MVOll Statistika I 2. Podmíněná pravděpodobnost
Jan Koláček (kolacek@math.muni.cz)
Ústav matematiky a statistiky, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Brno
Jan Koláček (PřF MU)
MVOll Statistika I
1/1
Motivační příklad
Příklad 1
V pytlíku jsou 3 zelené a 2 červené kuličky. „Kamarád'' mi nabízí následující hru: „ Vytáhneš si jednu kuličku, nebudeš ji vracet do pytlíku a pak vytáhneš ještě jednu. Za hru mi zaplatíš 35 Kč. Pokud však vytáhneš 2 zelené kuličky zaplatím ti výhru 100 Kč. " Mám si s ním zahrát?
P(1.#A2.#) = P(1.#)-P(2.#|1.#) =0,3
3 5
2 4
„Očekávaná" výhra: 0,3 • 100 = 30 Kč
Pokud by se kulička vracela: P(1.#A2.#) = P(l.#) • P(2.#) =0,36
3 5
3 5
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
2/1
Motivační příklady
Pokud bychom si předchozí přepsali pomocí jevů:
A.....1.4
B.....2.4
Nevracíme kuličku     jevy A a b na sobě závisí Pak
P(Af]B) = P(A)-P(B\A) Vracíme kuličku     jevy A a B jsou na sobě nezávislé, tj.
P(A n b) =P(A)-P(B)
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
Motivační příklady
Příklad 2
V pytlíku je 10 kuliček označených čísly 1,... ,10. „Kamarád" náhodně vytáhne jednu kuličku, prozradí nám jen, že její číslo je menší než 5 a řekne: „ Vsaďte 1 Kč a když číslo bude sudé, dám vám 2 Kč. " Vsadíme si?
Otázka: Jaký je rozdíl mezi P(A\B)
Označme jevy:
A ... „číslo je sudé"
B ... „číslo je < 5"
Klasická PST: 4 možná čísla, z
nich 2 sudá, tj.
P(A\B) = l =0,5.
P (A n b)?
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
4/1
Motivační příklady
A\B ... „číslo je sudé za podmínky, že je < 5", tj. P(A\B) = | Af~)B ... „číslo je sudé a současně je < 5", tj. P(A n b) = Ä
Otázka: Jak spolu souvisí P(A\B) a P(A n b)? A ... „číslo je sudé", tj. P(A) = Á
B.....číslo je < 5", tj. p(b) = ^
2 4
P(A\B)
p(a n b)
10
2 4
10
Podmíněná pravděpodobnost
Definice 1
Nechť (Cí,A,P) je pravděpodobnostní prostor, B £ A, P (B) > 0. Pak číslo
P(A\B) =
p (A n B)
P (B)
nazývame podmíněnou pravděpodobností jevu A za podmínky (že nastal jev) B (conditional probability).
Z definice plyne
► P (A DB) = P(A\B)P(B) platí i pro P(B) = 0, neboť a n b C £> a p(b) = 0    P (A n b) = 0
► Symetricky platí také P (A DB) = P(B\A)P(A)
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
6/1
Podmíněná pravděpodobnost
Značení: Mějme pevně daný náhodný jev B £ A, pro který platí P(B) > 0. Označme
PB : A^ (0,1) : PB(A)=P(A\B) Pb Je pravděpodobnost na (Cl, A) pro každé B £ A, pro které P{B) > 0,
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
7/
Podmíněná pravděpodobnost
Reklamní agent v nákupním centru má 25 balónků; 10 červených, 6 modrých a 9 zelených. Balónky rozdává náhodně zákazníkům. Jaká je pravděpodobnost, že prvním čtyřem lidem dá samé červené?
Aj ... „z-tý zákazník dostane červený balónek", P{A\ H a2 H a3 n a4) =?
p(a1 n a2 n a3 n a4) = p(ax) p(a2|Ai) p(a3|Ai n a2)p(a4|A! n a2 n a3)
10
25
_9_
24
_8_
23
7_ 22
= 0,0166
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
8/
Podmíněná pravděpodobnost
Věta 3 (Věta o násobení pravděpodobností)
Platí
n
P [f] A) =P(A1)-P(A2\A1)-P(A3\A1nA2)- ... ■ P{An\Ax n • • • nA„_i) .1=1
pro P ( "n Ai ) > 0.
i=l
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
9/1
Úplný systém
Definice 4
Nechť [Cí,A,P) je pravděpodobnostní prostor. Náhodné jevy {an}^°=1 £ A tvoří úplný systém jevů na [Cí,A,P), jestliže platí
00
Aj H Aj = 0, pro i ^ j, a |j an = O.
n=l
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
10/
Příklad
Příklad 4
V krabici je 8 nových žárovek, o nichž víme, že 6 splňuje normu a 2 normu nesplňují. Víme, že žárovka, která splňuje normu, praskne v následujícím roce s pravděpodobností 0,2 a žárovka nesplňující normu praskne s pravděpodobností 0,5. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraná žárovka praskne?
