M1030 Matematika pro biology
Lindenmayerovy systémy Fibonacciovi králíci
20.9.2018
Systémy s diskrétním časem a paralelním přepisováním
Aristid Lindenmayer (1925-1989)
2/4
Systémy s diskrétním časem a paralelním
prepisovaním
Aristid Lindenmayer (1925-1989)
Abeceda: množina A
Stav: konečná posloupnost prvků z A
Axiom: iniciální stav So
Přepisovací pravidla: zobrazení f : A    AL) A2 L) A3 L)...
Stav Si+i vznikne ze stavu Si tak, že každý člen x v Si se nahradí výrazem f(x)
2/4
Systémy s diskrétním časem a paralelním přepisováním
Aristid Lindenmayer (1925-1989)
Abeceda: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, (, ) Axiom: 1
Přepisovací pravidla:   1 ^ 23      2^2 3 ^ 24      4 k> 54 5^6
6^7       7 ^ 8(1)      8^8        ( ^ (        ) ^ )
2/4
Systémy s diskrétním časem a paralelním přepisováním
Abeceda: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, (, ) Axiom: 1
Přepisovací pravidla:   1 ^ 23 2^2          3 ^ 24      4 ^ 54 5^6
6^7 7 h-> 8(1)      8^8        ( i-> (        ) ^ )
so =1
Systémy s diskrétním časem a paralelním přepisováním
Abeceda: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, (, ) Axiom: 1
Přepisovací pravidla:   1 ^ 23      2^2 3 h-» 24      4 ^ 54 5^6
6^7       7 h+ 8(1)      8^8        ( ^ (        ) ^ )
si =23
Systémy s diskrétním časem a paralelním přepisováním
Abeceda: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, (, ) Axiom: 1
Přepisovací pravidla:   1 h> 23      2 h> 2 3 h> 24      4 h> 54
6^7       7 ^ 8(1)      8^8        ( i-> (
si =23
s2 =224
Systémy s diskrétním časem a paralelním přepisováním
Abeceda: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, (, ) Axiom: 1
Přepisovací pravidla:   1 4 23      2^2 3 4 24      4 4 54
6 4 7       7^ 8(1)      848        ( 4 (
si =23 s2 =224
s3 =2254
Systémy s diskrétním časem a paralelním přepisováním
Abeceda: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, (, ) Axiom: 1
Přepisovací pravidla:   1 ^ 23      2^2 3 ^ 24      4 ^ 54 5^6
6^7       7 i-> 8(1)      8^8        ( i-> (        ) i-> )
so =1 si =23
s2 =224 s3 =2254
s4 =22654
Systémy s diskrétním časem a paralelním přepisováním
Abeceda: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, (, ) Axiom: 1
Přepisovací pravidla:   1 ^ 23      2^2 3 ^ 24      4 ^ 54 5^6
6^7       7 i-> 8(1)      8^8        ( i-> (        ) i-> )
so =1
si =23 s5 =227654
s2 =224
s3 =2254
s4 =22654
Systémy s diskrétním časem a paralelním přepisováním
Abeceda: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, (, ) Axiom: 1
Přepisovací pravidla:   1 ^ 23 2^2 3 ^ 24      4 ^ 54 5^6
6^7 7 i-> 8(1)      8^8        ( i-> (        ) i-> )
so =1
si =23 s5 =227654
s2 =224 s6 =228(1)7654
s3 =2254
s4 =22654
Systémy s diskrétním časem a paralelním přepisováním
Abeceda: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, (, ) Axiom: 1
Přepisovací pravidla:   1^ 23 2 ^2 34 24      44 54 546
6 4 7 7 4 8(1)      8 4 8        ( 4 (        ) 4 )
so =1
si =23 s5 =227654
s2 =224 s6 =228(1)7654
s3 =2254 s7 =228(23)8(1)7654
s4 =22654
Systémy s diskrétním časem a paralelním přepisováním
Abeceda: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, (, ) Axiom: 1
Přepisovací pravidla:   1 ^ 23 2^2 3 ^ 24      4 ^ 54 5^6
6^7 7^ 8(1)      8^8        ( i-> (        ) ^ )
s0 =1
si =23 s5 =227654
s2 =224 s6 =228(1)7654
s3 =2254 s7 =228(23)8(1)7654
s4 =22654
s8 =228(224)8(23)8(1)7654
