Příklady pro 7. cvičení a úlohu
(1) Napište tři podstatně různé příklady
(a) nenulové lineární formy na B^rc],
(b) lineární formy / na prostoru komplexních matic 2x2 takové, že f(E) = 3i,
(c) bilineární formy na IR2 x IR3,
(d) trilineární formy na C x C x C,
(e) bilineární formy na C[0,1] x f2, kde C[0,1] je prostor spojitých funkcí na intercvalu [0,1].
(2) Najděte duální bázi k bázi prostom U:
(a) U = R3, Ul = (0, 0, l),u2 = (2, 0, l),u3 = (l, 2, 3).
(b) U = R2[x], uľ = x2, u2 = x2 + 1, u3 = 2x — 1.
(c) í/ = Mat2x2(C),
Ml=(o 0)' M2=(i 0)' M3=(o 1)' M4=(o f)-
(3) Najděte bázi prostoru U tak, aby daná báze v U* k ní byla duální:
(a) U = R3, f1(x1,x2,x3) = 2x!-x2, f2(x1,x2,x3) = x2-x3, f3(x1,x2,x3) =
X! + X2 + X3.
(b) U = R2[x], ^(ax2 + bx + c) = a + b + 2c, /2(ax2 + 6x + c) = 36 + c, f3(ax2 + bx + c) = a — b — c.
(4) K danému lineárnímu zobrazení 99 : U —> V najděte duální:
(a) U = V, tp(u) = 3u.
(b) U = R3, V = R2, ip(xux2,x3) = (2xi + x3,x2 - 6x3).
(c) U = R2[x], V = R±[x], íp(p) = p' (derivace polynomu).
(5) (f : R3 —>• R3 je dáno předpisem
<p(x1,x2, x3) = (2^1 = x2 + 3x3, xl + 2x2 - x3, -xl + x2 - 2x3) . Určete matici duálního zobrazení ip* vzhledem k bázi
f1(x1,x2,x3) = 8xľ+6x2-5x3, f2(x1,x2,x3) = 5xľ+4x2-3x3, f3(xľ, x2, x3) = -xľ-x2+
(6) Nechť ip : U —>• U má vlastní čísla Ai, X2, X3. Jaká vlastní čísla má ip*l
(7) Nechť f1, f2,..., fn je duální báze k bázi u1}u2,..., un prostoru U. Najděte souřadnice tenzoru t v příslušné bázi tenzorového součinu prostorů U a U*\
(a) t = (2ui - 5u2 + 3u3) ® (fa - 23 f2 - 56 f3) eU®U*.
(b) t = (E;:ľ ň ® (Eí=ľ ň ® (Ľí=ľ ^) ® (E;=ľ uoetf*®^®^® f/.
(8) Vyčíslete tenzor t na prvku p. Zde J1, f2,..., fn je duální báze k bázi iti, «2, prostoru f/:
(a) ŕ = J1®/5-/3®/2 G U*®U*,p = (2u1+u2+2u3+u4,u1-2u2-3u3-4u4).
(b) í = J1®^®^-/2®^®^ G U*®U®U, p = (2Ul+u2,3/2+5/3, /3+/4).
(c) t = £ 3/*1 (g)J*2 (g) fh <g>mÍ4 (g)mÍ5 G £/* ® £/ * ® £/* ® £/ ®U, kde sčítáme přes všechny možné pětice indexů, p = (-u, -u, -u, g, g), kde i? = + 2u2 + u3 + w4, í? = 2/1 - J4.
1
Pro lineární zobrazení <fi,<f2 '■ U —>• U definujeme lineární zobrazení ifi ® F2 : U ®U     U ®U předpisem ipi <g) F2(ui <g> u2) = <fi(ui) <g> <p2(u2).
(a) Dokažte, že toto lineární zobrazení existuje a je definováno jednoznačně.
(b) Ze znalosti vlastních čísel a vektorů lineárních operátorů <pi a <p2 určete vlastní čísla a vektory <pi ® <p2.