Příklady pro 5. cvičení a úlohu
(1) Určete afinní typ kuželosečky a afinní bázi, v níž má kuželosečka kanonický tvar.
(a) 3xj - 2x±x2 + 3x\ + 4xx + 4x2 - 4 = 0,
(b) x\ — 2x\X2 + x\ — Axi — 6x2 + 3 = 0,
(c) x\ + 2X\X2 + x\ — X\ — X2 = 0.
(2) Proveďte afinní klasifikaci kuželoseček
(a) x\ + Ax\ + 4xix2 + 4^i + 2x2 + 3 = 0,
(b) 4x^ + 2x1^ + 6xix2 + 2^i + 2x2 + 3 = 0,
(c) 2xi + 3x2 + 2xxx2 — 10xi — 10x2 = 0,
(d) 9xf + x\- 6xxx2 + 12:ci - 4x2 + 3 = 0.
(3) Určete afinní typ kvadriky a afinní bázi, v níž má kvadrika kanonický tvar.
(a) 3xf + x\ — x\ + 6x1X3 — 4x2 = 0,
(b) 4x^ - 9x| + 2xix3 - 8x1 - 4x2 + 36x3 - 32 = 0.
(4) Proveďte afinní klasifikaci kvadrik
(a) 5xf — 4xxx2 + 2xxx3 + x\ + 2x\ — 8xx — 14x3 — 1 = 0,
(b) x\ + 4xxx2 — 6xxx3 + 5x2 — 12x2x3 + 9xg + 4xx + 2x2 + 10x3 — 4 = 0,
(c) 3x^ + 4xxx2 - 2x - lx3 + x\ - 4x2x3 + x\ - 22xx - 22x2 + 14x + 54 = 0,
(d) 2x^ — 3xxx2 + 5xi^3 — 2x2 + 10x2x3 — 12xg — 5x2 + llx3 — 2 = 0.
(e) x\ — 4xix — 2 + 6xix3 + 4x^ — 12x2x3 + 9xg + 2xi — 4x2 + 6x3 — 3 = 0.
(5) Určete typ nadkvadrik
(a) 5xj - 2xxx2 + 5x\ - 4xx + 20x2 + 20 = 0 v A2,
(b) 4xix2 + 3x^ + 16xi + 12x2 - 36 = 0 v A2,
(c) x\ + X2 + 4x| — 2xix2 + 4xix3 — 4x2x3 — 2xi + 2x2 — 4x3 + 1 = 0 v A3,
(d) x\ + x\ + x\ + 2xix3 + 2 = 0 v i3.
(6) Určete kolineaci, která převádí kuželosečky Q a Q' navzájem na sebe:
(a) Q : X\ + 4xxx2 + 3x^ + 2x\ — 3 = 0 a Q' : —4xxx2 — 4x^ — 2x\ + 1=0,
(b) Q : 4x^ - 3x\ - 2xi - 4x2 - 1 = 0 a Q' : 2xiX2 + 5x\ + 2xi + 4x2 = 0.
(7) Najděte afinní typ kuželosečky, která je průnikem kvadriky a roviny:
(a) 3x^ + Ax\ + 24xi + 12x2 - 72x3 + 360 = 0, xx - x2 + x3 = 1.
(b) x^ + 5x2+x|+2xix2 + 2x2x3 + 6xix3 —2xi + 6x2 + 2x3 = 0, 2xi —x2+x3 = 0.
(c) x\ — 3x\ + x\ — 6xix2 + 2x2x3 — 3x2 + x3 — 1 = 0, 2xi — 3x2 — x3 + 2 = 0.
(d) x\ + X2 + x\ — 6xx — 2x2 + 9 = 0, xx + x2 — 2x3 — 1 = 0.
(8) Určete typ kvadriky
(a) 4x^ + 2x\ + \2x\ - 4xix2 + 8x2x3 + 12xix3 + 14xi - 10x2 + 7 = 0
(b) 5x\ + 9x2 + 9xg — 12xxx2 — 6xxx3 + 12xx — 36x3 = 0
(c) 5x\ + 2x2 + 2x3 — 2xix2 — 4x2x3 + 2xix3 — 4x2 — 4x3 + 4 = 0
(d) x\ + 2xix2 + X2 — x\ + 2x3 — 1 = 0
(e) 3x\ + 3x^ + 3x\ - 6x1 + 4x2 - 1 = 0
(f) 3x\ + 3x^ - 6x1 + 4x2 - 1 = 0
(g) 3x\ + 3x\ - 3x\ - 6x1 + 4x2 + 4x3 + 3 = 0
(h) 4x^ + x\ - 4xix2 - 36 = 0
(i) x\ + 4x2 + 9^3 — 6xx + 8x2 — 36x3 = 0 (j) Ax\ -x22-x\ + 32x1 - 12x3 + 44 = 0
1