Příklady - Kinetická teorie plazmatu
1. Příklad
Integrál Maxwell-Boltzmannova rozdělení nutný pro výpočet makroskopických veličin plazmatu (koncentrace částic,
driftová rychlost, energie) často vede na výpočet integrálu ve tvaru:
I(t) =
∞
0
vt
exp −αv2
dv. (1)
(a) Dokažte, že obecně tento integrál můžeme převést na tzv. Gamma funkci ve tvaru: Γ(z) =
∞
0 xz−1 exp (−x) dx.
(b) Dokažte, že pro Gamma funkci platí: Γ(z + 1) = zΓ(z).
(c) Pro z ∈ N dokažte, že Γ(n) = (n − 1)!
(d) Stanovte Γ(1
2). (Možná budete muset využít řešení integrálu I =
∞
0
∞
0 exp −(x2 + y2) dxdy).
(e) Dále vypočítejte: Γ(1), Γ(5), Γ(3
2), Γ(7
2).
2. Příklad
Maxwell-Boltzmannovo rozdělení velikosti rychlosti je dáno vztahem:
F(v) = 4πCv2
exp −
mv2
2kT
. (2)
(a) Normováním na koncentraci částic n, stanovte konstantu C.
(b) Stanovte nejpravděpodobnější rychlost vp.
(c) Stanovte střední rychlost < v >.
(d) Stanovte odmocninu ze střední kvadratické rychlosti
√
< v2 >.
(e) Porovnejte tyto rychlosti.
3. Příklad
Rozdělení kinetické energie částic, jejichž rozdělení rychlostí je Maxwell-Boltzmannovo, je dáno vztahem:
G(E) = AE
1
2 exp −
E
kT
. (3)
(a) Normováním na koncentraci částic n, stanovte konstantu A.
(b) Stanovte nejpravděpodobnější energii Ep a zjištěte, jaké rychlosti odpovídá.
(c) Stanovte střední energii < E > a zjištěte, jaké rychlosti odpovídá.