Příklady pro 4. cvičení a úlohu
(1) Určete pól příslušný k nadrovině p vzhledem k nadkvadrice Q
(a) Q : 2xj + 2xxx2 + x\ + x\ + 2x3 + 2 = 0,       p : 7xx + 4x2 = -1
(b) Q : 2x\ + 5x\ +      — 2xiX2 — 4xiX3 + 2x2X3 + 2x\ — 10x2 — 2x3 — 1 = 0,       p : 3x2 + 4^3 = 1
(c) Q : 2x\ + QxiX2 + x% + 14x2 — 13 = 0, p je nevlastní přímka v A2.
(2) Určete tečnou nadrovinu nadkvadriky Q v bodě X
(a) Q:	3íľ	+ 2xxX2	x2 +	6xx -+	- 4x2 - 3 = 0,	X = [0; 1]
(b) Q:	x? H	- 6xľx2 -+	- 9x1 -	\2xx	+ 24x2 + 15 =	0,       X = [0;
(c) Q:	,>< 2	- 2xxx2 -+	- xix% -	fx| +	- 5x2X3 — Xi +	3x2 — X3 = 0,
X =	[i;-	1;-1]				
(d) Q:		+ 7xxx2	+ hx\ -	f 4xi	+ 5x2 + 1 = 0	X = [0; 0]
(e) Q:	2x1	— Axix2	+ ^2-	2xi 4	- 6x2 — 3 = 0,	X=[3;4]
(3) Určete tečny kuželosečky Q procházející bodem X a určete body dotyku.
(a) 3x\ + 7xix2 + 5x2 + 4xi + 5x2 + 1 = 0, X = [0; 0]
(b) 2x\ - 4xxx2 + x\ - 2x1 + 6x2 - 3 = 0, X = [3; 4]
(c) 3x^ + 2xix2 + 2x2 + 3xi _      = 0? x = [_2.
(4) Určete tečny kuželosečky Q rovnoběžné se směrem u, určete jejich body dotyku.
(a) Q : 4xi + 2x2 - 4xxx2 - 4 = 0, u = (1, 2)
(b) Q : x\ + X1X2 + x\ + 2xi + 3x2 — 3 = 0, u je směr zadaný přímkou 3xi + 3x2 — 5 = 0.
(5) Rozhodněte, zda projektivní rozšíření následujících nadkvadrik jsou regulární nebo singulární a vypočtěte hodnost příslušné symetrické bilineární formy. Určete dále singulární body nadkvadrik.
(a) hx\ - 2xxx2 + 5x1 - 4xi + 20x2 + 20 = 0 v A2
(b) 4xix2 + 3x^ + 16xi + 12x2 - 36 = 0 v A2
(c) x\ + x\ + 4xg — 2xxx2 + 4xxx3 — 4x2x3 — 2x\ + 2x2 — 4x3 + 1 = 0 v As
(d) x\ + x\ + X3 + 2xix3 + 2 = 0 v i3
(6) Určete středy nadkvadrik z příkladu (??).
(7) Určete typ nadkvadrik z příkladu (??).
(8) Určete asymptoty kuželoseček
(a) 2x\ — 3xiX2 — Xi + 3x2 + 4 = 0
(b) 2x\ — X\X2 — 3x\ — X\ — 6x2 — 15 = 0
(c) x\ — 2xix2 + x\ + 6x1 — 14x2 + 29 = 0
(d) 8xf + 4xix2 + 5x\ + 16xi + 4x2 - 28 = 0
(9) Určete kuželosečku procházející body A\ = (1,1,0), A2 = [0; 1], A3 = [1;0], At = [l;-1],A5 = (1;-1;-1).
(10) Dokažte, že kuželosečka je jednoznačně určena pěti body v obecné poloze, které na ní leží. Kolik bodů jednoznačně určuje nadkvadriku v An"?
(11) Určete kolineaci, která převádí kuželosečky Q a Q' navzájem na sebe:
(a) Q : xi + 4xix2 + 3x^ + 2xi - 3 = 0 a Q' : -Axxx2 - Ax22 - 2xx + 1 = 0
(b) Q : 4x^ - 3x\ - 2xi - 4x2 - 1 = 0 a Q' : 2xiX2 + 5x\ + 2xi + 4x2 = 0
(12) Najděte afinní typ kuželosečky, která je průnikem kvadriky a roviny:
(a) 3x\ + Ax\ + 24xi + 12x2 - 72x3 + 360 = 0, xi - x2 + x3 = 1.
(b) xf + 5x2+x^+2x1X2 + 2x2x3 + 6x1x3 — 2x1 + 6x2 + 2x3 = O, 2a:! — x2+x3 = 0.
(c) x\ — 3x\ + x\ — 6x1X2 + 2x2X3 — 3x2 + X3 — 1 = 0, 2xi — 3x2 — x% + 2 = 0.
(d) x\ + x\ + x\ — 6x\ — 2x2 + 9 = 0, xi + x2 — 2x3 — 1 = 0.
(13) V předchozím příkladu určete rovnice asymptot.
(14) Určete střed kvadriky
(a) 4xj + 2xí + 12xi ~ 4x1X2 + 8x2X3 + 12xix3 + 14xi - 10x2 + 7 = 0
(b) 5xf + 9x2 + 9x| — 12x!X2 — 6xxX3 + 12xx — 36x3 = 0
(c) 5xf + 2x2 + 2x3 — 2xxx2 — 4x2x3 + 2xxx3 — 4x2 — 4x3 + 4 = 0
(d) x\ + 2xxx2 + X2 — x\ + 2x3 — 1 = 0
(e) 3x^ + 3x^ + 3x\ - 6x1 + 4x2 - 1 = 0
(f) 3x\ + 3x^ - 6x1 + 4x2 - 1 = 0
(g) 3x\ + 3x\ - 3x\ - 6x1 + 4x2 + 4x3 + 3 = 0
(h) 4x^ + x\ - 4xxx2 - 36 = 0
(i) x\ + 4x\ + 9x| - 6x1 + 8x2 - 36x3 = 0 (j) Ax\ -x\-x\ + 32x1 - 12x3 + 44 = 0
(k) 3xj -x22 + 3x1 - 18xx + 10x2 + 12x3 + 14 = 0
(i) 6x1 + 6x^ + 5xi + 6x2 + 30xs _ n = o