A2. B
B\AV B\A2.
„ž. splňuje normu", P(Ai)
2 8
| = 0,75
„ž. je vadná", P(A2) = | = 0,25 „ž. praskne", P(B) =? „dobrá ž. praskne", P(B\Ai) = 0,2 „vadná ž. praskne", P(B\A2) = 0,5
B    {B H Ai} U {B H A2}. . .disjunktní sjednoc.
P(B) = P({BnA!}) +P({BnA2})
= P(B|Ai) P(Ai) + P(B|A2) P(A2) = 0,275
0,2
0,75
0,5
0,25
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
Věta o úplné pravděpodobnosti
Věta 5 (Vzorec pro úplnou pravděpodobnost)
Nechť posloupnost {An}™=1 tvoří úplný systém jevů na (Cl,A,P) takový, že P(Ai) > 0 pro i = 1,2,.... Pak platí
00
P(B) = '£P(Ai)P(B\Ai).
i=l
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
12/1
Příklad
Příklad 5 (Poklad)
Trezor má 3 zásuvky se vzácnými mincemi. V první zásuvce jsou 2 zlaté mince, ve druhé je 1 zlatá a 1 stříbrná a ve třetí jsou 2 stříbrné mince. Náhodně zvolíme zásuvku a vytáhneme minci. Jaká je pravděpodobnost, že jsme vytáhli zlatou?
Zz\ . . „otevřeme z-tou zásuvku", i = 1,2,3 P{Z1)=P(Z2)=P{Z3) = \
A.. . „vytáhneme zlatou minci", P (A) =?
A\Z\... „vytáhneme  zlatou   z   1. zásuvky"
P{A\ZX) = 1 A\Z2-. . „vytáhneme zlatou  ze 2. zásuvky"
P(A\Z2) = \ A\Z$.. . „vytáhneme zlatou  ze 3. zásuvky"
P(A\Z3) = 0
P (A) = P(A\Z1)P(Z1) +P(A\Z2)P(Z2)+P(A\Z3)P(Z3) = \
1
3
Jan Koláček (PřF MU)
1 I
2 3_
MV011 Statistika I
0
1
3
13/
Příklad
Ad Příklad 1
Podmínky hry jsou stejné. Kamarád „vylepší" hru: „Místo tebe budu tahat já a prozradím ti barvu druhé kuličky. Za to mi zaplatíš navíc dalších 20 Kč. Pokud budou obě vytažené kuličky zelené, zaplatím ti výhru 100 Kč." Mám si s ním z 3 h r* ci t ^
Chceme P(l.«|2.«), připomeňme P(l.» A 2.») =0,3 Podle definice
P(l.«|2.»)
P(UA2.<) P(2.»)
Podle Věty 5
P(2V) =P(2.«|1.«)P(1.«)+P(2.«|1.«)P(1.«) =0,6
2 4
3 5
3
4
2 5
A tedy P(l.#|2.#)
_ 03 _I
0,6 —I
0,5 ^> „Očekávaná" výhra: 0,5 • 100 = 50 Kč
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
14/
Příklad
Shrnutí
P(l.»|2.»)
Označíme jevy
Ai .....1.4
A2.....1.4
B.....2.4
Pak
P(l.«A2.t) P(2.»)
P(2.«|1.»)P(1.»)
P(2.«|1.»)P(1.») + P(2.«|1.»)P(1.»)
