Příklady pro 1. cvičení a úlohu
(1) Dokažte, že SL(n, K) je normální podgrupa v GL(n, K). Určete GL(n, K)/SL(n, K).
(2) Ukažte, že 0(n,K) není normální podgrupa v GL(n,K.).
(3) SOin) je normální podgrupa v Oin). Určete Oin) / SOin).
(4) SU(n) je normální podgrupa v U in). Určete Uin)/SUin).
(5) Dokažte z definice, že komplexifikací W1 je Cn.
(6) Co je komplexifikací vektorového prostoru
(7) Proveďte důkazy vět z přednášky o jednoznačnosti komplexního rozšíření lineárního zobrazení, bilineární formy a skalárního součinu.
(8) Ke komplexnímu vektorovému prostoru V lze definovat konjugovaný prostor V takto: množinově V = V, sčítání vektorů je stejné jako ve V a násobení skalárem -y definujeme předpisem
(a + ib) -yU= (a — ib) ■ u.
Dokažte, že V je komplexní vektorový prostor.
(9) Ke komplexnímu vektorovému prostoru V lze definovat jeho realifikaci VK takto: množinově VR = V, sčítání vektorů je stejné jako ve V a násobení reálným číslem je stejné.
Nechť (ui,..., un) je báze V. Najděte nějakou bázi VK.
(10) Dokažte, že pro rálný vektorový prostor V platí
(Vcf ~v®v.
(11) Dokažte, že pro komplexní vektorový prostor V platí
(VRf ~ v®v.
(12) Nechť / : V —> U je lineární zobrazení mezi komplexními vektorovými prostory. Zobrazením / je indukováno zobrazení
Dokažte, že fK je lineární zobrazení mezi reálnými vektorovými prostory.
(13) Jsou-li v prostorech V a U z předchozího příkladu zvoleny báze a = (vi,..., vn) a [3 = (-ui,... ,um), můžeme najít matice A a B takové, že matice zobrazení (/)^Q = A + iB.
Zvolme v prostoru VK bázi aK = (vi,.. . ,vn, ivi,.. ., ivn) a v prostoru UK bázi (3K = (-ui,..., um, iui,..., ium). Dokažte, že matice zobrazení fK v těchto bazích je
/,rx f A -SN
Uvědomte si, jaké jsou rozměry jednotlivých matic!
(14) Dokažte, že dvě definice afinního prostoru z přednášky jsou ekvivalentní.
(15) Ukažte, že množina A = {p G ]Rn[x];p(2003) = 2004} tvoří afinní podprostor s vektorovým prostorem V = {p E Rn[x];p(2003) = 0}. Jaká je jeho dimenze?
(16) Popište všechny afinní podprostory v IR2 a IR3.
(17) Dokažte, že posunutí v rovině a v prostoru je afinní zobrazení.
(18) Ukažte, že otočení kolem bodu S = (si, s2) je afinní zobrazení.
1
2
(19) Udejte další příklady afinních zobrazení, které znáte ze střední školy z geometrie.
(20) Ukažte, že ^4(n,IR) je izomorfní s podgrupou GL(n + 1,R) matic tvaru
m-
kde C je matice n x n a c matice n x 1.