Systémy s diskrétním časem a paralelním přepisováním
Abeceda: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, (, ) Axiom: 1
Pfepisovací pravidla:   1^ 23 2 ^2          3 ^ 24      4^ 54 5^6
6^7 7 i-> 8(1)      8^8        ( i-> (        ) h+ )
so =1
si =23 55 =227654
s2 =224 s6 =228(1)7654
s3 =2254 s7 =228(23)8(1)7654
s4 =22654 s8 =228(224)8(23)8(1)7654
s9 =228(2254)8(224)8(23)8(1)7654
Systémy s diskrétním časem a paralelním přepisováním
Abeceda: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, (, ) Axiom: 1
Přepisovací pravidla:   1 ^ 23 2^2          3 ^ 24      4 ^ 54
6^7 7 i-> 8(1)      8^8        ( i-> (
so =1
si =23 s5 =227654
s2 =224 s6 =228(1)7654
s3 =2254 s7 =228(23)8(1)7654
54 =22654 58 =228(224)8(23)8(1)7654
s9 =228(2254)8(224)8(23)8(1)7654
5io =228(22654)8(2254)8(224)8(23)8(1)7654
Systémy s diskrétním časem a paralelním přepisováním
Abeceda: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, (, ) Axiom: 1
Přepisovací pravidla:   1 ^ 23 2^2          3 ^ 24      4 ^ 54
6^7 7 i-> 8(1)      8^8        ( i-> (
So =1 a
si =23 55 =227654
s2 =224 s6 =228(1)7654
s3 =2254 s7 =228(23)8(1)7654
54 =22654 58 =228(224)8(23)8(1)7654
s9 =228(2254)8(224)8(23)8(1)7654
5io =228(22654)8(2254)8(224)8(23)8(1)7654
Systémy s diskrétním časem a paralelním přepisováním
Abeceda: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, (, ) Axiom: 1
Přepisovací pravidla:   1 ^ 23 2^2          3 ^ 24      4 ^ 54 5^6
6^7 7 h+ 8(1)      8^8        ( i-> (        ) ^ )
So =1 Si
si =23    £S> s5 =227654
s2 =224 s6 =228(1)7654
s3 =2254 s7 =228(23)8(1)7654
s4 =22654 s8 =228(224)8(23)8(1)7654
s9 =228(2254)8(224)8(23)8(1)7654
sio =228(22654)8(2254)8(224)8(23)8(1)7654
Systémy s diskrétním časem a paralelním přepisováním
Abeceda: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, (, ) Axiom: 1
Přepisovací pravidla:   1 ^ 23 2^2          3 ^ 24      4 ^ 54 5^6
6^7 7 h+ 8(1)      8^8        ( i-> (        ) ^ )
So =1 Si
si =23    £S> s5 =227654
s2 =224    so© s6 =228(1)7654
s3 =2254 s7 =228(23)8(1)7654
s4 =22654 s8 =228(224)8(23)8(1)7654
s9 =228(2254)8(224)8(23)8(1)7654
sio =228(22654)8(2254)8(224)8(23)8(1)7654
Systémy s diskrétním časem a paralelním přepisováním
Abeceda: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, (, ) Axiom: 1
Přepisovací pravidla:   1 4 23      2 ^2
6 4 7       7 4 8(1)
SO =1
si =23
s2 =224 so©
s3 =2254 BJEEP
s4 =22654
3 4 24 8 4 8
s5 =227654 s6 =228(1)7654
s7 =228(23)8(1)7654 s8 =228(224)8(23)8(1)7654
4 4 54
5 4 6 )-0
s9 =228(2254)8(224)8(23)8(1)7654
sio =228(22654)8(2254)8(224)8(23)8(1)7654
Systémy s diskrétním časem a paralelním přepisováním
Abeceda: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, (, ) Axiom: 1
Přepisovací pravidla:   1 4 23 2^2          3 4 24      4 4 54      5 4 6
6^7 7^ 8(1)      848        ( 4 (        ) 4 )
SO =1
si =23    £S> s5 =227654
s2 =224    se© s6 =228(1)7654
s3 =2254    EHEEB) s7 =228(23)8(1)7654
s4 =22654 s8 =228(224)8(23)8(1)7654
s9 =228(2254)8(224)8(23)8(1)7654
sio =228(22654)8(2254)8(224)8(23)8(1)7654
Systémy s diskrétním časem a paralelním přepisováním
Abeceda: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, (, ) Axiom: 1
Přepisovací pravidla:   1 h> 23
6^7
So =1 E>
si =23 s2 =224 sec©
2^2 7 i-> 8(1)
3 i-> 24 8^8
4 54
5^6
s6 =228(1)7654
s5 =227654 žmEHIE)
s3 =2254
s7 =228(23)8(1)7654
s4 =22654    E3±HH)      s8 =228(224)8(23)8(1)7654
s9 =228(2254)8(224)8(23)8(1)7654
