Příklady pro 10. cvičení a úlohu
(1) Vypočtěte antisymetrizaci tenzorů
(a) ui <S> u2 — u2 <g> u3 + 3ui <S> w4
(b) Mi + u2 + 3w3
(c) Mi <g) (lt2 + 2-U3 + 1t4) (g) W2
(2) Určete hodnotu antisymetrického tenzoru t na prvku p
(a) í = «1 A «2 - 2iti A U3, P = (J1 + 2/2, J1 + f2 + /3)
(b) t = UlA Us A1Í4- 3«2 A «3 A M3, p = (J1 - 3/2,    + J4, 2/1 - /3 - /4)
(3) Nechť U má bázi (u1,u2,u3,u4:). Určete bázi prostorů A1(ř7), A2(ř7), A3(U), A4(U). Odvoďte vzorec pro dimenzi prostoru Ak(V), pokud dim V = n. Proč musí být n>kl
(4) Dokažte, že pro dimř7 > 2 nejsou prostory A2(A2(f/)) a AA{U) isomorfní.
(5) Platí, že Tq(U) ~ A2(U) © S2(U) (známé tvrzení o rozkladu bilineární formy na součet symetrické a antisymetrické bilineární formy). Rozhodněte, zda pro q > 2 platí
Tg(U) ~ A«(í/)©5«(í/).
Dokažte, případně nalezněte protipříklad.
(6) Vypočtěte vnější součin ŕ A s tenzorů tas:
(a) ŕ = ui <g) it2, s = w3
(b) ŕ = 2-Ui (g) -u2 — 3mi (g) it3, s = w2 (g) w4 — w4 (g) w2
(c) t = Ui ŕ\u2 — 2u2 Au3, s = u2 (g) -u3
(7) Nechť ip : U —> U je lineární zobrazení a a báze ř7. Určete matici zobrazení 9?A2 : A2(ř7) —)• A2(ř7) vzhledem k bázi prostoru A2(U) vytvořené kanonicky z báze a, je-li (</?)aa tvaru
(a)
/l  2 3\
10 1 \1   1 2/
(b)
/2  -1   -1 l\
110 1
10     0 1 \2    2 10/
(8) Určete stopu matic A2A, A3A, A2B, A3B a A45, je-li
/l i o\        Z1 0 1 2\
H°22    B= ! o ! o V0 0 v      ^ooi 3j
Uvědomte si vztah mezi tr A9A a koeficientem (—A)9 v charakteristickém polynomu.
l
2
íl	13	2	-4\
0	2	-2	3
0	0	3	0
	0	0	
(9) Určete Jordánův tvar matice
(10) Dosaďte do vnější formy u G A3(U*) vektor u
(a) u = f1 A f2 A f3 + 2f1 A f2 A f\ u = Ul - 3u3
(b) u = 2fl A {f2 + f3) Af\u = 3uľ +u2 + 2uA
(11) Spočtěte vnější formy i(v)i(u)u G k2(U) a i(u)i(v)u G A2(f/), kde
cj = 2f1Af2A (f - 2 f) A f + f A f A f A J5,
U = Ui — 3ll2 a V = Ui + 112 + 1t3.