MASARYKOVA UNIVERZITA
PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA
ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY
Sbírka řešených úloh z
Globální Analýzy
TOMÁŠ MICHALÍK
PATRIK NOVOSAD
RADEK SUCHÁNEK BRNO 2017
MASARYKOVA UNIVERZITA
PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA
ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY
Sbírka řešených úloh z Globální Analýzy
Tomáš Michalík
Patrik Novosad
Radek Suchánek
Obsah
Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
1. Hladká zobrazení číselných prostorů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2. Podvariety číselných prostorů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3. Hladké variety a hladká zobrazení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4. Tečné bandly a tečná zobrazení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5. Vektorová pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6. Tenzory a tenzorová pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
7. Integrování vnějších forem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
8. Podvariety v euklidovských prostorech . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
9. Riemannův prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
10. Paralelní přenos vektorových polí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
11. Torze a křivost lineární konexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
12. Kovariantní derivování tensorových polí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
– ii –
Úvod
Milý čtenáři,
sbírka příkladů, kterou se chystáte číst, je doplňujícím studijním materiálem k předmětu
Úvod do globální analýzy, vyučováném na Ústavu matematiky a statistiky Masarykovy
univerzity. Vznikla jako projekt Fondu rozvoje MU pro rok 2016 a autoři si velice váží
podpory, které se jim pro tvorbu studijního materiálu od univerzity dostalo. Chtěli bychom
také poděkovat garantovi projektu profesoru J. Slovákovi za veškerou jeho pomoc při
realizaci sbírky.
Našim cílem je přiblížit Vám rozsáhlou teorii tohoto kurzu ve formě příkladů s podrobnými
řešeními. Na začátku každé kapitoly jsou nejprve uvedeny definice, věty a lemmata,
které jsou v téměř nezměněné formě, a také bez důkazů, převzaty ze skript profesora I. Koláře
[1]. Na některých místech jsme si dovolili text obohatit o drobné komentáře, zejména v
pasážích, jež mohou být problematické, nebo u kterých vidíme potenciál nenásilně rozšířit
perspektivu studenta. Budeme rádi, pokud pro Vás budou příklady srozumitelné a obohacující,
avšak úroveň, kterou jsme se snažili vytvořit, vyžaduje zároveň jistou píli na
straně studenta. Aby byl průchod textem co nejhladši, doporučujeme věnovat se také studiu
literatury, zejména výše zmíněným skriptům, která při tvorbě sbírky sloužila jako hlavní
referenční zdroj.
Přejeme Vám příjemné čtení a v případě nalezení chyb budeme vděční, kontaktujete-li
nás na univerzitní mail.
– iii –
Hladká zobrazení číselných prostorů
Definice 1.1.
Nechť U ⊂ Rn je otevřená množina a f : U → R. Říkáme, že f je funkce r-krát diferencovatelná
nebo funkce třídy Cr, má-li spojité parciální derivace až do řádu r včetně ve
všech bodech U.
Poznámka. Funkce třídy C0 znamená spojitou funkci. Funkce třídy C∞ se nazývá hladká
nebo nekonečně diferencovatelná. O funkci analytické, tj. takové, která je v každém bodě
rozvinutelná v mocninnou řadu, říkáme, že je třídy Cω. Platí implikace
f ∈ Cω
⇒ f ∈ C∞
Věta 1.2.
Funkce λ : R → R definovaná předpisem
λ (t) =
0 t ≤ 0
e−1
t t ≥ 0
je hladká.
Věta 1.3.
Pro libovolné reálné číslo c > 0 je funkce χc : R → R definovaná předpisem
χc (t) =
λ (t)
λ (t)+λ (c−t)
hladká.
Poznámka. Všimněme si, že funkce z věty 1.3 nabývá pouze hodnot 0 nebo 1
χc (t) =
0 t ≤ 0
1 t ≥ c
a je neklesající.
Definice 1.4.
Euklidovskou normu vektoru x ∈ Rn definujeme vztahem
||x|| = (x1)
2
+···+(xn)2
(1.5)
– 1 –
Hladká zobrazení číselných prostorů 2
Pomocí normy dále můžeme definovat otevřenou n-dimenzionální kouli se středem v bodě
a a poloměrem r
B(a,r) = {x ∈ Rn
,||x−a|| < r} . (1.6)
Topologický uzávěr koule značíme B(a,r).
Věta 1.7.
Uvažujme funkci µ : Rn → R závisející na třech parametrech a ∈ Rn, r > 0, c > 0,
definovanou předpisem
µ (x) = 1− χc (||x−a||−r) , (1.8)
pak platí
• funkce µ je hladká,
• 0 ≤ µ (x) a µ (x) = 0 právě tehdy, když x /∈ B(a,r +c)
• µ (x) ≤ 1∀x ∈ Rn, přičemž µ (x) = 1 právě tehdy, když x ∈ B(a,r) .
Definice 1.9.
Nosičem hladké funkce f : U → R, kde U ⊂ Rn je otevřená, rozumíme uzávěr množiny
bodů, v nichž f má nenulovou hodnotu.
Poznámka. Pro funkci µ tedy platí, že je konstantní v jistém okolí bodu a a jejím nosičem
je kompaktní množina B(a,r +c).
Následující věta se nazývá Whitneyho a popisuje významnou charakteristickou vlastnost
hladkých funkcí.
Věta 1.10.
Každá uzavřená množina S ⊂ Rn je množinou nulových bodů nějaké nezáporné hladké
funkce f : Rn → R.
Definice 1.11.
Nechť I je libovolná indexová množina. Otevřené pokrytí (Vα), α ∈ I, otevřené množiny
U ⊂ Rn nazýváme lokálně konečné, jestliže ke každému bodu x ∈ U existuje okolí, mající
neprázdný průnik pouze s konečně mnoha množinami pokrytí (Vα).
Následující věta je jednou z mnoha verzí tzv. věty o rozkladu jednotky. Jejím užitím
jsme schopni globalizovat lokální konstrukce.
Věta 1.12.
Nechť (Vα), α ∈ I, je lokálně konečné pokrytí otevřené množinyU ⊂ Rn. Pak naU existuje
soustava nezáporných hladkých funkcí (fα), α ∈ I, taková, že platí
Hladká zobrazení číselných prostorů 3
a) fα (x) = 0 právě tehdy, když x ∈ Vα,
b) ∑α∈ fα (x) = 1 ∀x ∈ U.
Poznámka. Od nynějška budeme značení f : U →V využívat výhradně pro zobrazení mezi
otevřenými množinami U ⊂ Rn,V ⊂ Rk, pokud nebude řečeno jinak.
Definice 1.13.
Uvažujme zobrazení f : U → V, které je dáno k-ticí funkcí
y1
= f1
x1
,...,xn
,...,yk
= fk
x1
,...,xn
, (1.14)
které nazýváme složky zobrazení f. Píšeme také
yp
= f p
xi
, i = 1,...,n, p = 1,...,k (1.15)
nebo stručně také y = f (x). Říkáme, že f je diferencovatelné zobrazení třídy Cr jestliže
všechny jeho složky jsou funkce třídy Cr, r = 1,...,∞,ω. Hladké zobrazení znamená
zobrazení třídy C∞, tj. takové, které je diferencovatelné do libovolného řádu.
Věta 1.16.
Uvažujme otevřené množiny U ⊂ Rn,V ⊂ Rk,W ⊂ Rm a dvojici zobrazení f : U →
V, g: V → W třídy Cr. Pak složené zobrazení g ◦ f : U → W je také zobrazení třídy
Cr.
Poznámka. Pro přehlednost při indexových výpočtech si zafixujeme následující rozmezí
indexů
i, j = 1,...,n, p,q = 1,...,k, s,t = 1,...m . (1.17)
Vyskytne-li se tedy v textu značení xi , míníme tím n-tici souřadnic v prostoru Rn, obdobně
f p xi značí souřadné vyjádření k-tice složek zobrazení f : U → V a analogicky pro
ostatní indexy.
Definice 1.18.
Matici ∂ f p(a)
∂xi nazýváme Jacobiho matice zobrazení f v bodě a ∈ U. Hodnost této
matice označujeme Rka f a nazýváme ji hodnost zobrazení f v bodě a. Speciálně, je-li
k = n, pak determinant det ∂ f p(a)
∂xi nazýváme Jacobián (čteme jakobián) zobrazení f
v bodě a.
Věta 1.19.
Jacobiho matice složeného zobrazení g◦ f v bodě a je součinem Jacobiho matic ∂gs(f(a))
∂yp
a ∂ f p(a)
∂xi
Hladká zobrazení číselných prostorů 4
Definice 1.20.
Nechť U,V ⊂ Rn jsou otevřené množiny. Bijektivní zobrazení f : U → V nazýváme difeomorfismus
třídy Cr, jestliže f i inverzní zobrazení f−1 : V → U jsou třídy Cr,r ≥ 1
.
Poznámka. Difeomorfismus mezi otevřenými množinami můžeme chápat jako soustavu
křivočarých souřadnic.
Věta 1.21.
Jestliže f : U → V je difeomorfismus, pak pro Jacobián platí
det
∂ f p(a)
∂xi
= 0 ∀a ∈ U . (1.22)
Z matematické analýzy víme, že kružnici nelze vyjádřit jako graf jediné funkce. Zároveň
však víme, že z obecného tvaru
(x−x0)2
+(y−y0)−r2
= 0
lze vyjádřit proměnnou y pomocí kladné a záporné větve odmocniny. Poté můžeme popsat
kružnici po částech pomocí grafu kladné a záporné části y. Zobecněním této úvahy dospějeme
k otázce lokálního vyjádření geometrického objektu zadaného soustavou rovnic
pomocí grafu nějakého zobrazení. Podmínku existence takového zobrazení, které může být
v rovnicích obsaženo implicitně, popisuje následující věta o implicitním zobrazení.
Věta 1.23.
Nechť Gp x1,...,xn,y1,...,yk , p = 1,...,k, jsou funkce třídy Cr,r ≥ 1 , definované na
jistém okolí W bodu a1,...,an,b1,...,bk ∈ Rn+k, které splňují
Gp
a1
,...,an
,b1
,...,bk
= 0 (1.24)
det
∂Gp a1,...,an,b1,...,bk
∂yq
= 0 . (1.25)
Pak existuje okolí U bodu a1,...,an ∈ Rn a okolí V bodu b1,...,bk ∈ Rk taková, že
U ×V ⊂ W a ke každému bodu x1,...,xn ∈ U existuje právě jeden bod y1,...,yk ∈ V,
pro nějž platí
Gp
x1
,...,xn
,y1
,...,yk
= 0 . (1.26)
Takto určené funkce yp = f p x1,...,xn jsou rovněž třídy Cr.
Lemma 1.27.
Nechť f : U → Rn je zobrazení třídy Cr, U ⊂ Rn. Jestliže Jacobián f je nenulový v každém
bodě, pak f (U) je otevřená množina.
Hladká zobrazení číselných prostorů 5
Věta 1.28.
Nechť f : U → Rn je zobrazení třídy Cr, U ⊂ Rn. Jestliže existuje a ∈ U, ve kterém je
Jacobián f nenulový, pak také existují okolí ˜U ⊂ U bodu a, okolí V ⊂ Rn bodu f(a), pro
něž je zúžené zobrazení f| ˜U : ˜U → V difeomorfismus.
Definice 1.29.
Zobrazení f : U → Rk,U ⊂ Rn, nazveme imerse, je-li Rka f = n pro všechna a ∈ U.
Poznámka. Hodnost Jacobiho matice ∂ f p(a)
∂xi je nejvýše rovna minimu dimenzí n a k,
proto pro imersi platí n ≤ k.
Věta 1.30.
Je-li f : U → Rk imerse, pak pro každé a ∈ U existují okolí ˜U bodu a, okolí V bodu f(a)
a křivočará soustava souřadnic ˜yp na V taková, že zúžené zobrazení f| ˜U má tvar
˜y1
= x1
,..., ˜yn
= xn
, ˜yn+1
= 0,... ˜yk
= 0 . (1.31)
Definice 1.32.
Zobrazení f : U → V mezi otevřenými množinami U ⊂ Rn,V ⊂ Rk, nazveme submerse,
jestliže Rka f = k pro všechna a ∈ U.
Poznámka. Ze stejného důvodu jako v případě imerse musí v případě submerse platít n ≥ k.
Věta 1.33.
Je-li f : U →V submerse, pak pro všechna a ∈U existuje okolí ˜U bodu a, spolu s křivočarou
soustavou souřadnic ˜xi na ˜U takovou, že zúžené zobrazení f| ˜U má tvar
y1
= ˜x1
,...,yk
= ˜xk
. (1.34)
Shrňme význam pojmů imerse a submerse do následující poznámky. Každá imerse má
lokálně tvar vložení Rn → Rn+m, x1,...,xn → x1,...,xn,0,...,0 . Každá submerse má
lokálně tvar projekce Rk+m → Rk, x1,...,xk,xk+1,...,xk+m → x1,...,xk .
Cvičení 1.35.
Určete příklad zobrazení, které
1. a) patří do třídy C0, ale nepatří do C1
b) patří do C1, ale nepatří C2 c) patří
do C2
2. patří do třídy Cr
3. patří do třídy Cr+1, ale nikoliv do Cr
Hladká zobrazení číselných prostorů 6
4. je hladké i analytické
5. je hladké, ale není analytické
6. je hladké, invertibilní, ale nikoliv di-
feomorfismus
7. je difeomorfismus .
Řešení. 1. Zobrazení patřící do třídy C0 je například funkce absolutní hodnoty f(x) =
|x|. Ta je spojitá, v nule však nemá derivaci.
Zobrazení třídy C1 je kupříkladu f(x) = sinx,x
3
2 . Ačkoliv je jeho první složka
f1(x) = sinx hladká, druhá složka f2(x) = x
3
2 je třídy C1. Obdobně f(x,y,z) =
x2 +y+z4,x
5
2 ,ex je zobrazení třídy C2. Obecně: nechť i je index určující, do
které třídy náleží složka zobrazení. Pak třída zobrazení je podle 2.8 určena třídou
s nejmenším i.
2. Funkce f(x) = x
2r+1
2 má r spojitých derivací, r-tá má tvar
f(r)
(x) = (2r +1)!!·x
1
2 ,
symbolem n!! = n·(n−2)····1 myslíme dvojitý faktoriál. Přitom f(r+1)(x) = 1
2(2r+
1)!!·x
−1
2 již v 0 není definovaná a tedy ani diferencovatelná.
3. Tento případ není možný. Triviálně: má-li zobrazení f každou svou složku spojitě
diferencovatelnou až do řádu r +1 včetně, pak je každá složka i r-krát spojitě
diferencovatelná, proto f musí náležet do Cr.
4. Funkce zadaná polynomem f(x) = a1x1 +a2x2 +···+anxn je hladká. Libovolné zobrazení,
které má ve svých složkách polynomiální funkce je hladké zobrazení, které
je analytické. Rozvoj do mocninné řady polynomu je polynom sám. Dalším příkladem
je exponenciální funkce f(x) = ex, což je také hladké i analytické zobrazení,
s rozvojem ve tvaru
ex
=
∞
∑
n=0
xn
n!
= 1+x+
x2
2!
+
x3
3!
+
x4
4!
+···
5. Hladké zobrazení je diferencovatelné do libovolného řádu. Můžeme proto sestrojit
Taylorův rozvoj. Otázkou je, zda-li výsledná mocninná řada ve vhodném okolí libovolného
bodu konverguje (bodově) k původní funkci. Příkladem splňujícím naše
podmínky je funkce z věty 1.2
λ (t) =
0 t ≤ 0
e−1
t t ≥ 0
která je hladká, nikoliv však analytická, k čemuž je potřeba netriviální důkaz. Tento
příklad uvádíme bez řešení pouze pro ilustraci faktu nerovnosti množin C∞ = Cω.
Poznamenejme ještě, že hladké neanalytické funkce komplexní proměnné neexistují.
Hladká zobrazení číselných prostorů 7
6. Funkce f(x) = xn uvažovaná na definičním oboru [0,∞) je hladká a invertibilní.
Inverze je f−1(x) = x
1
n , která však není v 0 diferencovatelná (derivace funkce f−1
jde v limitě zprava k nekonečnu). Protože inverze není diferencovatelná, nemůže být
f difeomorfismus.
7. Exponenciální funkce f(x) = ex, s inverzí f−1 = lnx, je příkladem hladkého difeomorfismu
intervalu (0,∞). Obdobně pro zobrazení f(x,y) = (f1(x,y), f2(x,y)) =
x2 +y2 +1,exy . Matice jeho parciálních derivací má tvar
∂ f1
∂x
∂ f1
∂x
∂ f2
∂y
∂ f2
∂y
=
2x 2y
yexy xexy
a je nenulová na množině R2 \ {(0,0)}. Věta 1.28 nám říká, že pro každý bod R2
existuje vhodné okolí, na kterém lze f zúžit na difeomorfismus.
Cvičení 1.36.
Ukažte, že translace a lineární izomorfismy Rn jsou difeomorfismy.
Řešení. Translace je popsána vektorem posunutí, označme jej U = (u1,...,un). Takto
získáme nové souřadnice přičtením U k původním souřadnicím
x1
,...,xn
→ y1
,...,yn
= x1
+u1
,...,xn
+un
Jelikož nové proměnné yi jsou funkce v původních proměnných, tj. yi = yi x1,...,xn ,
můžeme spočítat matici parciálních derivací ∂yi
∂xj . Ta bude rovna jednotkové matici,
protože hodnoty ui jsou konstanty
∂yi
∂xj
=
∂xi +ui
∂xj
= δi
j ,
kde δi
j je Kroneckerovo delta. Determinant matice je konstantně roven jedničce pro libovolný
bod prostoru Rn. Podle věty 1.28 je translace difeomorfismem.
Z lineární algebry víme, že lineární izomorfismus Rn můžeme popsat pomocí reálné matice
n×n
A =