sio =228(22654)8(2254)8(224)8(23)8(1)7654
Systémy s diskrétním časem a paralelním přepisováním
Abeceda: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, (, ) Axiom: 1
Přepisovací pravidla:   1 ^ 23      2 ^2 3 ^ 24      4 ^ 54 5^6
6^7       7 i-> 8(1)      8^8        ( i-> (        ) h-> )
SO =1 Es
si =23 s5 =227654 EEEglgE)
s2 =224    eesg> s6 =228(1)7654 HI^lEIIS)
s3 =2254    SBEDP s7 =228(23)8(1)7654
S4 =22654 s8 =228(224)8(23)8(1)7654
s9 =228(2254)8(224)8(23)8(1)7654
sio =228(22654)8(2254)8(224)8(23)8(1)7654
Systémy s diskrétním časem a paralelním přepisováním
Abeceda: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, (, ) Axiom: 1
Přepisovací pravidla:   1 ^ 23      2^2 3 ^ 24      4 ^ 54 5^6
6^7       7 i-> 8(1)      8^8       ( i—y (        ) ^ )
so =1 Si
si =23 s5 =227654 BIHíMg)
s2 =224    se© s6 =228(1)7654 BSuZEESS)
s3 =2254 st =228(23)8(1)7654 UJ~i-J^5
ŠXŽ)
s4 =22654 s8 =228(224)8(23)8(1)7654
s9 =228(2254)8(224)8(23)8(1)7654
sio =228(22654)8(2254)8(224)8(23)8(1)7654
Systémy s diskrétním časem a paralelním přepisováním
Abeceda: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, (, ) Axiom: 1
Přepisovací pravidla:   1 ^ 23      2^2 3 ^ 24      4 ^ 54 5^6
6^7       7 i-> 8(1)      8^8        ( i-> (        ) i-> )
So =1 E>
si =23    £S> s5 =227654
s2 =224    sold s6 =228(1)7654 >M«T5)
s3 =2254    I33ZB) s7 =228(23)8(1)7654
s4 =22654    HĚEHE)      s8 =228(224)8(23)8(1)7654
s9 =228(2254)8(224)8(23)8(1)7654
sio =228(22654)8(2254)8(224)8(23)8(1)7654
Systémy s diskrétním časem a paralelním přepisováním
Abeceda: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, (, ) Axiom: 1
Přepisovací pravidla:   1 ^ 23      2^2 3 ^ 24      4 ^ 54 5^6
6^7       7 i-> 8(1)      8^8        ( i-> (        ) i-> )
So =1 E>
si =23    £S> s5 =227654
s2 =224    saj) 56 =228(1)7654 03^33112)
,3=2254 S7 =228(23)8(1)7654 ESÍ^HID)
s4 =22654    HĚEHE)      s8 =228(224)8(23)8(1)7654
s9.
s9 =228(2254)8(224)8(23)8(1)7654 ^^^^EHS)
sio =228(22654)8(2254)8(224)8(23)8(1)7654
Systémy s diskrétním časem a paralelním přepisováním
Abeceda: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, (, ) Axiom: 1
Přepisovací pravidla:   1 4 23
6 4 7
Sl =23 s2 =224 se©
s3 =2254
2 4 2 7 4 8(1)
3 4 24 8 4 8
s5 =227654
4 4 54 (^(
5 4 6 )^)
s6 =228(1)7654 HIKLiEIE)
, , ,
s7 =228(23)8(1)7654 Li~J-J-^
s4 =22654    HĚEHE)      s8 =228(224)8(23)8(1)7654
s9 =228(2254)8(224)8(23)8(1)7654
Sio =228(22654)8(2254)8(224)8(23)8(1)7654 Häí|ägg33ES>
Abeceda: M, S, +, -, [, ' Axiom: M
Pravidla: M i-> S[+M][-M]SM S i-> SS
Abeceda: M, S, +, -, Axiom: M
Pravidla: M 4 S[+M][-M]SM
S 4 S S
Abeceda: M, S, +, -, Axiom: M
Pravidla: M i-> S[+M][-M]SM
S i-> S S
i = 0
Abeceda: M, S, +, -, Axiom: M
Pravidla: M i-> S[+M][-M]SM
S i-> S S
i = 1
Abeceda: M, S, +, -, Axiom: M
Pravidla: M 4 S[+M][-M]SM
S 4 S S
i = 2
Abeceda: M, S, +, -, [, ' Axiom: M
Pravidla: M i-> S[+M][-M]SM
S i-> S S
H
Abeceda: M, S, +, -, [, ' Axiom: M
Pravidla: M i-> S[+M][-M]SM
S i-> S S
H
Abeceda: M, S, +, -, [, ' Axiom: M
Pravidla: M i-> S[+M][-M]SM S i-> SS
i = 5
3/4
Množení králíků
Leonardo Pisánský (Fibonacci) Liber abaci 1202:
Kdosi umístil pár králíků na určitém místě, se všech stran ohrazeném zdí, aby poznal, kolik párů králíků se při tom zrodí průběhem roku, jestliže u králíků je tomu tak, že pár králíků přivede na svět měsíčně jeden pár a že králíci počínají rodit ve dvou měsících svého věku.