P(Ai|B)
p(AinB)
P(B|Ai)P(Ai)
P(B)        P(B|Ai)P(Ai) +P(B|A2)P(A2)
Bayesův vzorec
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
15/1
Bayesův vzorec
Věta 6 (Bayesův vzorec)
Nechť posloupnost {An}™=1 tvoří úplný systém jevů na (Cl,A,P) takový, že P(Ai) > 0 pro i = 1,2,... a B G A, kde P(B) > 0. Pak
P(AAB)
P(A;)P(B|A;)
1
00
pro   j = 1,2,____
Z P(Aí)P(B\Aí)
i=l
Terminologie
► Apriorní pravděpodobnost ... P(Aj)
Aposteriorní pravděpodobnost . . .P(Aj\B) (aktualizovaná pravděpodobnost)
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
16/
Bayesův vzorec
reverend Thomas Bayes (71701 - 7.4.1761) presbytariánský kněz v Tunbridge Wells
za života publikoval dvě práce: teologickou Divine Benevolence (Laskavost Boží) a anonymně obhajobu diferenciálního počtu
nejduležitější dílo: An essay towards solving a problem in the doctrine of chances (Esej o řešení problému v doktríně o možnostech) vydal po jeho smrti R. Price jakožto důkaz Boží existence
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
17/1
Příklad
Bayesovský filtr na spam
(Paul Graham, http://www.paulgraham.com/spam.html)
Spam P (Spam) W
P(W\Spam)
P(W\Spam)
„dopis je spam"
apriorní pravděpodobnost, globálně nastavená (0,5 - 0,8) „dopis obsahuje slovo W"
pst, že spam obsahuje slovo W, stanovuje se z uložené pošty a spam u
pst, že nespam obsahuje slovo W
P(Spam\W)
P(W\Spam)P(Spam)
P(W\Spam)P(Spam) + P(W\Spam)P(Spam)
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
18/1
Přiklad
„žárovka splňuje normu", P(A\) = é = 0,75
Ad Příklad 4 : Náhodně vybraná žárovka praskla. Jaká je pravděpodobnost, že
splňovala normu?
Připomeňme
Ai . A2 .
B\AX ■ B\A2 .
Ax B .
8
„žárovka je vadná", P(A2) = é = 0,25 „dobrá žárovka praskne", P(B\A\) =0,2 „vadná žárovka praskne", P(B\A2) = 0,5 „žárovka, která praskne, splňuje normu", P(A\\B) =?
P (MB)
P(A1 n B)
P(B)
P(B\A1)P(A1)
P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2) 0,2-0,75
0,2-0,75 + 0,5-0,25
= 0,54
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
1
3
Ad Příklad 5 : Náhodně vybraná mince je zlatá. Jaká je pravděpodobnost, že byla vybrána z 1. zásuvky? Připomeňme
Zz . .. „otevřeme z-tou zásuvku", i = 1,2,3, P(Z\) = P(Z2) = P{Z"$) -
A . .. „vytáhneme zlatou minci", P (A) = 0,5 A\Z\ . .. „vytáhneme zlatou z 1. zásuvky" P(A|Zi) = 1 A\Z2 . .. „vytáhneme zlatou ze 2. zásuvky" P(A\Z2) = i A\Z$ . .. „vytáhneme zlatou ze 3. zásuvky" P(A\Z$) = 0
Z\\A ... „zlatá mince byla vytažena z 1. zásuvky", P{Z\\A) =?
P(Zi|A) =
P(A|Zi)P(Zi)
P(A|Z1)P(Z1) +P(A|Z2)P(Z2) +P(A|Z3)P(Z3)
Nezávislost jevů
Ad Příklad 1:
Pokud by se kulička vracela: P(1.#A2.#) =P(1.#)-P(2.#) =0,36
Obecně
3 5
3 5
P(A n B) = P(A)P(B)
Intuice: jevy A,B na sobě nezávisí
P(A|B) = ^=P(A)aP(B|A) = ^)=P(B)
P(B)
P(A)
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
21 /
Nezávislost jevů
Definice 7
Nechť [Cí,A,P) je pravděpodobnostní prostor. Pak řekneme, že jev A G A a jev B G    jsou nezávislé (independent) (vzhledem k pravděpodobnosti P), jestliže
P(A H B) =P(A)P(B).
Věta 8
Libovolný náhodný jev A G A 3 jev jistý jsou nezávislé.
► Libovolný náhodný jev A G A a jev nemožný jsou nezávislé.