a11 ... a1n
...
...
...
an1 ... ann



a obraz je dán součinem s maticí
x1
,...,xn
→ a11x1
+···+a1nxn
, ... ,an1x1
+···+annxn
.
Jednoduše vidíme, že matice parciálních derivací nových souřadnic (yi) = (ai1x1 + ··· +
ainxn) podle původních souřadnic (xj) je rovna matici A. Její deteminant je nenulový
podle předpokladu, jelikož A může reprezentovat lineární izomorfismus právě tehdy, když
detA = 0. Proto je každý lineární izomorfismus difeomorfismem.
Hladká zobrazení číselných prostorů 8
Cvičení 1.37.
Rozhodněte, na jakých množinách jsou následující zobrazení difeomorfismy: transformace
ze standardních souřadnic do
1. polárních
2. cylindrických
3. sférických
4. hyperbolických
Řešení. 1. Polární souřadnice popisující rovinu R2 mají tvar
x(r,ϕ) = rcosϕ ,
y(r,ϕ) = rsinϕ ,
kde r je délka průvodiče (tj. vzdálenost popisovaného bodu od počátku) a ϕ je úhel
sevřený mezi průvodičem a kladnou části osy x. Spočteme matici parciálních derivací
∂x
∂r
∂y
∂ϕ
∂y
∂r
∂y
∂ϕ
=
cosϕ −rsinϕ
sinϕ rcosϕ
.
Determinant matice je roven
J = cosϕ ·rcosϕ −(−sinϕ ·sinϕ) = r cos2
ϕ +sin2
ϕ = r
Nenulovost Jacobiánu nutí podmínku r > 0. Dále aby souřadnice byly bijekce,
musíme úhel ϕ omezit na interval [0,2π). Poté podle věty 1.28 jsou na množině
(0,∞)×[0,2π) polární souřadnice difeomorfismem.
2. Cylindrické souřadnice popisující body R3 vypadají následovně
x(r,ϕ,z) = rcosϕ ,
y(r,ϕ,z) = rsinϕ ,
z(r,ϕ,z) = z
kde r > 0 je délka průvodiče (vzdálenost bodu (x,y,z) od počátku souřadného systému),
ϕ ∈ (0,2π) je úhel mezi průvodičem a kladnou částí osy x (měřený pro
hodnotu z = 0, případně můžeme uvažovat projekci průvodiče do roviny xy). Jacobiho
matice souřadnic je



∂x
∂r
∂y
∂ϕ
∂x
∂z
∂y
∂r
∂y
∂ϕ
∂y
∂z
∂z
∂r
∂z
∂ϕ
∂z
∂z


 =


cosϕ −rsinϕ 0
sinϕ rcosϕ 0
0 0 1


Laplaceovým rozvojem podle třetího řádku ihned vidíme, že hodnota Jacobiánu je
stejná, jako pro polární souřadnice
J = r .
a podle 1.28 jsou cylindrické souřadnice difeomorfismem na (0,∞) × (0,2π) ×
(−∞,∞).
Hladká zobrazení číselných prostorů 9
3. Sférické souřadnice v R3 jsou
x(r,ϕ,θ) = rsinθ cosϕ
y(r,ϕ,θ) = rsinθ sinϕ
z(r,ϕ,θ) = rcosθ ,
kde r je délka průvodiče, θ je úhel, který svírá průvodič s kladnou částí osy z a ϕ je
úhel, který svírá kolmá projekce průvodiče do roviny xy s osou x. Jacobiho matice
pro tyto souřadnice je
J =



