 34,8
Sr:
elektronová konfigurace: 1s2
2s2
2p6
3s2
3p6
4s2
3d10
4p6
5s2
5p3
𝜎 = 28*1 + 8*0,85 + 1*0,35 = 35,15
In:
elektronová konfigurace: 1s2
2s2
2p6
3s2
3p6
4s2
3d10
4p6
5s2
4d10
5p1
𝜎 = 28*1 + 18*0,85 + 2*0,35 = 44
Sn:
elektronová konfigurace: 1s2
2s2
2p6
3s2
3p6
4s2
3d10
4p6
5s2
4d10
5p2
𝜎 = 28*1 + 18*0,85 + 3*0,35 = 44,35
Sb:
elektronová konfigurace: 1s2
2s2
2p6
3s2
3p6
4s2
3d10
4p6
5s2
4d10
5p3
𝜎 = 28*1 + 18*0,85 + 4*0,35 = 44,7
Te:
elektronová konfigurace: 1s2
2s2
2p6
3s2
3p6
4s2
3d10
4p6
5s2
4d10
5p4
𝜎 = 28*1 + 18*0,85 + 5*0,35 = 45,05
I:
elektronová konfigurace: 1s2
2s2
2p6
3s2
3p6
4s2
3d10
4p6
5s2
4d10
5p5
𝜎 = 28*1 + 18*0,85 + 6*0,35 = 45,4
Xe:
elektronová konfigurace: 1s2
2s2
2p6
3s2
3p6
4s2
3d10
4p6
5s2
4d10
5p6
𝜎 = 28*1 + 18*0,85 + 7*0,35 = 45,75
(ii) efektivní náboje.
Řešení: 𝑍∗
= 𝑍 − 𝜎
H: 𝑍∗
= 1 – 0 = 1
He: 𝑍∗
= 2 – 0,3 = 1,7
Li: 𝑍∗
= 3 – 1,7 = 1,3
Be: 𝑍∗
= 4 – 2,05 = 1,95
B: 𝑍∗
= 5 – 2,4 = 2,6
C: 𝑍∗
= 6 – 2,75 = 3,25
N: 𝑍∗
= 7 – 3,1 = 3,9
O: 𝑍∗
= 8 – 3,45 = 4,55
F: 𝑍∗
= 9 – 3,8 = 5,2
Ne: 𝑍∗
= 10 – 4,15 = 5,85
Na: 𝑍∗
= 11 – 8,8 = 2,2
Mg: 𝑍∗
= 12 – 9,15 = 2,85
Al: 𝑍∗
= 13 – 9,5 = 3,5
Si: 𝑍∗
= 14 – 9,85 = 4,15
P: 𝑍∗
= 15 – 10,2 = 4,8
S: 𝑍∗
= 16 – 10,55 = 5,45
Cl: 𝑍∗
= 17 – 10,9 = 6,1
Ar: 𝑍∗
= 18 – 11,25 = 6,75
K: 𝑍∗
= 19 – 16,8 = 2,2
Ca: 𝑍∗
= 20 – 17,15 = 2,85
Ga: 𝑍∗
= 31 – 26 = 5
Ge: 𝑍∗
= 32 – 26,35 = 5,65
As: 𝑍∗
= 33 – 26,7 = 6,3
Se: 𝑍∗
= 34 – 27,05 = 6,95
Br: 𝑍∗
= 35 – 27,4 = 7,6
Kr: 𝑍∗
= 36 – 27,75 = 8,25
Rb: 𝑍∗
= 37 – 34,8 = 2,2
Sr: 𝑍∗
= 38 – 35,15 = 2,85
In: 𝑍∗
= 49 – 44 = 5
Sn: 𝑍∗
= 50 – 44,35 = 5,65
Sb: 𝑍∗
= 51 – 44,7 = 6,3
Te: 𝑍∗
= 52 – 45,05 = 6,95
I: 𝑍∗
= 53 – 45,4 = 7,6
Xe: 𝑍∗
= 54 – 45,75 = 8,25
(iii) orbitální poloměry v pm.
