3. domácí úloha ze semináře z matematiky I, 9. 10. 2018
odevzdat do 12 hodin dne 16. 10. 2018.
Základní verze
A. (3 body) Najděte všechny hodnoty parametru a G IR, aby nerovnost
(a + A)x2 + 2ax + 2a - 6 < 0
platila pro všechna x G BL
B. (4 body) Funkce arcsin : [—1,1] —> [—§,§] je inverzní funkce k funkci sin na intervalu [—■§,■§]•
(1) Nechť / je inverzní funkce k funkci sin na intervalu [2Aľ7r — |, 2kir +1] Vyjádřete f(x) pomocí složení funkcí, z nichž jedna je arcsin.
(2) Nechť g je inverzní funkce k funkci sin na intervalu [f,^-] Vyjádřete g(x) pomocí složení funkcí, z nichž jedna je arcsin.
C. (3 body) Napište pomocí kvantifikátorů definici, že limita posloupnosti {an}^Li Je -oo, tj.
lim a„ = — oo.
Dále pomocí kvantifikátorů napište negaci tohoto definičního výroku a podle této negace ukažte, že posloupnost
1,-2,1-3,1,-4,...,!,
nemá limitu —oo.
Obtížnější verze
X. (10 bodů) Zformulujte nějakou správnou a netriviál ní větu o limitě složené funkce a dokažte ji.
l