∂x
∂r
∂y
∂θ
∂x
∂ϕ
∂y
∂r
∂y
∂θ
∂y
∂ϕ
∂z
∂r
∂z
∂θ
∂z
∂ϕ


 =


sinθ cosϕ rcosθ cosϕ −rsinθ sinϕ
sinθ sinϕ rcosθ sinϕ rsinθ cosϕ
cosθ −rsinθ 0


Determinant spočteme Laplaceovým rozvojem podle třetího řádku
detJ = r2
cosθ ·det
cosθ cosϕ −sinθ sinϕ
cosθ sinϕ sinθ cosϕ
+r2
sinθ ·det
sinθ cosϕ −sinθ sinϕ
sinθ sinϕ sinθ cosϕ
= r2
cosθ sinθ cosθ cos2
ϕ +sinθ cosθ sin2
ϕ
+r2
sinθ sin2
θ cos2
ϕ +sin2
θ sin2
ϕ
= r2
sinθ cosθ +r2
sinθ sin2
θ
= r2
sinθ .
Nenulová hodnota nastane pro r > 0, θ ∈ (0,π). Zajímá-li nás, na jaké množině
jsou tyto souřadnice difeomorfismus, potřebujeme nejen J = 0, ale také aby úhel ϕ
nabýval pouze hodnot z intervalu [0,2π) (z podmínky bijekce). Podle věty 1.28 jsou
na množině (0,∞)×(0,π)×[0,2π) sférické souřadnice difeomorfismus.
4. Hyperbolické souřadnice mají tvar
x(u,v) = veu
y(u,v) = ve−u
a difeomorfně zobrazují (R\{(0,0)})×(0,∞) na (0,∞)×(0,∞), což je v souladu
s větou 1.28 vzhledem k hodnotě Jacobiánu
J = det
uveu eu
−uve−u e−u = uv eu−u
+eu−u
= uv
Cvičení 1.38.
Udejte příklad zobrazení, které je
Hladká zobrazení číselných prostorů 10
1. imerse,
2. submerse.
Řešení. Každý difeomorfismus je imerse. Parametrizaci přímky v Rn můžeme chápat jako
imersi p: R → Rn, t → p1(t),..., pn(t) . Analogicky plocha daná grafem hladké funkce
q: R2 → R3, (x,y) → (x,y, f(x,y)) je imersí R2 (nebo vhodné podmnožiny) do R3.
Každý difeomorfismus je také submersí. Základním příkladem submerse je dále projekce
na prvních k-složek π : Rn → Rk, (x1,...,xn) → (x1,...,xk), k ≤ n. Zobrazení f : R2 \
(0,0) → S1, (x,y) → (x,y)
√
x2+y2
které zobrazuje R2 bez počátku na jednotkovou kružnici se
středem v počátku je submerse.
Cvičení 1.39.
Nalezněte difeomorfismus otevřené koule B(a,r) s Rn.
Řešení. Nejprve si uvědomíme, že složení difeomorfismů je opět difemorfismus, což je
důsledkem věty 1.16. Nalezneme tedy vhodná zobrazení, pomocí kterých hledaný difeomorfismus
poskládáme. Nejprve uvažujme
ϕ : B(0,1) → Rn
,
definované na otevřené jednotkové kouli se středem v nule B(0,1) = {x ∈ Rn,||x|| < 1},
zadané předpisem
x →
x
1−||x||2
,
pomocí normy 1.4, jejíž inverze je
ϕ−1
: Rn
→ B(0,1) ,
y →
y
1+||y||2
.
Ověřme, že se jedná skutečně o difeomorfismus. Zobrazení ϕ i ϕ−1 jsou třídy C∞. Diferencovatelnost
se může pokazit ve jmenovateli, ten je však v obou případech na patřičných
definičních oborech hladký, jelikož na definičním oboru ϕ platí 1−||x||2 > 0 (koule je jednotková
a otevřená, tj. ||x||2 < 1) a pro ϕ−1 je taktéž 1+||y||2 > 0. Jediný problém nám činí
euklidovská norma, která není v nule diferencovatelná. Tento problém můžeme vyřešit tak,
že odmocninu (která je zdrojem problému) ve funkci ||−|| nahradíme v libovolně malém
okolí nuly hladkou rostoucí funkcí, kterou poté pomocí rozkladu jednotky se zbylou částí
odmocniny ”slepíme”. Toto intuitivní odůvodnění nebudeme rozvádět podrobně, abychom
se neztratili v přílišných formálních argumentech a poprosíme proto čtenáře o shovívavost.
Dále budeme symbolem ||−|| chápat novou normu, která byla v okolí nuly vhodně nahrazena
a ϕ chápeme definovanou vzhledem k této normě. Ověřme, že složení f a f−1 dává
Hladká zobrazení číselných prostorů 11
identitu.
f−1
◦ f (x) = f−1 x
(1−||x||2)
1
2
f ◦ f−1
(y) = f
y
(1+||y||2)
1
2
=
x
(1−||x||2)
1
2
1+|| x
(1−||x||2)
1
2
||2
1
2
=
y
(1+||y||2)
1
2
1−|| y
(1+||y||2)
1
2
||2
1
2
=
x
(1−||x||2)
1
2
1+ ||x||2
1−||x||2
1
2
=
y
(1+||y||2)
1
2
1− ||y||2
1+||y||2
1
2
= x = y
V levém sloupci jsme při odstranění normy využili 1−||x||2 > 0 a v pravém 1+||y||2 > 0.
Máme tedy k dispozici difeomorfismus mezi B(0,1) a Rn. Z příkladu 1.36 dále víme, že lineární
izomorfismy a translace jsou také difeomorfismy, můžeme proto složením vhodného
posunutí s proškálováním vytvořit difeomorfismus φ mezi otevřenou koulí s libovolným
středem i poloměrem a jednotkovou B(0,1), tj.
φ : B(a,r) → B(0,1)
Hledaný difeomorfismus je pak dán složením ϕ ◦φ
B(a,r)
φ %%
ϕ◦φ
// Rn
B(0,1)
ϕ
;;
Podvariety číselných prostorů
Přirozeným zobecněním křivky nebo plochy v Rn je pojem m-rozměrné podvariety v Rn.
Definice 2.1.
Podmnožinu M ⊂ Rn nazveme m-rozměrná podvarieta třídy Cr, v Rn, m ≤ n, v jestliže
pro každý bod x ∈ M existuje jeho okolí W spolu s difeomorfismem ψ : W → V ⊂ Rn třídy
Cr, který zobrazí W ∩M na otevřenou podmnožinu U ⊂ V určenou rovnicemi
xm+1
= 0,...,xn
= 0 . (2.2)
Poznámka. Podvarietu v Rn budeme ve většině případů stručně nazývat pouze podvarietou,
nicméně budeme mít stále na paměti, že se jedná o objekt existující vnořený v reálném
prostoru vhodné dimenze. Důvod této poznámky je, že v dalších kapitolách se budeme
setkávat s pojmem (hladké) variety, jejíž definice již nezávisí na vnoření do jiného prostoru.
Z předešlé definice vyplývá, že m-rozměrnou podvarietu můžeme lokálně chápat jako
část m-rozměrného lineárního podprostoru v Rn, která byla zakřivena. Informaci o způsobu
zakřivení v sobě nese právě ψ.
Definice 2.3.
Zúžení difeomorfismu ψ z definice 2.1 zadává zobrazení φ : W ∩ M → U, které nazýváme
lokální soustava souřadnic na podvarietě M. Inverze k φ, chápaná jako zobrazení
φ−1 : U → Rn, se pak nazývá lokální parametrické vyjádření podvariety M.
Difeomorfismus ψ nám říká pouze lokálně, jak dostat ze zakřivené podvariety lineární
podprostor, což zejména může znamenat, že ”narovnání”celé podvariety nemusí být možné
(tj. z definice neplyne existence globálního difeomorfismu mezi podvarietou a lineárním
podprostorem). Mezi příklady této situace patří například válec, Möebiova páska, sféra,
Kleinova lahev, rotační paraboloid nebo třeba torus.
Následující věta popisuje způsob zadání podvariety pomocí systému rovnic.
Věta 2.4.
Uvažujme bod b ∈ Rn−m a zobrazení f : U → Rn−m třídy Cr, U ⊂ Rn. Jestliže f má
v každém bodě množiny f−1(b) maximální hodnost, pak f−1(b) je m-rozměrná podvarieta
třídy Cr.
Definice 2.5.
– 12 –
Podvariety číselných prostorů 13
Nechť φ1 a φ2 jsou lokální soustavy souřadnic na podvarietě M (zadané zúžením difeomorfismů
z definice 2.3) definované na W1 a W2. Dále uvažujme otevřené množiny U12 a U21
v Rm zadané obrazem průniku definičních oborů W1 ∩W2 ∩M při φ1, φ2
U12 = φ1 (W1 ∩W2 ∩M), U21 = φ2 (W1 ∩W2 ∩M) .
Pak složené zobrazení φ12 := φ2 ◦φ−1
1 : U12 →U21 nazýváme přechodové zobrazení mezi
dvojicí lokálních souřadnic (φ1,φ2).
Poznámka. Vysvětlíme si předešlou definici a pomocí ní si vytvoříme konkrétnější představu
o podvarietách. Z 2.1 víme, že každá podvarieta je lokálně vyjádřitelná pomocí
nějakého difeomorfismu jako otevřená podmnožina Rn. Definice 2.5 nám říká, že máme
k dispozici nejen lokální popis podvariety, ale také způsob, jak ”slepit”jednotlivé její
části. Platí tedy: podvarieta jako celek obecně nevypadá jako Rn (není difeomorfní s Rn).
Vhodné okolí každého bodu podvariety je ztotožnitelné s otevřenou podmnožinu v Rn.
Popisy (lokání souřadnice) na těchto okolích jsme schopni ztotožnit na jejich průniku.
Věta 2.6.
Každé přechodové zobrazení φ12 dvojice lokálních map (φ1,φ2) je difeomorfismus třídy
Cr otevřené množiny U12 ⊂ Rm na otevřenou množinu U21 ⊂ Rm.
V následujícím zobecníme pojem diferencovatelnosti zobrazení mezi reálnými prostory
na podvariety. Nejprve však definujme pojem spojitého zobrazení mezi podvarietami.
Poznámka. Přípomínáme, že Rn má strukturu topologického prostoru. Topologie je generovaná
otevřenými koulemi. Dále platí, že podvarieta M ⊂ Rn je topologický prostor
vzhledem k topologii podprostoru.
Definice 2.7.
Zobrazení f : M → N mezi podvarietami se nazývá spojité, jestliže je spojité v topologickém
myslu.
Definice 2.8.
Uvažujme podvariety M ⊂ Rn, N ⊂ Rk třídy Cr. Pak f : M → N nazýváme zobrazení
třídy Cs, s ≤ r, jestliže pro každé a ∈ M existují okolí U ⊂ M bodu a, okolí V ⊂ N bodu
f(a) s vlastností f (U) ⊂ V a lokální souřadnice
φ : U → W1 ⊂ Rm
, ψ : V → W2 ⊂ Rl
takové, že složené zobrazení
ψ ◦ f ◦φ−1
: W1 → W2
je třídy Cs.
Poznámka. Definice zobrazení třídy Cs mezi podvarietami třídy Cr (pak nutně s ≤ r)
nezávisí na volbě lokálních souřadnic.
Podvariety číselných prostorů 14
Věta 2.9.
Nechť M ⊂ Rn, N ⊂ Rk, P ⊂ Rl jsou podvariety třídy Cr. Dále nechť
f : M → N, g: N → P
jsou zobrazení třídy Cs, s ≤ r. Pak i složené zobrazení
g◦ f : M → P
je třídy Cs.
Připomínáme, že je-li počet proměnných menší než 4, pak je označujeme písmeny
x,y,z, indexy u těchto písmen poté značí mocniny.
Cvičení 2.10.
Rozhodněte, jsou-li následující množiny podvariety euklidovského prostoru. Jestliže ano,
určete jejich dimenzi a do jaké třídy náleží.
1. Bernoulliho lemniskáta.
2. Obecný vektorový prostor a obecný afinní podprostor v Rn.
3. Řešení rovnice xn = sin x1x2 ...xn a graf libovolné hladké funkce.
4. Podmnožina R3 zadaná rovnicemi x2 +y2 +z2 = r2, x−y = 0, kde r > 0
Řešení. Většinu příkladů spočteme aplikací věty 2.4 a rozepíšeme si tedy způsob užití.
Zobrazení f : U → Rn−m, U ⊂ Rn, z uvažované věty, je (n−m)-ticí funkcí
fs
x1
,...,xn
, s = 1,...,n−m
a bod b ∈ Rn−m, tj. b = b1,...,bn−m je (n−m)-ticí čísel. Množina f−1 (b) je tedy zadaná
soustavou (n−m) rovnic
fs
x1
,...,xn
= bs
, s = 1,...,n−m .
Tvrzení dále říká, že na množině f−1 (b) je hodnost zobrazení f maximální. Hodnost
zobrazení, Rka f, jsme si v předešlé kapitole definovali jako hodnost odpovídající Jacobiho
matice ∂ fs
∂xi . Vzhledem k dimenzím víme, že hodnost této matice musí být n−m.
1. Bernoulliho lemniskáta je rovinná křivka, která je určena dvěma body A1, A2 na
ose x, které jsou oba ve vzdálenosti a od počátku. Bod P, ležící na lemniskátě, musí
splňovat vztah ||PA1||·||PA2|| = a2.
Jelikož tato křivka protne v bodě (0,0) sebe samu, nemůže existovat okolí W ⊂ R2
tohoto bodu, jehož průnik s křivkou bude difeomorfní otevřené úsečce. Důvod je, že
každý difeomorfismus je spojitou bijekcí a v našem případě určitě nebude splněna
podmínka injektivity. Z věty 2.4 proto obměnou plyne, že musí existovat bod, ve