Řešení: 𝜌 =
𝑛2 𝑎0
𝑍∗
H: 𝜌 =
12∙0,529·10−10
1
m = 52,9 pm
He: 𝜌 =
12∙0,529·10−10
1,7
m = 31,1 pm
Li: 𝜌 =
22∙0,529·10−10
1,3
m = 162,8 pm
Be: 𝜌 =
22∙0,529·10−10
1,95
m = 108,5 pm
B: 𝜌 =
22∙0,529·10−10
2,6
m = 81,3 pm
C: 𝜌 =
22∙0,529·10−10
3,25
m = 65,1 pm
N: 𝜌 =
22∙0,529·10−10
3,9
m = 54,3 pm
O: 𝜌 =
22∙0,529·10−10
4,55
m = 46,5 pm
F: 𝜌 =
22∙0,529·10−10
5,2
m = 40,7 pm
Ne: 𝜌 =
22∙0,529·10−10
5,85
m = 36,2 pm
Na: 𝜌 =
32∙0,529·10−10
2,2
m = 216,4 pm
Mg: 𝜌 =
32∙0,529·10−10
2,85
m = 167,1 pm
Al: 𝜌 =
32∙0,529·10−10
3,5
m = 136,0 pm
Si: 𝜌 =
32∙0,529·10−10
4,15
m = 114,7 pm
P: 𝜌 =
32∙0,529·10−10
4,8
m = 99,2 pm
S: 𝜌 =
32∙0,529·10−10
5,45
m = 87,4 pm
Cl: 𝜌 =
32∙0,529·10−10
6,1
m = 78,0 pm
Ar: 𝜌 =
32∙0,529·10−10
6,75
m = 70,5 pm
U prvků 4. periody použijeme ve vztahu pro orbitální poloměr efektivní hlavní kvantové číslo 3,7.
K: 𝜌 =
3,72∙0,529·10−10
2,2
m = 329,2 pm
Ca: 𝜌 =
3,72∙0,529·10−10
2,85
m = 254,1 pm
Ga: 𝜌 =
3,72∙0,529·10−10
5
m = 144,8 pm
Ge: 𝜌 =
3,72∙0,529·10−10
5,65
m = 128,2 pm
As: 𝜌 =
3,72∙0,529·10−10
6,3
m = 115,0 pm
Se: 𝜌 =
3,72∙0,529·10−10
6,95
m = 104,2 pm
Br: 𝜌 =
3,72∙0,529·10−10
7,6
m = 95,3 pm
Kr: 𝜌 =
3,72∙0,529·10−10
8,25
m = 87,8 pm
U prvků 5. periody použijeme ve vztahu pro orbitální poloměr efektivní hlavní kvantové číslo 4,0.
Rb: 𝜌 =
4,02∙0,529·10−10
2,2
m = 384,7 pm
Sr: 𝜌 =
4,02∙0,529·10−10
2,85
m = 297,0 pm
In: 𝜌 =
4,02∙0,529·10−10
5
m = 169,3 pm
Sn: 𝜌 =
4,02∙0,529·10−10
5,65
m = 149,8 pm
Sb: 𝜌 =
4,02∙0,529·10−10
6,3
m = 134,3 pm
Te: 𝜌 =
4,02∙0,529·10−10
6,95
m = 121,8 pm
I: 𝜌 =
4,02∙0,529·10−10
7,6
m = 111,4 pm
Xe: 𝜌 =
4,02∙0,529·10−10
8,25
m = 102,6 pm
(iv) Jak se efektivní náboj a orbitální poloměr mění v periodě zleva doprava a na přelomu period?
Řešení:
Efektivní náboj v periodě zleva doprava roste a na přelomu period prudce klesá.
Orbitální poloměr v periodě zleva doprava klesá a na přelomu period prudce roste.
3. Pro orbitaly 3d titanu, 4d zirkonia a 5d lanthanu vypočítejte
(i) stínící konstanty.
Řešení:
Ti:
elektronová konfigurace: 1s2
2s2
2p6
3s2
3p6
4s2
3d2
𝜎 = 18*1 + 1*0,35 + 2*0 = 18,35
Zr:
elektronová konfigurace: 1s2
2s2
2p6
3s2
3p6
4s2
3d10
4p6
5s2
4d2
𝜎 = 36*1 + 1*0,35 + 2*0 = 36,35
La:
elektronová konfigurace: 1s2
2s2
2p6
3s2
3p6
4s2
3d10
4p6
5s2
4d10
5p6
6s2
5d1
𝜎 = 54*1 + 0*0,35 + 2*0 = 54
(ii) efektivní náboje.
Řešení: 𝑍∗
= 𝑍 − 𝜎
Ti: 𝑍∗
= 22 – 18,35 = 3,65
Zr: 𝑍∗
= 40 – 36,35 = 3,65
La: 𝑍∗
= 57 – 54 = 3
(iii) orbitální poloměry v pm.
Řešení: 𝜌 =
𝑛2 𝑎0
𝑍∗
Ti: 𝜌 =
32∙0,529·10−10
3,65
m = 130,4 pm
Zr: 𝜌 =
3,72∙0,529·10−10
3,65
m = 198,4 pm
La: 𝜌 =
4,02∙0,529·10−10
3
m = 282,1 pm