Příklady pro 3. cvičení a úlohu
(1) Ukažte, že každý fc-rozměrný afinní podprostor v A(Vn) lze rozšířit na k-rozměrný projektivní podprostor v A.
(2) Ukažte, že každé dvě různé přímky v -4.(V2) se protínají jako přímky v -4.(V2) právě v jednom bodě. Jsou-li rovnoběžné v *4.(V2), je jejich průsečík nevlastní bod.
(3) V A(IR2) najděte kolineaci $, která zobrazuje přímky
p : x\ + x2 = 1   na   p' : x\ = 1
q : X\ + x2 = 0   na   q' : x2 = 0.
Návod: Napište rovnice přímek v homogenních souřadnicích a uvědomte si, že průsečík přímek se musí zobrazit opět na průsečík.
(4) Ukažte, že neexistuje afinní zobrazení $ : *4.(IR2) —y A(R2), které by v předchozí úloze převádělo p na p' a q na q'.
(5) Dokažte, že každé afinní zobrazení převádí rovnoběžné afinní podprostory na rovnoběžné afinní podprostory. (Aplikujte na řešení předchozí úlohy.)
(6) Určete průsečík nadkvadriky Q s afinním podprostorem B
(a) Q zadána v afinním prostoru rovnicí
5x2 + 9X2, + 9x2 — 12x\X2 — 6x1X3 + 12:ri — 36x3 = 0,
B přímka zadána rovností
1 1
-Xi = —xo = x3 — 4. 3 2
(b) Q :    x2 —2x2+x| —2xiX2 —X2X3+4X1X3 + 3X1 —5x3 = 0,-B :    |(xi + 3) = x2,   x3 = 0.
(c) Q :    x\ + x2, — 2xxx2 + xxx3 — x\ + 5x2x3 + 3x2 — x3 = 0, B :    x2 = 0.
(d) Q :    3x^ + 4x| + 24xx + 12x2 - 72x3 + 360 = 0, 5 :    X!-x2 + x3 = l.
(7) Určete projektivní typ kvadriky Q:
(a) Q :    x\ — 4xxx2 — 2x^ — 8x!X3 + 6xx — 5 = 0
(b) Q :    x\ + 2x2 - 3x2 - 6x3 + 3 = 0
(c) Q :    x\ + 2xix2 — 4xi + 3x^ + 8x2x3 + 8x| + 8x3 + 6 = 0
(8) Určete poláru k bodu X vzhledem k nadkvadrice Q,
(a) Q :    2x2 - xix2 - x^ - 15xi + 3x2 - 18 = 0, X=[2;-l]
(b) X nevlastní bod určený směrem (—1,1,0),
Q :    5x2 + 4xxx2 + 8x3 - 32xx - 56x2 + 80 = 0.
(c) Q : 2xi + 2xix2 + x2 + x2 + 2x3 + 2 = 0,       X = [3; 1; -1]
(d) Q : 2x2 + 5x2 + 1x\ — 2xix2 — 4x1X3 + 2x2X3 + 2xi — 10x2 — 2x3 — 1 = 0, X=[2;-l;3]
(e) Q : 2xj + + A + 14x2 - 13 = 0,       X = [-3; 2]
a naopak, určete pól přímky X\ — 6x2 + 8 = 0 vzhledem ke kuželosečce
Q : 3x2 — 6xxx2 + 5x^ — 4xx — 6x2 + 10 = 0.
(9) Dokažte, že pól a polární nadrovina regulární nadkvadriky se navzájem jednoznačně určují.
1
2
(10) Nechť body X a Y nejsou singulární a X leží v polární nadrovině bodu Y. Dokažte, že pak Y leží v polární nadrovině bodu X.
(11) Určete množinu všech singulárních bodů nadkvadrik z příkladu ??.
(12) Dokažte, že množina singulárních bodů nadkvadriky tvoří afinní podprostor.
(13) Určete tečnou nadrovinu nadkvadriky Q v bodě X
(a) Q:	3í£	+ 2xix2	-x22 +	6xi -+	- 4x2 - 3 = 0,	X = [0; 1]
(b) Q:	x\ H	- 6xľx2 -+	-9x22-	\2x1	+ 24x2 + 15 =	0,       X = [0;
(c) Q:		- 2xix2 -+	- xľx3 -	Vx\ -f	- 5x2x3 — X\ +	3rc2 — x3 = 0,
X =	[i;1-	1;-1]				
(d) Q:		+ 7xix2		f 4xi	+ 5rc2 + 1 = 0	X = [0; 0]
(e) Q:		— Ax±X2	+ 4-	2xi 4	- 6rc2 — 3 = 0,	X=[3;4]
(14) Dokažte, že kuželosečka je jednoznačně určena pěti body v obecné poloze, které na ní leží. Kolik bodů jednoznačně určuje nadkvadriku v An"?
(15) Určete kolineaci, která převádí kuželosečky Q a Q' navzájem na sebe:
(a) Q : xx + Axxx2 + 3x\ + 2xx - 3 = 0 a Q' : -Axxx2 - 4r| - 2xx + 1 = 0
(b) Q : 4:cf - 3:r2 - 2xx - 4x2 - 1 = 0 a Q' : 2xtx2 + 5:r2 + 2^i + 4x2 = 0