Domácí úkoly ke cvičení č. 7
1. V obou následujících případech jsou ve vektorovém prostoru
ní obaly U = [úi, ú2, ú3] a V = [vi, v2, v3] daných vektoru. V obou prípadech vyberte z vektoru ú1, ú2, ú3, v1, v2, v3 bazi souctu U+V techto vektorovích podprostoru. V kaZdem z obou prípadu rozhodnete, zda se jedna o prímí soucet vektorovích podprostoru.
a)	úi	= (2,1, 3,4, 5),	vi	= (2, 5, 3, 7, 9),
	ú2	= (3, 2, 4, 5, 7),	v2	= (3, 4, 5, 6, 7),
	ú3	= (4,3, 5,6,9),	v3	= (5, 2, 9, 4, 3),
b)	úi	= (5, 5, 4,3,6),	vi	= (4, 6, 5, 8, 7),
	ú2	= (7, 6, 5, 2, 7),	v2	= (5, 7, 6, 9, 8),
	ú3	= (9, 7, 6,1,8),	v3	= (3, 5, 4, 7, 6).
2. V obou nasledujících prípadech jsou ve vektorovem prostoru
ní obaly U = [ú1, ú2, ú3] a V = [v1, v2, v3] danych vektoru. V obou prípadech vypoctete prunik U n V techto vektorovích podprostoru. Najdete nejakou bazi tohoto praniku vektorovích podprostoru.
podprostory U a V zadaníe jako lineíar
podprostory U a V zadaníe jako lineíar
a) ú1 = (3, 7,1, 5,9), ú2 = (3, 5, 2,4,6), ú1 = (4,6, 3, 5, 7),
v1 = (3, 5, 2,4, 4), v2 = (5, 7, 4,6, 2), v3 = (4,6, 3, 5, 3),
1
3. V každé z následujících úloh je dán vektorový prostor (V, +, •) nad télesem (T, +, •) a vektorové podprostorý P, Q C V. Pokaždé rozhodnete, zda potom souCet P + Q techto podprostoru je prímám souCtem a zda platí, že P + Q = V.
a)   Je dán vektorová prostor (R2n+i, +, •) nad telesem (R, +, •), kde n > 0, a jeho vektorove podprostorý
P = {(ri,7*2, . . . ,7*2n+l) | ri = f3 = • • • = f2n-1 = r2n+i},
Q = {(ri,r2,... ,r2n+i) | r2 = r4 = • • • = r2n = 0}.
b)   Je dan vektorový prostor (R4n+i, +, •) nad telesem (R, +, •), kde n > 0, a jeho vektorove podprostorý
P = {(ri,r2,... ,r4n+i) | r i = r3 = • • • = r4n-i = r4n+i,
r2 = r4 = • • • = r4n}, Q = {(ri,r2,... ,r4n+i) | ri = r2, r3 = r4, ... , r2n-i = r2n,
r2n+i = 0, r2n+2 = r2n+3, ... , ^n = r4n+i}.
c)   Je dan vektorová prostor (RR, +, •) nad telesem (R, +, •) a jeho vektorováe podprostorý
P = {f : R — R | (Vx G R)(f (-x) = f (x))}, Q = {f : R — R | (Vx G R)(f (|x|) = 0)}.
2