Podvariety číselných prostorů 15
kterém hodnost zobrazení f nebude maximální. Nalezněme tento bod. Lemniskátu
lze v kartézských souřadnicích popsat rovnicí
x2
+y2 2
= 2a2
x2
−y2
, a > 0
a platí a2 > x2. Přepíšeme rovnici do tvaru f (x,y) = 0
2a2
x2
−2a2
y2
−x4
−2x2
y2
−y4
= 0
a spočteme Jacobiho matici, která bude mít pouze jediný řádek, jelikož zobrazení f
má pouze jednu složku.
∂ fs
∂xi
=
∂ f
∂x
,
∂ f
∂y
= 4a2
x−4x3
−4xy2
,−4a2
y−4x2
y−4y3
.
Aby matice měla maximální hodnost (tj. 1) v každém bodě R2, alespoň jeden sloupec
musí být vždy nenulový. Zkoumejme podmínky na proměnné, položíme-li oba
sloupce rovny nule. Začneme druhým
0 = −4a2
y−4x2
y−4y3
= −4y a2
+x2
+y2
.
Výraz v závorce je vždy větší roven nule, protože předpokládáme a > 0. Musí proto
platit y = 0, což dosadíme do prvního sloupce
0 = 4a2
x−4x3
= 4x a2
−x2
.
Protože a2 > x2, dostáváme x = 0. V bodě (0,0) má f nulovou hodnost.
2. Z definice podvariety vyplývá, že pro libovolné n je Rn podvarietou dimenze n. Na
tomto prostoru totiž máme globálně definované standardní souřadnice x1,...,xn .
Jinak řečeno, chceme-li nalézt difeomorfismus z definice 2.1, stačí vzít identické
zobrazení na celém prostoru. Nyní uvažme obecný vektorový prostor V dimenze
n. Z lineární algebry víme, že vektorové prostory stejné dimenze jsou izomorfní.
Volba báze ve V zadává globální souřadnice na V a zároveň jednoznačně určuje
difeomorfismus s Rn (lineární izomorfismus daný maticí přechodu od zvolené báze
ke standardní).
Obecný vektorový prostor dimenze n je tedy podvarieta dimenze n. Případ afinního
podprostoru vyřešíme tak, že si uvědomíme, jak geometricky z afinního podprostoru
získat vektorový podprostor. Volbou počátku v afinním podprostoru jednoznačně
určíme vektor posunutí jako rozdíl tohoto bodu a nuly. Protože každé posunutí je
difeomorfismus a složení difeomorfismů je difeomorfismus, libovolný afinní podprostor
je podvarietou. Její dimenze je rovna dimenzi zaměření. Jelikož afinní podprostor
lze vyjádřit jako řešení rovnice a1x1 +a2x2 +...anxn +c = 0, tj. rovnice tvaru
f x1,...,xn = 0 , kde f je hladká, jedná se o hladkou podvarietu.
3. Rovnici xn = sin x1x2 ...xn přepíšeme do tvaru f x1,...,xn = 0
sin x1
x2
...xn
−xn
= 0 .
Podvariety číselných prostorů 16
Pro přehlednost zaveďme substituci z = x1x2 ·····xn, ve které parciální derivace mají
tvar
∂ f
∂x1
= x2
...xn
cos(z)
∂ f
∂x2
= x1
x3
...xn
cos(z)
...
∂ f
∂xn
= x1
...xn−1
cos(z)−1
Jacobiho matice sestávající z jediného řádku vypadá následovně
x2
...xn
cos(z),x1
x3
...xn
cos(z),......,x1
x2
...xn−1
cos(z)−1 .
Ukážeme, že vždy alespoň jeden sloupec bude nenulový. Nechť je 1. až (n − 1).
sloupec nulový. Pak musí platít buďto x1 = x2 = ··· = xn = 0 a nebo cos(z) = 0, což
dává v obou případech na posledním sloupci hodnotu −1. Jedná se tedy o (n −1)rozměrnou
podvarietu, která je hladká, neboť f x1,...,xn = sin x1x2 ...xn −xn je
hladká funkce.
Z analogického důvodu platí, že pro libovolnou funkci f ∈ Cr je její graf
{ x1
,...,xn
, f x1
,...,xn
} ⊂ Rn+1
n-rozměrnou podvarietou třídy Cr. Rovnice grafu je
f x1
,...,xn
= xn+1
⇔ F x1
,...,xn+1
= f −xn+1
= 0
a odpovídající (jednořádková) Jacobiho matice funkce F má v prvních n sloupcích
parciální derivace funkce f a v posledním jedničku. Stejný argument můžeme použít
pro f ∈ C∞, tedy graf hladké funkce je hladkou varietou dimenze n.
4. Úlohu vyřešíme dvěma způsoby. Ačkoliv se první z nich odkazuje se na výsledek
jiné kapitoly, popíšeme si jeho myšlenku. Rovnice x2 +y2 +z2 = r2 popisuje dvoudimenzionální
sféru se středem v bodě 0 a rovnice x−y = 0 popisuje rovinu na které
leží přímka y = x a osa z. Množina zadaná řešením obou rovnic je průnik roviny se
sférou, což je kružnice o poloměru r, se středem v bodě 0. V následující kapitole
uvidíme, že libovolná kružnice je podvarietou dimenze 1 tak, že sestrojíme lokální
souřadnice.
Druhý způsob využívá větu 2.4. Uvažovaná funkce je tvaru
f(x,y,z) = f1(x,y,z), f2(x,y,z) = x2
+y2
+z2
−r2
,x−y
a její Jacobiho matice je velikosti 2×3. Vypadá následovně
∂ fs
∂xi
=
2x 2y 2z
1 −1 0
Druhý řádek je vždy nenulový a první se vynuluje pouze v bodě 0, avšak tento
bod rovnici sféry nesplňuje, proto bude mít matice na zadané množině maximální
hodnost. Podle věty 2.4 se jedná o dvourozměrnou podvarietu, která je hladká.
Podvariety číselných prostorů 17
Cvičení 2.11.
Ukažte, že je-li M ⊂ Rn otevřená podmnožina, pak je M hladkou podvarietou dimenze n.
Řešení. Ve cvičení 2.10 jsme si ve druhém bodě ukázali, že samotné Rn je hladkou
podvarietou dimenze n. Nechť M je otevřená podmnožina v Rn. Podle 2.1 potřebujeme
ukázat, že ke každému bodu a ∈ M existuje jeho okolí, které je difeomorfní s otevřenou
podmnožinou v Rn. To je však triviální, protože samotné M sestává z bodů, které již
souřadnicový popis mají ”zděděný”z okolního Rn. Okolí je samotné M a difeomorfismus
je dán identitou.
Cvičení 2.12.
Dokažte, že množina všech lineárních izomorfismů prostoru Rn je hladkou podvarietou.
Určete její dimenzi.
Řešení. Nejprve si uvědomíme, že lineární izomorfismy prostoru Rn odpovídají reálným
maticím n×n s nenulovým determinantem. Prostor všech těchto matic se značí GL(n,R).
Každý prvek A ∈ GL(n,R), A = aij sestává z n2 složek aij. Disponujeme proto injektivním
zobrazením
GL(n,R) →Rn2
,
které je dáno ztotožnením A s n2-ticí reálných čísel
aij → (a11,a12,...,a1n,a21,a22,......,an1,an2,...,ann) . (2.13)
Determinant je poté funkcí
det: GL(n,R) ⊂ Rn2
→ R ,
která je hladká. To plyne z formulky pro determinant, jejíž tvar známe z lineární algebry
det(A) = ∑
σ∈Sn
sgn(σ)
n
∏
i=1
ai,σi ,
kde Sn je množina všech permutací na n prvcích. Pravá strana rovnice je polynom v proměnných
aij a z matematické analýzy víme, že polynomy ve více proměnných jsou hladké
funkce. Pro nás to zejména znamená, že můžeme množinu izomorfismů vyjádřit jako vzor
otevřené množiny spojitého zobrazení
GL(n,R) = det−1
(R\{0}) .
Je tedy GL(n,R) otevřená podmnožina v Rn2
, jelikož vzor otevřené množiny při spojitém
zobrazení je otevřená množina. Podle 2.11 je proto množina všech lineárních izomorfismů
prostoru Rn hladká varieta dimenze n2.
Cvičení 2.14.
Ukažte, že množina všech reálných matic s determinantem 1 je hladkou podvarietou.
Podvariety číselných prostorů 18
Řešení. Využijeme výsledků a podobné úvahy jako v příkladě 2.12. Již víme, že prostor
všech matic n×n můžeme injektivně zobrazit do Rn2
pomocí zobrazení 2.13. Dále víme, že
determinant je hladké zobrazení z matic do reálných čísel. Množina všech reálných matic
s determinantem 1, která se značí SL(n,R), je pak vzorem jedničky tohoto zobrazení
det: SL(n,R) ⊂ Rn2
→ R ,
SL(n,R) = det−1
(1) .
Ukážeme, že Jacobiho (jednořádková) matice pro zobrazení det má na SL(n,R) maximální
hodnost. K tomu nám stačí ukázat, že pro každé A ∈ SL(n,R) existuje dvojice i, j, pro
kterou platí
∂ det(A)
∂aij
= 0 ,
tj. Jacobiho matice bude mít alespoň jednu nenulovou hodnotu a tedy maximální hodnost.
Laplaceův rozvoj determinantu matice A = (aij) podle i-tého řádku vypadá následovně
det(A) = (−1)i+1
ai1Mi1 +(−1)i+2
ai2Mi2 +···+(−1)i+n
ainMin
kde Mij je minor (nebo také kofaktor) odpovídající prvku aij. Jestliže předpokládáme
sporem, že
∂ det(A)
∂aij
= (−1)i+j
Mij = 0
pro fixní i a libovolné j, tj. platí
∂ det(A)
∂ai1
= Mi1 = ··· =
∂ det(A)
∂ain
= Min = 0 .
Jsou-li však všechny minory pro daný řádek nulové, pak je Laplaceův rozvoj podle tohoto
řádku roven nule, což by znamenalo det(A) = 0. To je spor s předpokladem A ∈ SL(n,R).
Ukázali jsme, že Jacobiho matice má maximální hodnost v libovolném bodě A množiny
SL(n,R), která je proto podle 2.4 hladkou podvarietou dimenze n2 −1.
Cvičení 2.15.
Rozhodněte, je-li obecný n-úhelník, n ≥ 3, podvarietou roviny.
Řešení. Cvičení vyřešíme tak, že uvážíme část n-úhelníka, o které dokážeme, že není
podvarietou. To bude znamenat, že ani samotný n-úhelník není podvarietou.
Nechť uvažovaná část n-úhelníka obsahuje nějaký vrchol V a dvě k němu přilehlé hrany
h1, h2 s otevřenými konci. Z předešlé kapitoly víme, že rotace a posunutí neovlivní, je-li
zkoumaný objekt podvarietou, či nikoliv. Bez újmy na obecnosti proto uvažujme část h1Vh2
v R2 v takové poloze, že vrchol V bude v bodě 0, h1 zarovnána s osou x a h2 svírající s h1
úhel α ∈ (0,π)\ π
2 (případ α = π
2 bychom opět vyrešili rotací). Lomená čára h1Vh2 není
podvarietou, jelikož je grafem funkce, která v bodě 0 není diferencovatelná. Předpis této
funkce, označme ji f, by byl definován po částech dvěma lineárními funkcemi se zlomem
v bodě 0: jedna část závislá na úhlu svíraném hranami n-úhelníka, druhá část konstatně
Podvariety číselných prostorů 19
nulová. Přesný tvar po částech lineární f nás však nezajímá. Podstatný je pouze bod zlomu,
ve kterém funkce nebude spojitě diferencovatelná, jelikož svíraný úhel je z předpokladu
nenulový (tj. derivace zleva a zprava v bodě 0 nebudou stejné). Chceme-li h1Vh2 ⊂ R2
popsat jako podvarietu v souladu s 2.1, nebude to nikdy možné z následujícího důvodu.
Dva různé souřadné popisy nějakého okolí bodu V, jeden daný funkcí f a druhý libovolný,
označme jej g, se od sebe musí lišit hladkým přechodovým zobrazením ψ takovým, že
složení f ◦ψ ◦g−1 je přinejmenším diferencovatlné zobrazení. Avšak kompozice zobrazeni
zachovává menší ze stupňů diferenovatelosti, což kvůli f bude nula. Vidíme, že h1Vh2
nemůže být podvarietou, tedy ani obecný n-úhelník není podvarietou.
Cvičení 2.16.
Ukažte, že je-li f : M → N zobrazení třídy Cr mezi podvarietami třídy Cs, pak je r ≤ s.
Řešení. Uvažujme zobrazení f : M → N ze zadání. Aby f bylo třídy Cr, musí podle 2.8
existovat pro každý bod a ∈ M jeho okolí U ⊂ M, spolu s okolím V ⊂ N pro bod f(a),
splňující f (U) ⊂V, a dále lokání souřadnice φ na U a ψ na V tak, že zobrazení ψ ◦ f ◦φ−1
je třídy Cr. Situaci si můžeme nakreslit do komutujícího diagramu
U
f
// V
ψ

