Domácí úloha z 15. listopadu 2018 (odevzdává se 22. listopadu 2018)
1. Dokažte, že polynom / = x3 + x + 1 G Zsfrr] je ireducibilní nad Z5. V tělese K = Z^,[x]/(f) označme c = x + (/) třídu obsahující polynom
Vyjádřete v tělese K prvek (c2 + c +       ve tvaru kc2 + Ic + m pro vhodná A;, /, m G Z5.
2. V okruhu 1*[xi,X2, X3, x 4] je dán symetrický polynom
/ = (X1X2 + XsX4)(xiXs + £2^4 ) (X1X4 + ^2^3) •
Nalezněte polynom h G Z[rri, £2, £3, x4] tak, aby / = h(si, S2, S3, S4), kde Si, S2, S3, S4 G li[xi,X2,xs,X4] jsou elementární symetrické polynomy čtyř proměnných.
[Návod k části 1: nalezněte největší společný dělitel polynomů / cl X ~\~ X + 1 V Z 5 íxl, vyjádřete jej Bezoutovou identitou a této rovnosti polynomů využijte k tomu, že uvážíte hodnoty polynomů zde vystupujících v prvku c]
1