Příklady pro 2. cvičení a úlohu
(i
(2 (3
(4
(5 (6 (7
(8 (9
Dokažte: Je-li u±, ..., un+i báze vektorového prostoru Vn+i, pak [ui],... ,[un+i],
[Yľi=i ui] Je geometrická báze projektivního prostoru Vn(Vn+i).
Zvolte nějakou geometrickou bázi Oi, O2, O3, E projektivního prostoru ^(IR3).
K této bázi najděte vektory ut E Ol tak, aby u± +112 + ^3 G E.
Nechť Vn C Vn+i je vektorový prodprostor, který je jádrem lineárního zobrazení
/ : Vn+i —> K. Na přednášce byla zavedena operace + : A x Vn —> A pro
A = V(Vn+i) — V(Vn). Dokažte, že („4, Vn, +) je afinní prostor.
Na přednášce bylo projektivní rozšíření afinního prostoru A(Vn) definováno
pomocí množiny Vn+\ = VnU {(r, A) E (K — {0}) x „4}. Vzpomeňte si, jak bylo
na Vn+i definováno sčítání a násobení skalárem a ukažte, že jde o vektorový
prostor.
Najděte dvě různé kolineace $ : V{R2) -> V{R2) takové, že $([(1,0)]) = [(1,0)], $([(0,1)]) = [(0,1)].
Dokažte: Jestliže je kolineace $ : V(Vn+i) —> V(Vn+i) určena lineárními zobrazeními ipi, if2, pak existuje r G K — {0} tak, že ip2 = r ■ ipi. Na A(Vn) uvažujme posunutí o vektor uq, = X + uq. Ukažte, že $ je
afinní zobrazení, které je indukováno lineárním zobrazením ip : Vn —> Vn. Cemu se rovná ip?
Ukažte, že existuje injektivní homomorfismus z GL(Vn) do A(A(Vnj) a přesně jej popište..
Při pevně zvolené soustavě souřadnice v A(Vn) popište isomorfismy
A{A{Vn)) ~A(n,K) GL{Vn) ~ GL(n, K)
C	c
0	1
c	0
0	1
G GL(n + l,\ G GL(n + l,\
(10) Při pevně zvolené soustavě souřadnic v A(Vn) popište isomorfismy
A{A{Vn)) ~A(n,K)
C	c
0	1
GL	'n H
G GL(n + l,\
PGL(A) ~ PGL(n, K) ~ GLin + 1,K)/(K — {0}).
Pomocí těchto isomorfismů popište A(A(Vnj) jako podgrupu v PGL(A). Jde o normálni podgrupu?
(11) Nechť kolineace $ : V(Vn+i) —> V(Vn+i) je zadána pomocí lineárního automor-fismu ip : Vn+i —> Vn+i. $ má pevný bod, tj. &(X) = X právě tehdy, když ip má nenulové vlastní číslo s vlastním vektorem u E X.
(12) Dokažte: Jestliže afinní zobrazení $ : A(Vn) —> A(Vn) má dva pevné body, pak jich má nekonečně mnoho.
(13) Najděte kolineaci $ : ^(IR2) —> ^(IR2), která má právě dva pevné body.
(14) Nechť $ : Vn —> Vn je kolineace v projektivním prostoru nad C. Pak $ má buď právě n + 1 pevných bodů, nebo nekonečně mnoho pevných bodů.
(15) Nechť $ : "P2ra ~~* Je kolineace v projektivním prostoru dimenze 2n nad ÍR. Potom má $ aspoň jeden pevný bod.
l