φ (U)
φ−1
OO
ψ◦f◦φ−1
// ψ (V)
Stupeň diferencovatelnosti složeného zobrazení je roven nejmenšímu stupni skládaných
zobrazení, přitom oba difeomorfismy ψ i φ ve složení ψ ◦ f ◦φ−1 jsou z předpokladu třídy
Cs, podle definice 2.1. Proto platí r ≤ s.
Cvičení 2.17.
Rozhodněte, je-li podmnožina v R2, tvořená dvěma kružnicemi (s nenulovým poloměrem)
spojenými v jediném bodě, podvarietou.
Řešení. Úlohu můžeme vyřešit topologickým argumentem. Z definice podvariety víme,
že pro libovolný její bod existuje vhodné okolí a na něm difeomorfismus f na jednoduše
souvislou podmnožinou v Rn. Z topologie víme, že jednoduše souvislou množinu lze
homeomorfně zobrazit na celé Rn. Jelikož každý difeomorfismus je zároveň homeomorfismem,
musí být lokálně každá podvarieta euklidovského prostoru homeomorfní Rn. Nechť
tedy M je množina tvořená dvěma kružnicemi spojenými v jediném bodě, který označme
x. Předpokládejme sporem, že M je podvarieta v R2 a uvažme libovolné okolí U bodu x.
Z topologie víme, že R2, ze kterého vyjmeme bod, má jedinou komponentu souvislosti.
Jestliže vyjmeme z U bod x, vzniknou čtyři komponenty souvislosti. To je spor, protože
R2 bez (libovolného) bodu je homoemorfní okolí U bez bodu x. Avšak počet komponent
souvislosti je invariantem homeomorfismu. Situace tedy nemůže nastat a M nemůže být
podvarietou v R2.
Hladké variety a hladká zobrazení
Definice 3.1.
n-dimenzionální topologická varieta je separabilní topologický prostor M se spočetnou
bází, který je lokálně homeomorfní Rn, tj. ∀x ∈ M existuje okolí U, otevřená množina
V ⊂ Rn a homeomorfismus ϕ : U → V.
Definice 3.2.
Každý homeomorfismus ϕ :U →V, kdeU ∈ M aV ∈ Rn jsou otevřené množiny, se nazývá
lokální mapa na M. Souřadnice ϕ (a), kde a ∈ U, se nazývají souřadnice a v lokální mapě
ϕ. Jestliže 0 ∈ V, pak se ϕ−1 (0) nazývá střed lokální mapy ϕ.
Definice 3.3.
Nechť M je topologická varieta a ϕ1, ϕ2 dvě lokální mapy na množinách U1 a U2. Indukované
zobrazení ϕ12 = ϕ2 ◦ ϕ−1
1 V12
: V12 → V21 se nazývá přechodové zobrazení mezi
lokálními mapami ϕ1 a ϕ2. Občas se také toto zobrazení označuje jako změna souřadnic
na překryvu.
Definice 3.4.
Dvě lokální mapy ϕ1 : U1 → V1 a ϕ2 : U2 → V2 na topologické varietě M se nazývají
Cr
-relované, jestliže přechodové zobrazení ϕ12 je Cr-difeomorfismus.
Definice 3.5.
Cr atlas A na topologické varietě M je množinaCr-relovaných lokálních map ϕα :Uα →Vα
takových, že jejich definiční obory Uα pokrývají M. Takový atlas se často označuje názvem
diferenciální struktura.
Poznámka. Můžeme uvažovat i atlasy na Rn, s nimiž není kompatibilní identita idRn.
Takové atlasy se poté nazývají netriviální diferenciální struktura.
Definice 3.6.
Mapa φ0 : U0 → V0 je kompatibilní s Cr atlasem A , jestliže každé přechodové zobrazení
ϕ0α : V0α → Vα0 je Cr-difeomorfismus.
– 20 –
Hladké variety a hladká zobrazení 21
Definice 3.7.
Atlas A na topologické varietě M se nazývá úplný, jestliže obsahuje všechny kompatibilní
lokální mapy.
Věta 3.8.
Nechť A je libovolný Cr atlas na M. Jestliže přidáme všechny kompatibilní lokální mapy,
obdržíme úplný atlas.
Definice 3.9.
Řekneme, že spojité zobrazení f : M → N je třídy Cs, jestliže pro každou mapu φ : U → V
kompatibilní s atlasem A a všechny mapy ψ : W → Z kompatibilní s atlasem B splňující
f (U) ∈ W, je indukované zobrazení ψ ◦ϕ−1 : V → Z třídy Cs.
Definice 3.10.
Diferenciální varieta třídy Cr je topologická varieta s Cr atlasem A .
Věta 3.11.
Spojité zobrazení f : M → N mezi dvěma Cr varietami je třídy Cs ((s ≤ r), jestliže pro
všechny x ∈ M existují lokální mapy ϕ na M a ψ na N takové, že indukované zobrazení
ϕ−1 ◦ f ◦ψ je třídy Cs na okolí bodu x.
Věta 3.12.
Nechť M, N a P jsou Cr variety a f : M → N, g : N → P jsou Cs zobrazení. Pak kompozice
g◦ f : M → P je také Cs zobrazení.
Definice 3.13.
Cs difeomorfismus dvou n−dimenzionálních Cr variet M1 a M2 je bijektivní Cs zobrazení
f : M1 → M2 takové, že inverzní zobrazení f−1 : M2 → M1 je také Cs.
Definice 3.14.
Součin dvou Cr variet M a N s atlasy A a B je Cr varieta daná kartézským součinem
topologických variet M ×N a diferenciální strukturou A ×B.
Poznámka. I když jsou atlasy A a B úplné, atlas A ×B nemusí být nutně úplný.
Definice 3.15.
Nechť je M n−dimenzionální Cr varieta. Podmnožina N ⊆ M je k−dimenzionální Cs
podvarieta, jestliže N je k−dimensional Cs varieta.
Hladké variety a hladká zobrazení 22
Poznámka. Řekneme, že variety nebo zobrazení jsou hladké, jestliže jsou C∞. Od teď
budeme budeme slovo hladké vynechávat.
Cvičení 3.16.
Jsou následující zobrazení lokální mapy?
1. f : R → R, f(t) = t2k, k ∈ N
2. f : R → R, f(t) = t2k−1, k ∈ N
3. f : (−a,a) → R, f(t) = tan(πt
2a), a ∈ R
Řešení.
1. Nejprve si všimněme, že zobrazení není injektivní. Obrazem tohoto zobrazení je
interval [0,∞). Toto ale není ani otevřená množina v R! Dále, obrazy otevřených
množin obsahujících 0 nejsou otevřené, protože f ((−a,a)) = 0,a2k
2. Tyto zobrazení jsou lokální mapy. Jsou injektivní a každá otevřená množina se
zobrazí na otevřenou množinu.
3. Tento příklad ukazuje, že R je C∞−difeomorfní otevřenému intervalu (−a,a). Zobrazení
je injektivní a obrazy otevřených množin jsou otevřené množiny.
Cvičení 3.17.
Může existovat atlas na sféře Sn pouze s jednou mapou?
Řešení. Kdyby taková mapa ϕ : Sn → Rn šla zkonstruovat, musela by být homeomorfismem
na otevřené množiny v Rn. Jelikož ale Sn je kompaktní, ϕ (Sn) by byla jak uzavřená, tak
otevřená množina v Rn, tudíž ϕ (Sn) = Rn. To však nelze, protože Rn není kompaktní.
Proto nelze zkonstruovat atlas na Sn obsahující pouze jednu mapu.
Cvičení 3.18.
Uvažme otevřené množiny U a V jednotkové kružnice S1 v R2 dané jako
U = {(cosα,sinα) : α ∈ (0,2π)}
V = {(cosα,sinα) : α ∈ (−π,π)}
Dokažte, že A = {(U,ϕ),(V,ψ)}, kde
ϕ : U → R, ϕ (cosα,sinα) = α
ψ : V → R, ψ (cosα,sinα) = α
je atlas na S1.
Hladké variety a hladká zobrazení 23
Řešení. Jak jde vidět například z obrázků, platí U ∪V = S1. Zobrazení ϕ a ψ jsou homeomorfní
na (0,2π), respektive (−π,π), proto (U,ϕ) a (V,ψ) jsou lokální mapy na S1.
Přechodové zobrazení ψ ◦ϕ−1 je dáno
α → (cosα,sinα) →
α, α ∈ (0,π)
α −2π, α ∈ (π,2π)
To je difeomorfismus na U ∩V, proto A je atlas na S1.
-1 -0.5 0 0.5 1
x
-1
-0.5
0
0.5
1
y
Chart U
-1 -0.5 0 0.5 1
x
-1
-0.5
0
0.5
1
y
Chart V
Obrázek 3.1: Mapy U a V na S1
Cvičení 3.19.
Zadejte atlas na válcové ploše
M = (x,y,z) ∈ R3
: x2
+y2
= r2
, 0 < z < h
kde h,r ∈ R+
Řešení. Do atlasu musíme vložit mapy popisují kružnici S1
r = (x,y) ∈ R2 : x2 +y2 = r2 .
Toto jsme však provedli již v předchozím příkladu. Proto jsouU ×(0,h),V ×(0,h) otevřené
množina v M a definujme atlas na M pomocí
A = {(U ×(0,h);ϕ ×id),(V ×(0,h);ψ ×id)}
Přechodové zobrazení mezi mapami je
(ψ ×id)◦(ϕ ×id)−1
= ψ ◦ϕ−1
×id
což je C∞−difeomorfismus a tedy A je atlas na M.
Hladké variety a hladká zobrazení 24
Poznámka. Tento postup může být rozšířen na součin libovolných dvou variet M = M1 ×
M2.
Cvičení 3.20.
Pro každé kladné reálné číslo r uvažme zobrazení φr : R → R, kde φr (t) = t if t ≤ 0
a φr (t) = rt if t > 0. Dokažte, že atlasy {(R,φr)} určují nespočetně mnoho diferenciálních
struktur na R. Jsou tyto diferenciální struktury navzájem difeomorfní?
Řešení. Pro každé kladné reálné r je φr homeomorfismus, tudíž {(R,φr)} je atlas. Aby
jsme určili, zda jsou diferenciální struktury ekvivalentní, musíme ověřit pro jaké r a s jsou
zobrazení φr a φs Cr−relované. Musíme tedy spočítat φr ◦φ−1
s , které je
φr ◦φ−1
s (t) =
t, t ≤ 0
r
st, t > 0
Tyto funkce jsou nespojité pro r = s, tudíž diferenciální struktury jsou různé. Nicméně
uvažme zobrazení
φ : Rr → Rs =
t → t, t ≤ 0
t → r
st, t > 0
Toto zobrazení je difeomorfismus, protože φs ◦φφ−1
r je identita, která je C∞.
Tečné bandly a tečná zobrazení
Definice 4.1.
Dráha na M je hladké zobrazení f : I → M, kde I ∈ R je otevřený interval.
Poznámka. Dráha se někdy nazývá i jako hladký pohyb, protože neobsahuje pouze informace
o „trajektorii“, ale i o vlastním „pohybu“, který vytváří. Jestli je f (I) ∈ M křivka a f
je její parametrizace, pak říkáme, že máme parametrizovanou křivku na M.
Poznámka. Jestli je M je otevřená podmnožina U ⊂ Rn, pak k dráze f(t) : I → U existuje
tečný vektor dfi(t0))
dt v každém t0 ∈ I. Tento vektor můžeme chápat jako vektor zafixovaný
v bodě f (t0).
Pro jednoduchost dále budeme předpokládat, že 0 ∈ I.
Definice 4.2.
Nechť a ∈ U je bod a fb = a+tb je dráha, která pro dostatečně malé t leží uvnitř U. Poté
d f(0)
dt = b. Dvojce (a,b) se nazývá tečný vektor k U v bodě a. Množina všech tečných
vektorů se nazývá tečný prostor množiny U v a a značí se TaU ∼= Rn. Sjednocení tečných
prostorů ve všech bodech TU =
a∈U
TaU ∼= U ×Rn se nazývá tečný bandl.
Poznámka. Také budeme používat značení f pro df
dt .
Poznámka. Definice tečného prostoru a tečného bandlu je mnohem abstraktnější, pokud je
M topologická varieta.
Poznámka. Funkce h : I → R má nulu prvního řádu v t0 ∈ I, pokud
h(t0) =
dh(t0)
dt
= 0
Definice 4.3.
Dvě dráhy f,g : I → M se dotýkají v t0, jestliže f (t0) = g(t0) a pro každou hladkou funkci
ϕ : M → R, indukovaná funkce ϕ ◦ f −ϕ ◦g : I → R má nulu prvního řádu v t0.
Věta 4.4.
Dvě dráhy f,g : I → M se dotýkají v 0, pokud f(0) = g(0) = a a existuje souřadnicový
systém xi v nějakém okolí bodu a takový, že
d fi (0)
dt
=
dgi (0)
dt
– 25 –
Tečné bandly a tečná zobrazení 26
Tato věta nám umožňuje definovat tečný vektor jako třídu ekvivalence drah, které se
dotýkají.
Definice 4.5.
Třída ekvivalence A drah f(t) na M splňujících f(0) = a a nulou prvního řádu v 0 se
nazývá tečný vektor na M v bodě a. Značíme A = df(0)
dt . Množina všech takových tříd
ekvivalence je tečný prostor TaM.
Definice 4.6.
Derivace funkce ϕ ve směru A je dána
Aϕ =
d(ϕ ◦ f)(0)
dt
=
n
∑
i=1
∂ϕ(a)
∂xi
d fi(0)
dt
Definice 4.7.
Nechť ϕ,ψ : M → R jsou dvě funkce, pro které platí ϕ(a) = ψ(a) a Aϕ = Aψ pro každé
A ∈ TaM. Pak mají tyto funkce shodný diferenciál. Tuto třídu ekvivalence značíme jako
daϕ.
Poznámka. Jestli mají dvě funkce shodný diferenciál, poté platí:
• ϕ(a) = ψ(a)
• ∂ϕ(a)
∂xi = ∂ψ(a)
∂xi
Věta 4.8.
Prostor všech diferenciálů T∗
a M je n−dimenzionální vektorový prostor, protože platí
• (daϕ)+(daψ) = da (ϕ +ψ)
• k (daϕ) = da (kϕ)
Tento prostor se nazývá kotečný prostor k M v bodě a a jeho prvky se nazývají kovektory.
Věta 4.9.
Tečné vektory v a jsou lineární zobrazení T∗
a M → R.
Definice 4.10.
Nechť f je zobrazení na varietě N a A = dh(0)
dt ∈ TaM, kde h je nějaká dráha na M. Pak
f ◦h : I → N je dráha na N a tečný vektor df◦h(t0)
dt = ∑n
i=1
∂ f(a)
∂xi
dhi(0)
dt závisí pouze na tečném
vektoru A. Proto je zobrazení Ta f : TaM → Tf(a)N lineární. Toto zobrazení se nazývá tečné
zobrazení f v bodě a. Zobrazení T f : TM → TN, splňující T f = a∈M Ta f se nazývá
tečné zobrazení f. Tečné zobrazení se také značí f∗.
Tečné bandly a tečná zobrazení 27
Věta 4.11.
Pro složení dvou zobrazení platí
T (g◦ f) = (Tg)◦(T f)
Věta 4.12.
Jestli je f : M → N hladké zobrazení, pak je zobrazení T f : TM → TN také hladké.
Věta 4.13.
Jestli je M m−dimenzionální podvarieta v Rn, pak TM je 2m−dimenzionální podvarieta
v TRn = Rn ×Rn
Definice 4.14.
Hodnost zobrazení f v bodě a, značíme Rka f, je hodnost lineárního zobrazení Ta f.
Cvičení 4.15.
Uvažme zobrazení f : R2 → R, (x,y) → x3 +xy+y3 +1
1. Spočtěte tečné zobrazení f∗ : TpR2 → Tf(p)R
2. Pro které body je f∗ injektivní?
3. Pro které body je f∗ surjektivní?
Řešení.
1. Prvně určeme tečné zobrazení na bázových vektorech
f∗
∂
∂x p
=
∂ f(p)
∂x
∂
∂t f(p)
= 3x2
+y
∂
∂t f(p)
f∗
∂
∂y p
=
∂ f(p)
∂y
∂
∂t f(p)
= 3y2
+x
∂
∂t f(p)
Jelikož je f∗ lineární zobrazení, stačí, když určíme, jak působí na libovolný vektor
v ∈ TpR2. Obraz vektoru ax
∂
∂x +ay
∂
∂y ∈ TpM je
f∗ ax
∂
∂x
+ay
∂
∂y
= ax 3x2
+y +ay 3y2
+x
∂
∂t f(p)
2. f∗ nemůže být injektivní, protože dimR2 > dimR.
Tečné bandly a tečná zobrazení 28
3. Jestli f∗ není surjektivní v bodě p, pak se obraz každého vektoru zobrazí na nulu.
Množina takových bodů je
P = (x,y) ∈ R2
: x+3y2
= 0,3x2
+y = 0
Po vyřešení příslušných rovnic dostaneme P = −1
3,−1
3 ,(0,0) . Tedy f∗ je surjektivní
na R2 P.
Cvičení 4.16.
Nechť g : R2 → R3, (x,y) → x2y+y2,x−2y3,yex
1. Spočtěte g∗(x,y).
2. Najděte g∗ 4 ∂
∂x − ∂
∂y (x,y)
.
3. Najděte podmínky na αx, αy, αz takové, aby vektor αx
∂
∂x +αy
∂
∂y +αz
∂
∂z g(0,0)
byl
obrazem nějakého vektoru pomocí zobrazení g∗.
Řešení. 1. Jako v předchozím příkladu spočítáme tečné zobrazení na bázové vektory,
což nám umožní najít matici lineárního zobrazení. V tomto případu je matice
g∗(x,y) =