► Necht A G A a B G A jsou nezávislé jevy. Pak také AaB,ÄaB,ÄaB jsou nezávislé.
i
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
22/1
Skupinová nezávislost
Definice 9
Nechť (Cl, A,P) je pravděpodobnostní prostor a A\,... ,An G A- Řekneme, že náhodné jevy A\,..., An jsou skupinově (sdružené) nezávislé, jestliže pro libovolné k G {1,...,n} a libovolnou množinu indexů {z'i,...,z^} C {1,...,n\ platí
í k      \ k
7=1
Nechť M = {Az- G .4,/ G ^7}, kde J je daná indexová množina (i nekonečná). Řekneme, že náhodné jevy systému M jsou nezávislé, jestliže pro každou konečnou množinu indexů      ... ,zn}, kde Zy G J7\_/ = 1,... ,n platí
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
23/1
Příklad
Příklad 6
Dvakrát házíme kostkou.
Uvažujme následující jevy A
B C
. v 1. hodu padne sudé číslo . v 2. hodu padne liché číslo . v obou hodech padne číslo stejné parity
Protože platí
P(A)
P(B) P(C)
—    3^ _ 36
6-3
36 3-3-
1
2
1
2
-3-3
36
1
2
p(A n b) = p(A n c) = p(b n c) =
p(A n B n c)
_o_
36
3^ — 1 36 — 4
3^ — 1 36 — 4
3^ — 1 36 — 4
P(A)P(B) P(A)P(C) P(B)P(C)
0 ^ P(A)P(B)P(C)/
jsou jevy A, B a C po dvou nezávislé, ale ne skupinově nezávislé.
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
24/1
Poznámka
Frekventistická škola
vs.
Bayesovská škola
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
25/1
Příklad
Pravděpodobnost rakoviny prsu u žen ve věku 40 - 50 let je 0,014. Podle studií naznačí mamograf u žen, které rakovinu nemají, nesprávně přítomnost nemoci pouze asi v 10 % případů. Pokud naopak rakovinu mají, odhalí ji asi v 75 % případů. Jaká je pravděpodobnost nemoci, jestliže výsledek vyšetření na mamografu byl pozitivní?
R .. . „žena má rakovinu", P(R) = 0,014, apriorní pst MP .. . „mamograf ukázal pozitivní výsledek" MP\R .. . „pozitivní mamograf pro nemocnou ženu", P(MP\R) = 0,75 MP\R .. . „pozitivní mamograf pro zdravou ženu", P(MP\R) =0,1
P(R\MP) =?
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
26/1
Příklad
Pravděpodobnost rakoviny prsu u žen ve věku 40 - 50 let je 0,014. Podle studií naznačí mamograf u žen, které rakovinu nemají, nesprávně přítomnost nemoci pouze asi v 10 % případů. Pokud naopak rakovinu mají, odhalí ji asi v 75 % případů. Jaká je pravděpodobnost nemoci, jestliže výsledek vyšetření na mamograf u byl pozitivní?
R ... „žena má rakovinu", P(R) = 0,014, apriorní pst MP ... „mamograf ukázal pozitivní výsledek" MP\R ... „pozitivní mamograf pro nemocnou ženu", P(MP\R) = 0,75 MP\R ... „pozitivní mamograf pro zdravou ženu", P(MP\R) = 0,1
P(R\MP) =?
P(R\MP)
P(MP\R)P(R)
P(MP\R)P(R) + P(MP\Ř)P(Ř)
_0,75 • 0,014_
0,75-0,014 + 0,1- (1-0,014)
0,096
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
26/1
Srovnání přístupů
Příklad 9
Máme chorobu, která bez léčby zabije 50 % nemocných, a zajímá nás, zda nově vyvinutý lék je účinný. Je podán pěti pacientům a všichni přežijí. Vyplývá z toho, že lék alespoň nějak funguje (na určité hladině pravděpodobnosti)?
Frekventistický přístup: A . .. „všech pět pacientů přežije"
Lék není účinný =^> pst přežití je pořád \ =^> P(A\N)
Bayesovský přístup:
N .. . „lék je NEúčinný", P(N) = 0,5, apriorní pst A\N .. . „všech pět pacientů přežije, přestože dostali neúčinný lék", P(A\N) = ^ A\N .. . „všech pět pacientů přežije, protože dostali účinný lék", P(A\N) = 1
1
2
i = 0,03125
P(N\A) =
P(A\N)P(N)
jl 1
32 ' 2
P(A\N)P(N) + P(A\N)P(N) +
,11 = ^ = 0,0303 ii+l.i 33
Jan Koláček (PřF MU)
MV011 Statistika I
27/1