Množení králíků
Leonardo Pisánský (Fibonacci) Liber abaci 1202:
Kdosi umístil pár králíků na určitém místě, se všech stran ohrazeném zdí, aby poznal, kolik párů králíků se při tom zrodí průběhem roku, jestliže u králíků je tomu tak, že pár králíků přivede na svět měsíčně jeden pár a že králíci počínají rodit ve dvou měsících svého věku.
Množení králíků
Leonardo Pisánský (Fibonacci) Liber abaci 1202:
Kdosi umístil pár králíků na určitém místě, se všech stran ohrazeném zdí, aby poznal, kolik párů králíků se při tom zrodí průběhem roku, jestliže u králíků je tomu tak, že pár králíků přivede na svět měsíčně jeden pár a že králíci počínají rodit ve dvou měsících svého věku.
Množení králíků
Leonardo Pisánský (Fibonacci) Liber abaci 1202:
Kdosi umístil pár králíků na určitém místě, se všech stran ohrazeném zdí, aby poznal, kolik párů králíků se při tom zrodí průběhem roku, jestliže u králíků je tomu tak, že pár králíků přivede na svět měsíčně jeden pár a že králíci počínají rodit ve dvou měsících svého věku.
4/4
Množení králíků
Leonardo Pisánský (Fibonacci) Liber abaci 1202:
Kdosi umístil pár králíků na určitém místě, se všech stran ohrazeném zdí, aby poznal, kolik párů králíků se při tom zrodí průběhem roku, jestliže u králíků je tomu tak, že pár králíků přivede na svět měsíčně jeden pár a že králíci počínají rodit ve dvou měsících svého věku.
4/4
Množení králíků
Leonardo Pisánský (Fibonacci) Liber abaci 1202:
Kdosi umístil pár králíků na určitém místě, se všech stran ohrazeném zdí, aby poznal, kolik párů králíků se při tom zrodí průběhem roku, jestliže u králíků je tomu tak, že pár králíků přivede na svět měsíčně jeden pár a že králíci počínají rodit ve dvou měsících svého věku.
Q
1
1
2
3
5
Množení králíků
Leonardo Pisánský (Fibonacci) Liber abaci 1202:
Kdosi umístil pár králíků na určitém místě, se všech stran ohrazeném zdí, aby poznal, kolik párů králíků se při tom zrodí průběhem roku, jestliže u králíků je tomu tak, že pár králíků přivede na svět měsíčně jeden pár a že králíci počínají rodit ve dvou měsících svého věku.
4/4
Množení králíků
počet juvenilnich párů králíků v měsíci t počet plodných párů králíků v měsíci t počet všech párů králíků v měsíci t
4/
Množení králíků
počet juvenilnich párů králíků v měsíci t počet plodných párů králíků v měsíci t počet všech párů králíků v měsíci t
x(t + l) = y(t) y(t + 1) = x(t) + y(t) z(t) = x(t) + y(t)
4/
Množení králíků
. počet juvenilnich párů králíků v měsíci t . počet plodných párů králíků v měsíci t . počet všech párů králíků v měsíci t
x(t + l) = y(t) y(t + 1) = x(t) + y(t) z(t) = x(t) + y(t)
(t + 2) = x(t + 2) + y(t + 2) = y(t + 1) + (x(t + 1) + y (t + 1)) = = (x(t + 1) + y(t + 1)) +y(t + l) =
= (x(t + 1) + y(t + 1)) + (x(t) + y(t)) = z(t + 1) + z(t)
Množení králíků
počet juvenilnich párů králíků v měsíci t počet plodných párů králíků v měsíci t počet všech párů králíků v měsíci t
x(t + l) = y(t)
y(t + 1) = x(t) + y(t)
z(t + 2) = z(t + 1) + z(t)
4/