2xy x2 +2y
1 −6y2
yex ex


2. Spočtěme tečné zobrazení na 4 ∂
∂x − ∂
∂y
g∗ 4
∂
∂x
−
∂
∂y (x,y)
=


2xy x2 +2y
1 −6y2
yex ex


g(x,y)
4
−1 (x,y)
=


8xy−x2 −2y
4+6y2
(4y−1)ex


g(x,y)
3. Matice tečného zobrazení v bodě (0,0) je
g∗(0,0) =


0 0
1 0
0 1


Proto hledaná podmínka je αx = 0.
Cvičení 4.17.
Uvažte křivku σ v R2 definovanou jako x = cost, y = sint, t ∈ (0,π) a zobrazení f : R2 →
R, f(x,y) = 2x+y3. Najděte vektor v tečný k σ v bodě π 4 a spočtěte vf.
Tečné bandly a tečná zobrazení 29
Řešení. Máme σ (t) = (−sint,cost), proto
σ π 4 = −
√
2
2
∂
∂x
+
√
2
2
∂
∂y √
2
2 ,
√
2
2
Dále
σ π 4 f = −
√
2
2
∂ f
∂x
+
√
2
2
∂ f
∂y √
2
2 ,
√
2
2
= −
√
2
4
Cvičení 4.18.
Uvažte dráhu v R2 danou jako σ (t) = (x(t),y(t)) = t2 −1,t3 −t . Spočtěte σ (t) a σ (t)
pro t = ±1. Porovnejte získané výsledky.
Řešení. Máme
σ (1) = σ (−1) = (0,0)
Derivaci je σ (t) = 2t,3t2 −1 . To nám dává
σ (1) = (2,2)
σ (−1) = (−2,2)
Výsledek jde vidět na následujícím obrázku.
Tečné bandly a tečná zobrazení 30
-1-0.500.51
x
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
y
Obrázek 4.1: Dráha σ (t) spolu s tečnými vektory v t = ±1.
Vektorová pole
Definice 5.1.
Vektorové pole na M je hladké zobrazení X : M → TM takové, že p◦X = idM
Definice 5.2.
Derivace ve směru vektorového pole X hladké funkce f : M → R je zobrazení X f :
M → R dané předpisem (Xa)(a) = X (a) f, kde X (a) je derivace ve směru vektoru X (a).
V lokálních souřadnicích máme
X f =
n
∑
i=1
Xi
(a)
∂ f
∂xi
Věta 5.3.
Pro každou dvojici vektorových polí X, Y na M existuje právě jedno vektorové pole [X,Y]
na M takové, že pro každou funkci f na M platí
[X,Y] f = X (Y f)−Y (X f)
Takové vektorové pole se nazývá Lieova závorka polí X a Y. V souřadnicovém vyjádření
je toto pole dáno jako
[X,Y] =
n
∑
i,j=1
Xi ∂Y j
∂xi
−Yi ∂X j
∂xi
∂
∂xj
Věta 5.4.
Pro každé k,l ∈ R, každé vektorové pole X, Y, Z a každou funkci f ona M, platí
[kX +lY,Z] = k[X,Z]+l [Y,Z]
[X,Y] = −[Y,X]
[X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]] = 0
[fX,Y] = f [X,Y]−(Y f)X
Definice 5.5.
Vektorové pole X : M → TM a Y : N → TN jsou f−relovaná, jestliže (T f)◦X = Y ◦ f.
– 31 –
Vektorová pole 32
Lemma 5.6.
Vektorová pole X a Y jsou f−relovaná právě tehdy, když pro každou funkci h : N → R
platí
X (h◦ f) = (Yh)◦ f
Věta 5.7.
Nechť X1, X2 jsou vektorová pole na M a Y1, Y2 jsou vektorová pole na N taková, že X1, Y1
a X2, Y2 jsou f−relovaná. Pak Lieovy závorky [X1,X2] a[Y1,Y2] jsou f−relované.
Definice 5.8.
Řekneme, že vektorové pole X je tečné k podvarietě N, jestliže X (x) ∈ TxN pro každé
x ∈ N.
Věta 5.9.
Jestliže jsou vektorová pole X, Y tečné k N, pak je i [X,Y] tečné vektorové pole k N.
Definice 5.10.
Dráha f : I → M je integrální křivka vektorového pole X, jestliže
d f (t)
dt
= X (f (t))
Poznámka. V lokálních souřadnicích máme X = ∑n
i=1 Xi (x) ∂
∂xi , tedy každá integrální
křivka vektorového pole X je řešením systému diferenciálních rovnic
dxi
dt
= Xi
x1
,...,xn
Všimněte si, že pravá strana není závislá na t.
Definice 5.11.
Pro každé x ∈ M existuje právě jedna maximální integrální křivka fx : R ⊃ Ix → M, pro
kteru platí fx (0) = x. Maximání znamená, že Ix nelze rozšířit na větší interval. S ohledem
na existenční větu řešení diferenciální rovnic víme, že je množina
R×M ⊃ DX :=
x∈M
Ix ×{x}
otevřená a můžeme tedy definovat tok vektorového pole X jako hladké zobrazení
FlX
: DX → M, FlX
(t,x) = FlX
t (x) = fx (t) .
Vektorová pole 33
Věta 5.12.
Pro úplné vektorové pole X platí pro všechna t,s ∈ R
FlX
t+s = FlX
t ◦FlX
s
Poznámka. Pokud X není úplné vektorové pole, věta stále platí pro dostatečně malá t,s ∈ R.
Definice 5.13.
Nosič vektorového pole X je uzávěr množiny bodů, ve kterých je X nenulové.
Věta 5.14.
Každé vektorové pole X s kompaktním nosičem K je úplné na libovolné varietě M.
Definice 5.15.
k−dimenzionální distribuce S na M ke pravidlo, které každému bodu x ∈ M přiřazuje
k−dimenzionální vektorový podprostor S(x) ⊂ TxM.
Poznámka. Vektorové pole X ∈ S, jestliže X (x) ∈ S(x) pro každé x ∈ M.
Definice 5.16.
Distribuce S je hladká, jestliže pro každé x ∈ M existuje okolí U spolu s k hladkými
vektorovými poli X1,...,Xk takovými, že vektory X1 (x),...,Xk (x) tvoří bázi S(x) pro každé
x ∈ U.
Poznámka. Odteď budeme uvažovat pouze hladké distribuce.
Definice 5.17.
k−dimenzionální podvarieta N ⊂ M se nazývá integrální varieta distribuce S, jestliže
TxN = S(x) pro každé x ∈ N.
Definice 5.18.
Distribuce S je integrabilní, jestliže pro každé x ∈ M existuje integrální podvarieta S
obsahující x.
Definice 5.19.
Distribuce S je involutivní, jestliže pro všechny vektorové pole X1, X2 definované na
U ⊂ M, které patří do distribuce S, také jejich Lieova závorka [X1,X2] patří do S.
Vektorová pole 34
Věta 5.20.
Distribuce je integrabilní právě když je involutivní.
Věta 5.21.
Nechť S je involutivní distribuce. Pak pro každé x ∈ M existuje lokální souřadnicový systém
y1,...,yn v nějakém okolí U takový, že ∂
∂y1 ,..., ∂
∂yk tvoří bázi S na U.
Cvičení 5.22.
Nechť f : R3 → R je C∞ funkce definovaná jako f(x,y,z) = x2 + y2 − 1,která definuje
diferenciální strukturu na C = f−1 (0). Uvažte vektorová pole na R3
1. X = x2 −1 ∂
∂x +xy ∂
∂y +xz ∂
∂z
2. Y = x ∂
∂x +y ∂
∂y +2xz2 ∂
∂z
Jsou tečná k C?
Řešení. Vše, co musíme udělat, je spočítat příslušné derivace f ve směrech danými vektorovými
poli ve všech bodech C. Je vyjdou nulové derivace, hodnota funkce se nezmění
ve směru vektorového pole X a tedy implicitní rovnice f(x,y,z) = 0 zůstane zachovaná.
1.
X f = x2
−1
∂ f
∂x
+xy
∂ f
∂y
+xz
∂ f
∂z
=
= 2x x2
+y2
−1
Vidíme, že X f je nula na C, tedy X je tečné k C.
2.
Y f = x
∂ f
∂x
+y
∂ f
∂y
+2xz2 ∂ f
∂z
=
= 2 x2
+y2
Toto vektorové pole není tečné, protože Y f|C = 2.
Cvičení 5.23.
Uvažte vektorová pole
X = xy
∂
∂x
+x2 ∂
∂z
, Y = y
∂
∂y
na R3 a zobrazení f : R3 → R, f(x,y,z) = x2y. Rozhodněte nebo spočtěte:
Vektorová pole 35
1. Je tato distribuce involutivní?
2. [X,Y](1,1,0)
3. (fX)(1,1,0)
4. (X f)(1,1,0)
5. f∗ X(1,1,0)
Řešení. 1. Prvně spočítáme Lieovu závorku vektorových polí. Při počítání Lieových
závorek je velice užitečné vyčíslit Lieovu závorku na nějaké testovací funkci f
s použitím identity
[X,Y] f = X (Y f)−Y (X f)
V našem případě dostaneme
[X,Y]f = xy
∂
∂x
+x2 ∂
∂z
y
∂ f
∂y
− y
∂
∂y
xy
∂ f
∂x
+x2 ∂ f
∂z
=
= xy2 ∂2 f
∂x∂y
+x2
y
∂2 f
∂z∂y
−xy
∂ f
∂x
−xy2 ∂2 f
∂x∂y
−x2
y
∂2 f
∂z∂y
= −xy
∂ f
∂x
Vidíme, že distribuce není involutivní. Můžeme zkonstruovat bázi
([X,Y],Y,[X,Y]+X) = −xy
∂
∂x
,y
∂
∂y
,x2 ∂
∂z
ve které jsou vektory lineárně nezávislé.
2. K spočítání hodnoty Lieovy závorky jednoduše vyčíslíme vektorové pole v (1,1,0),
což dává
[X,Y](1,1,0) = −
∂
∂x (1,1,0)
3. (fX)(1,1,0) = f(1,1,0)X(1,1,0) = ∂
∂x + ∂
∂z (1,1,0)
4. (X f)(1,1,0) = xy∂ f
∂x +x2 ∂ f
∂z (1,1,0)
= ∂ f
∂x (1,1,0) = 2
5. f∗ X(1,1,0) = ∂ f
∂x , ∂ f
∂y , ∂ f
∂z


1
0
1

 = 2 ∂
∂t 1
kde t značí kanonickou proměnnou na R.
Cvičení 5.24.
Nechť X = 2 ∂
∂x − ∂
∂y +3 ∂
∂z je vektorové pole.Jak toto vektorové pole vypadá v R3 s použitím
Vektorová pole 36
1. válcových souřadnic (r,φ,z)
x = rcosφ
y = rsinφ
z = z
2. sférických souřadnic (r,φ,θ)
x = rsinθ cosφ
y = rsinθ sinφ
z = rcosθ
Řešení.
1. Nejprve spočítáme Jacobiho matici transformace
J =


cosφ −rsinφ 0
sinφ rcosφ 0
0 0 1


Vektorové pole je ve válcových souřadnicích dáno jako
X = f1(r,φ,z)
∂
∂r
+ f2(r,φ,z)
∂
∂φ
+ f3(r,φ,z)
∂
∂z
Tedy


cosφ −rsinφ 0
sinφ rcosφ 0
0 0 1




f1
f2
f3

 =


2
−1
3


To nám dá systém rovnic pro komponenty fi
f1 cosφ − f2rsinφ = 2
f1 sinφ + f2rcosφ = −1
f3 = 3
Tento systém se dá jednoduše vyřešit a řešením je následující výraz pro X ve válcových
souřadnicích
X = (2cosφ −sinφ)
∂
∂r
−
2sinφ +cosφ
r
∂
∂φ
+3
∂
∂z
Vektorová pole 37
2. Stejně jako v předchozím případě nejprve spočítáme Jacobiho matici
J =


sinθ cosφ −rsinθ sinφ rcosθ cosφ
sinθ sinφ rsinθ cosφ rcosθ cosφ
cosθ 0 −rsinθ


Ve sférických souřadnicích je vektorové pole dáno jako
X = f1 (r,φ,θ)
∂
∂r
+ f2 (r,φ,θ)
∂
∂φ
+ f3 (r,φ,θ)
∂
∂θ
a my máme vyřešit následující systém rovnic


