Příklady pro 9. cvičení a úlohu
(1) Vypočtěte tenzorový součin různých matic.
(2) Nechť stopa čtverové matice je označena tr A. Vypočtěte tr A ® B pomocí tr A a tr B.
(3) Vypočtěte det A ® B pomocí det A a det B. (Návod: počítejte ve vhodné bázi.)
(4) Nechť íp,i(j : U —> U jsou lineami endomorfismy, kterým odpovídají tenzory t,s G Tl(U). Pomocí tenzorového součinu a kontrakce popište tenzor odpovídající složenému zobrazení ip o ip.
(5) Vypočtěte symetrizaci tenzorů:
(a) ui + u2 + 3w3 G Tq(U),
(b) Mi <g) u2 + Mi <g) it3,
(c) («1 <g) W2 + M2 <E> M4) (g) (lt2 + U3).
(6) Rozhodněte, zda pro symetrizaci S tenzorů platí S(t <S> s) = S'(í) <S> •S'(s).
(7) Dokažte, že dim Sq(U) = (n+^X) pro dimí/ = n.
(8) Dokažte, že Sq(Ui © f/2) je izomorfní jako vektorový prostor s
g
©Slí/i)®^1^.
(9) Z předchozích dvou úloh odvoďte identitu pro
in + m + q — 1 V 9
(10) Nechť na U je dán skalární součin s maticí
(2   1 0 l\
10 0 0
0  0 0 1'
\1  0 1 2/
Proveďte snížení a zvýšení indexů tenzorů
(a) (J1 + f) ®      + uA) - (f1 + J3) ® M3,
(b) rj = č2í + 54j,
(c) ŕ* = iôij,
kde     = 1 nebo 0 v závislosti na tom, zda i = j nebo i ^ j.
1