sinθ cosφ −rsinθ sinφ rcosθ cosφ
sinθ sinφ rsinθ cosφ rcosθ cosφ
cosθ 0 −rsinθ




f1
f2
f3

 =


2
−1
3


Po vyřešení systému získáme komponenty vektorového pole
f1 = (2cosφ −sinφ)sinθ +3cosθ
f2 =
(2cosφ −sinφ)cosθ −3sinθ
r
f3 =
2(sinφ −cosφ)
rsinθ
Cvičení 5.25.
Pro každé vektorové pole najděte příslušné integrální křivky a rozhodněte, jestli jsou úplné
nebo ne.
1. X = ∂
∂y +ex ∂
∂z
2. X = e−x ∂
∂x
Řešení. 1. K nalezení integrálních křivek musíme vyřešit systém diferenciálních rovnic
x (t) = 0
y (t) = 1
z (t) = ex(t)
Řešení procházející bodem (x0,y0,z0) je
x (t) = x0
y (t) = y0 +t
z (t) = ex0t +z0
Toto je definované pro všechna t ∈ R a tedy vektorové pole je úplné.
Vektorová pole 38
2. Diferenciální rovnice pro integrální křivku pro toto vektorové pole je
ex(t)
x (t) = 1
tedy
ex(t)
= t +C
Integrální křivka procházející x0 je
x(t) = log(t +ex0)
Toto vektorové pole není úplné, je definované pouze pro t > −ex0.
Cvičení 5.26.
Uvažte distribuci D na R3 zadanou jako
X =
∂
∂x
+
2xz
1+x2 +y2
∂
∂z
, Y =
∂
∂y
+
2yz
1+x2 +y2
∂
∂z
1. Je D involutivní?
2. Spočtěte lokální tok X a Y.
3. Jestli je D involutivní, najděte příslušnou integrální plochu.
Řešení. 1. Abychom zjistili, jestli je distribuce involutivní, musíme spočítat Lieovu
závorku bázových vektorových polí. V tomto případě máme [X,Y] = 0 ∈ span(X,Y)
a tudíž D je involutivní.
2. Nejprve spočítáme lokální tok pro X. Okamžitě máme x = x0 +t a y = y0. Vše, co
zbývá je určit z, pro které máme
z
z
=
2(x0 +t)
1+(x0 +t)2 +y2
0
Řešení této rovnice procházející (x0,y0,z0) je
z = z0
1+(x+t)2 +y2
1+x2
0 +y2
0
To nám dává lokální tok
φt (x,y,z) = x+t,y,z
1+(x+t)2 +y2
1+x2 +y2
Lokální tok pro Y se dostane stejně. Nejrychlejší cesta je ale všimnout si, že pokud
přehodíme x a y, dostaneme stejné rovnice. Tok proto je
ψs (x,y,z) = x,y+s,z
1+x2 +(y+s)2
1+x2 +y2
Vektorová pole 39
3. Jsou dvě možnosti, jak můžeme určit integrální varietu. První možnost je jednoduše
složit příslušné toky, což nám dá ψ (t,s) = (ψs ◦φt)(x0,y0,z0). Tento výsledek je
nicméně málo zajímavý. Lepší cesta je najít kovektor, který anihiluje D. Tento
kovektor bude patřit do konormálového bandlu integrální podvariety a tedy musí být
nulový, pokud se omezíme pouze na kotečný bandl integrální podvariety. V tomto
případě máme
α = 2xzdx+2yzdy− 1+x2
+y2
dz
Tento kovektor může být dále zjednodušen
α = zd 1+x2
+y2
− 1+x2
+y2
dz =
= − 1+x2
+y2 2
d
z
1+x2 +y2
Tento kovektor bude nula tehdy a jen tehdy, když budeme derivovat konstantu, tudíž
z
1+x2+y2 = const.
Vektorová pole 40
Obrázek 5.1: Integrální podvarieta a distribuce D.
Tenzory a tenzorová pole
Tenzory
V této části se budeme zabývat algebraickým studiem multilineárních zobrazení. Všechny
vektorové prostory budeme uvažovat konečně dimenzionální.
Definice 6.1.
Mějme r +1 vektorových prostorů V1,...,Vr,W. Zobrazení
f : V1 ×···×Vr → W
se nazývá multilineární, jestliže je v každé složce lineární, tj. pro každé i ∈ I = {1,...,r}
a každé vektory v1 ∈ V1,...,vi−1 ∈ Vi−1,vi+1 ∈ Vi+1,...,vr ∈ Vr dostáváme lineární zobra-
zení
f (v1,...,vi−1,−,vi+1,...,vr) : Vi → W .
Prostor všech multilineárních zobrazení značíme L(V1,...,Vr;W). V případě V1 = ··· =
Vr = V hovoříme o protoru všech r-lineárních zobrazeních z V do W.
Na L(V1,...,Vr;W) lze zavést strukturu vektorového prostoru.
Tvrzení 6.2.
Pro libovolné multilineární zobrazení f,g ∈ L(V1,...,Vr;W) definujeme jejich součet
(f +g)(v1,...,vr) = f (v1,...,vr)+g(v1,...,vr) (6.3)
a pro libovolné k ∈ R definujeme skalární násobek
(k f)(v1,...,vr) = k(f(v1,...,vr)) . (6.4)
Vzhledem k těmto operacím je L(V1,...,Vr;W) vektorovým prostorem.
Speciálním případem předešlé definice je r = 1, W = R, který se uvažuje v následující
definici.
Definice 6.5.
Prostor L(V,R) všech lineárních funkcí na V nazýváme duální prostor k V a značíme
jej V∗. Prvky duálního prostoru nazýváme lineární 1-formy nebo také kovektory. Prostor
(V∗)∗
nazýváme druhý duál a značíme jej V∗∗.
– 41 –
Tenzory a tenzorová pole 42
Tvrzení 6.6.
Pro libovolný vektorový prostor V konečné dimenze platí (nekanonicky) V ∼= V∗ a dále
platí (kanonicky pomocí evaluace) V ∼= V∗∗.
Poznámka. Pojem kanonického izomorfismu v předešlém tvrzení znamená, že mezi všemi
možnými izomorfismy existuje jeden význačný, který není závislý na volbě popisu uvažovaného
abstraktního prostoru.
Definice 6.7.
Pro vektorový prostor V definujeme jeho r-tou tenzorovou mocninu r
V jako prostor
všech r-lineárních zobrazení z V∗ do R, tj.
r
V := L(V∗
,...,V∗
;R) .
Prvky r
V nazýváme tenzory stupně r
Zvolíme-li bázi {e1,...,en} veV, pak souřadnicové vyjádření vektoru v vzhledem k této
bázi je v = ∑n
i=1 viei (všimněme si pozice indexů souřadnic nahoře), kde n je dimenze V.
Definice 6.8.
Ve V∗ definujeme duální bázi {d1,...,dn} určenou vztahy
di
(ej) = δ
j
i =
1 i = j
0 i = j
. (6.9)
1-formu u ∈V∗ můžeme vyjádřit v souřadnicích vzhledem k duální bázi (di) následovně
u =
n
∑
i=1
uidi
(6.10)
(všimněme si pozice indexů souřadnic dole) a pro libovolné v ∈ V platí
u(v) =
n
∑
i=1
uivi
. (6.11)
Připomínáme, že každý vektor v ∈ V lze chápat jako 1-formu na vektorovém prostoru
V∗
v: V∗
→ R
Definice 6.12.
Pro libovolných r vektorů v1,...,vr definujeme jejich tenzorový součin
v1 ⊗···⊗vr ∈
r
V
pomocí předpisu hodnoty na r-tici 1-forem
(v1 ⊗···⊗vr)(u1,...,ur) = u1(v1)·····ur(vr) ∈ R , (6.13)
kde ui(vi) je hodnota vektoru vi při 1-formě ui.
Tenzory a tenzorová pole 43
Nyní zavedeme tensorový součin libovolných r a s tenzorů nad V.
Definice 6.14.
Pro libovolné A ∈ r
V a B ∈ s
V definujeme jejich tenzorový součin A ⊗ B ∈ r+s
V
předpisem hodnoty na r +s kovektorech
(A⊗B)(u1,...,ur+s) = A(u1,...,ur)·B(u1,...,us) . (6.15)
Definice 6.16.
r-lineární zobrazení A se nazývá symetrické, jestliže platí
A(v1,...,vr) = A vσ(1),...,vσ(r) (6.17)
pro libovolnou permutaci σ ∈ Pr, kde Pr je grupa všech permutací r-prvkové množiny.
Definice 6.18.
Podmnožina SrV ⊂ s
V všech symetrických r-lineárních zobrazení z V∗ do R naýváme
r-tá symetrická tenzorová mocnina prostoru V.
Tvrzení 6.19.
r-tá symetrická tenzorová mocnina SrV je lineární podprostor v r
V.
Definice 6.20.
Pro r-lineární zobrazení A: V∗ ×···×V∗ → R definujeme jeho symetrizaci
Sym:
r
V → Sr
V
předpisem
Sym(A)(u1,...,ur) =
1
r! ∑
σ∈Pr
A uσ(1),...,uσ(r) . (6.21)
Definice 6.22.
r-lineární zobrazení A se nazývá antisymetrické nebo také alternující, jestliže pro libovolnou
permutaci σ ∈ Pr platí
A(v1,...,vr) = sgn(σ)A vσ(1),...,vσ(r) , (6.23)
kde sgn(σ) je znaménko permutace.
Poznámka. Symetrické/antisymetrické tenzory lze popsat tak, že prohodíme-li dva argumenty
těchto multilineárních zobrazení, pak se zachová/změní znaménko výsledné hod-
noty.
Tenzory a tenzorová pole 44
Definice 6.24.
Podmnožinu ΛrV ⊂ r
V všech antisymetrických r-lineárních zobrazení z V∗ do R nazýváme
r-tá vnější tenzorová mocnina prostoru V.
Tvrzení 6.25.
r-tá vnější tenzorová mocnina ΛrV je lineární podprostor v r
V.
Definice 6.26.
Pro r-lineární zobrazení A: V∗ ×···×V∗ → R definujeme jeho antisymetrizaci nebo také
alternaci
Alt:
r
V → Λr
V
předpisem
Alt(A)(u1,...,ur) =
1
r! ∑
σ∈Pr
sgn(σ)A uσ(1),...,uσ(r) . (6.27)
Poznámka. Pro A ∈ 2
V platí Sym Aij = 1
2 Aij +Aji a Alt Aij = 1
2 Aij −Aji .
Důsledkem je, že v tomto speciálním případě r = 2 máme rozklad libovolného tenzoru
A = Aij na symetricku a antisymetrickou část
A = SymA+AltA (6.28)
Aij
=
1
2
Aij
+Aji
+
1
2
Aij
−Aji
(6.29)
Definice 6.30.
Pro v1,...,vr ∈ V definujeme jejich vnější součin vektorů předpisem
v1 ∧···∧vr = Alt(v1 ⊗···⊗vr) ∈ Λr
V . (6.31)
Věta 6.32.
Pro každé σ ∈ Pr platí
vσ(1) ∧···∧vσ(r) = sgn(σ)·v1 ∧···∧vr . (6.33)
Definice 6.34.
Pro libovolné tenzory A ∈ ΛrV, B ∈ ΛsV definujeme vnější součin tenzorů A∧B ∈ Λr+s
předpisem
A∧B = Alt(A⊗B) . (6.35)
Tenzory a tenzorová pole 45
Věta 6.36.
Pro A ∈ ΛrV, B ∈ ΛsV platí
A∧B = (−1)rs
B∧A . (6.37)
Poznámka. Uvažujme vektorový prostor V s bází α = {v1,...,vn} a vektorový prostor W
s bází β. Připomínáme, že lineární zobrazení f : V → W můžeme reprezentovat vzhledem
k těmto bázím maticí (ai
j) (kde i je řádkový a j sloupcový index). Hodnotu ai
j můžeme
chápat jako souřadnicové vyjádření (vzhledem k bázím α,β) zobrazení f a získáme ji jako
i-tou souřadnici (v bázi β) obrazu j-tého vektoru báze α, tj. f(vj)
i
.
Definice 6.38.
K lineárnímu zobrazení f : V → W je definujeme duální zobrazení
f∗
: W∗
→ V∗
předpisem
f∗
(u)(v) = u(f(v)) , (6.39)
kde v ∈ V a u ∈ W∗.
Definice 6.40.
Pro lineární zobrazení f : V → W definujeme r-tou tenzorovou mocninu zobrazení
⊗r
f :
r
V →
r
W
pomocí předpisu pro A ∈ r
V
(A: V∗
×···×V∗
→ R) −→ A◦(f∗
×···× f∗
) : W∗
×···×W∗
→ R .
Věta 6.41.
Platí (⊗r f)(SrV) ⊂ SrV a (⊗r f)(ΛrV) ⊂ ΛrV.
Poznámka. Uvědomme si, že ΛnRn je prostor dimenze 1, což lze jednoduše odvodit kombinatorickými
úvahami ohledně báze tohoto prostoru. To zejména znamená, že libovolný
prvek A ∈ ΛnRn je definován svou jedinou souřadnicí A1...n.
Věta 6.42.
Nechť f = ai
j : Rn → Rn je lineární zobrazení, A ∈ ΛnRn. Pak pro obraz B = ⊗n f(A)
při indukovaném zobrazení ⊗r f : ΛnRn → ΛnRn platí
B1...n
= det ai
j A1...n
(6.43)
Tenzory a tenzorová pole 46
Definice 6.44.
Tenzorovou mocninu typu (r,s) vektorového prostoru V nazýváme prostor všech multilineárních
zobrazení
L

V∗
,...,V∗
r-krát
,V,...,V
s-krát
;R


a značíme jej r
s V nebo také r
V ⊗ s
V∗. Prvky tohoto prostoru nazýváme smíšené
tenzory.
Poznámka. Speciální případy předešlé definice jsou r = 0 a s = 0, které odpovídají r
V
a s
V∗. Prvkům těchto prostorů se pak říká čisté tenzory
Analogicky jako v předešlém zadefinujeme tenzorový součin dvou různých vektorových
prostorů pomocí multilineárních zobrazení.
Definice 6.45.
Pro vektorové prostory V,W definujeme jejich tenzorový součin V ⊗W předpisem
V ⊗W = L(V∗
,W∗
;R) . (6.46)
Poznámka. Speciálním případem předešlé definice pro volbu W = V∗ je prostor 1
1V.
Lemma 6.47.
Existuje jediné lineární zobrazení
C:
1
1
V → R
takové, že pro každý prvek tvaru v⊗u, v ∈ V, u ∈ V∗ platí
C(v⊗u) = u(v) . (6.48)
Pomocí zobrazení C z předešlého lemmatu můžeme definovat zobecnění pojmu stopy
matice, tzv. kontrakci tenzoru.
Definice 6.49.
Pro A = (Ai
j) ∈ 1
1V definujeme kontrakci tenzoru typu (1,1) jako číslo
C(A) =
n
∑
i=1
Ai
i . (6.50)
Poznámka. Chápeme-li A jako matici, pak C(A) je její stopa.
Tenzory a tenzorová pole 47
K tomu, abychom kontrakci mohli používat na obecné tenzory typu (r,s) použijeme
následující úvahu. V libovolném A ∈ 1
1V můžeme zafixovat jeden z argumentů tohoto
bilineárního zobrazení a druhý nechat volný, což dá lineární zobrazení, tj.
A(−,v) : V∗ → R _? A(−,v) ∈ V
A: V∗ ×V → R
qQ
M- A(u,−) : V → R _? A(u,−) ∈ V∗
Pomocí libovolného v ∈ V a u ∈ V∗ takto můžeme zúžit definiční obor tenzoru A →
A(−,v) ∈ 1
0V respektive A → A(u,−) ∈ 0
1V a snížit jeho stupeň. Zcela analogicky
můžeme pro tenzor A ∈ r
s V zafixovat všechny argumenty kromě pozic k, l kde 1 ≤ k ≤ r
a 1 ≤ l ≤ s a získat tak tenzor ˜A typu (1,1)
˜A(−,−) = A(u1,...,uk,−,uk+1,...,ur,v1,...,vl,−,vl+1,...,vs) ∈
1
1
V .
Na ˜A pak můžeme použít kontrakci definovanou v 6.49 což vede k následující definici.
Definice 6.51.
Pro A ∈ r
s V definujeme kontrakci Ck
l (A) tenzoru A na k-tý dolní faktor a l-tý horní
faktor předpisem
Ck
l (A) = C ˜A . (6.52)
Poznámka. Kontrakci na k-tý horní a l-tý dolní index lze podle předešlého chápat jako
stopu zobrazení ˜A. V souřadnicích pak pro A = Ai1...ir
j1...jr
vypadá kontrakce následovně
Ck
l (A) =
n
∑
h=1
Ai1...h...ir
j1...h...jr
, (6.53)
kde sčítací index h se vyskytuje na k-té pozici horního a l-tém místě spodního multiindexu.
Operaci kontrakce můžeme v případě dostatečného rozsahu indexů (r, s ≥ 2) iterovat.
Tenzorová pole
Nejprve si zadefinujeme kotečný bandl T∗M, který je pro nás nezbytný k definici obecných
tenzorových polí, která žijí právě v tenzorovém součinu mocnin tečného a kotečného
bandlu. S tečným bandlem TM jsme se setkali již ve čtvrté kapitole tohoto textu. Jako
množina je dán sjednocením tečných vektorových prostorů, tj. TM = x∈M TxM. Strukturu
hladké variety ”dědí”z hladké struktury bázové variety M. Analogicky pro T∗M. Jako
množina je to sjednocení kotečných prostorů
T∗
M =
x∈M
T∗
x M , (6.54)
Tenzory a tenzorová pole 48
vzhledem ke které disponujeme projekcí
π : T∗
M → M ,T∗
x M → x . (6.55)
Pro otevřenou množinu V ⊂ Rn platí T∗V = V × (Rn)∗. Pro lokální mapu ϕ : U → V na
M máme tečné zobrazení Txϕ : TxM → Tϕ(x)V = {ϕ(x) × Rn}, x ∈ U a k němu duální
zobrazení T∗
x ϕ : {ϕ(x) × (Rn)∗
→ T∗
x M. Zobrazení Txϕ je lineární izomorfismus, proto
máme k jeho duálu inverzi (T∗
x )−1
ϕ : T∗
x M → {ϕ(x)×(Rn)∗
. Uvážíme-li nyní sjednocení
přes všechny body x ∈ U, získáme bijekci (T∗
x )−1
ϕ : π−1(U) → V × (Rn)∗
, pomocí níž
můžeme přenést otevřené podmnožiny z V ×(Rn)∗
na π−1(U), které pak tvoří bázi topologie
na T ∗M. Tedy vidíme, jak zavést na T∗M strukturu topoligckého prostoru. Obdobně
zavedeme hladkou strukturu pomocí přechodových zobrazení ϕ12 : V12 → V21 atlasu na M
a to tak, že bod po bodu uvážíme duál tečného zobrazení inverze, tj. T∗
x ϕ12 : V12 ×(Rn)∗
→
V21 × (Rn)∗
. Přechodová zobrazení T∗
x ϕ12 jsou třídy C∞, protože ϕ12 jsou také třídy C∞.
Dohromady jsme na T∗M zavedli strukturu hladké variety.
Definice 6.56.
Varietu T∗M nazýváme kotečný bandl variety M.
Poznámka. Pro libovolné zobrazení f : M → N mezi varietami máme pojem tečného zobrazení
v bodě x ∈ M, které v případě funkce f : M → R vypadá následovně Tx f : TxM →
TxR = R. Pak pomocí duálního zobrazení (Tx f)∗
definujeme přiřazení x → (d f)(x) :=
(Tx f)∗
, tj.
d f : M → T∗
M ,
x → (d f)(x) .
Zobrazení d f nazýváme diferenciálem funkce f. Jeho hodnota v bodě x je tedy duál
k tečnému zobrazení f v bodě x.
Další krok k definici tenzorových polí je bandl daný tenzorovým součinem tenzorových
mocnin TM a T∗M. Podobně jako v případe tečného a kotečného bandlu ukážeme, že na
tento prostor můžeme hladkou strukturu přetáhnout z podkladové variety M.
V předešlé sekci této kapitoly jsme si ukázali, jak pro daný vektorový prostorV sestrojit
jeho libovolnou tenzorovou mocninu. Nechť tedy r, s jsou libovolné a V = TxM, x ∈ M.
Pak máme r
s TxM = r
TxM ⊗ s
T∗
x M a definujeme množinu
r
s
TM =
x∈M
r
s
TxM . (6.57)
Automaticky máme k dispozici projekci p: r
s TM → M, jelikož každý objekt A ∈ r
s TM
je definován nad jistou podmnožinou S ⊂ M, tj. p(A) = S. Dále pro otevřenou množinu
V ⊂ Rn máme
r
s
TV = V ×
r
s
Rn
a pro lokální mapu ϕ : U → V sestrojíme bod po bodu indukovné bijektivní zobrazení
⊗r
(Tϕ) ⊗ ⊗s
(T∗
ϕ)−1
: p−1
→ V ×
r
s
Rn
, (6.58)
Tenzory a tenzorová pole 49
které chápeme jako souřadnice a pomocí něhož můžeme indukovat topologii na r
s TM.
Báze topologie je dána vzorem p−1(U) otevřených podmnožin U ⊂ V × r
s Rn. Na závěr
pomocí hladkého přechodového zobrazení ϕ12 mezi dvěma souřadnými popisy na M indukujeme
hladké přechodové zobrazení ⊗r (Tϕ)12 ⊗ ⊗s (T∗ϕ12)−1
mezi souřadnicemi
6.58. Takto jsme získali strukturu hladké variety.
Definice 6.59.
Varietu r
s TM nazýváme tenzorový bandl typu (r,s) variety M.
Nyní již jednoduše můžeme zavést pojem tenzorového pole jako hladkou sekci tenzorového
bandlu.
Definice 6.60.
Hladké zobrazení A: M → r
s TM splňující p ◦ A = idM, kde p je projekce z obecného
tenzorového bandlu na podkladovou varietu M, p: r
s TM → M, nazýváme tenzorové
pole typu (r,s) na varietě M.
Poznámka. V lokálních souřadnicích xi na M můžeme tenzorové pole A typu (r,s)
vyjádřit pomocí hladkých funkcí Ai1...ir
j1...js
(x). Podíváme-li se na hodnotu tenzorového pole
v libovolném bodě x ∈ M, získáme tenzor. Pole pak v sobě obsahuje informaci, jak se
souřadnice tohoto tenzoru bod od bodu (hladce) mění.
Definice 6.61.
Buď f : M → N hladké zobrazení. Po bodech definujeme zobrazení mezi tenzorovými
bandly
⊗r
T f :=
x∈M
⊗r
Tx f :
r
TM →
r
TN , (6.62)
kde ⊗rTx f : r
TxM → r
Tf(x)N je tenzorová mocnina tečného (lineárního) zobrazení
Tx f ve smyslu definice 6.40.
Chceme-li definovat indukované zobrazení v opačném směru, tj. mezi tenzorovými
mocninami kotečných bandlů, musíme vzít v potaz, že tečná zobrazení nejsou obecně
bijekce. Postupujme tedy následovně. Uvažujme surjektivní hladké zobrazení f : M → N
a dále tenzorové pole A typu (0,s) na N, tj. A: N → s TN. Ze surjektivity f máme pro
každé y ∈ N vzor x ∈ M, f(x) = y a tečné zobrazení v bodě x, Tx f : TxM → TyN. Dále
v bodě y je pole A multilineární zobrazení A(y): TyN ×···×TyN
s-krát
→ R a můžeme jej složit
se zobrazením (Tx f)s
, definovaným standardně jako
(Tx f)s
:=

Tx f ×···×Tx f
s-krát

 : TxM ×···×TxM
s-krát
−→ TyN ×···×TyN
s-krát
.
Tenzory a tenzorová pole 50
Dostáváme tak komutativní diagram
TxM ×···×TxM
A(y)◦(Tx f)s
&&
(Tx f)s
// TyN ×···×TyN
A(y)
xx
R
ve kterém vidíme, jak můžeme bod po bodu z pole A na N přes zobrazení f naindukovat
pole na M. To vede na následující definici.
Definice 6.63.
Buď A ∈ s TN a uvažujme surjektivní hladké zobrazení f : M → N. Pullback pole A typu
(0,s) podél zobrazení f definujeme bod po bodu následovně
f∗
A(x) = A(f(x))◦(Tx f)s
. (6.64)
Nově vzniklé pole stejného typu (0,s) se značí f∗(A) a v bodě x ∈ M definuje tenzor
f∗(A)(x). Speciálně pro tenzorové pole typu (0,0), tj. funkci g: N → R definujeme f∗g =
g◦ f : M → R.
Lemma 6.65.
Buďte g: Q → M a f : M → N hladká zobrazení. Pak pro pullback tenzorového pole
A ∈ s TN platí
(f ◦g)∗
A = g∗
(f∗
A) . (6.66)
Definice 6.67.
Diferenciální k-forma na M nebo také vnější k-forma je antisymetrické tenzorové pole
typu (0,k) na M, tj. tenzorové pole A: M → ΛkT∗M, které je v každém bodě M antisymetrický
tenzor.
Definice 6.68.
Pro diferenciální k-formu A: M → ΛkT∗M a l-formu B: M → ΛlT∗M definujeme jejich
vnější součin A∧B: M → Λk+lT∗M bod po bodu
(A∧B)(x) := A(x)∧B(x) . (6.69)
Poznámka. Speciálně, je-li f vnější 0-forma na M (tj. je to funkce), pak f ∧A = fA. Jinak
řečeno, vnější součin funkce s formou je pronásobení formy funkcí.
Věta 6.70.
Pro hladké zobrazení f : M → N a diferenciální formy A,B na N platí
f∗
(A∧B) = (f∗
A)∧(f∗
B) . (6.71)
Na závěr si označíme prostor všech diferenciálních k-forem na M symbolem ΩkM.
Speciálně pro k = 0 je Ω0M = C∞ (M,R) prostor všech hladkých funkci na M.
Tenzory a tenzorová pole 51
Cvičení
Několik následujících cvičení bude pro mnohé čtenáře opakováním látky z kurzu lineární
algebry, nicméně pojmy z této oblasti a manipulace s nimi jsou pro následující kapitolu
stěžejní, budeme jim proto věnovat jistou pozornost.
Cvičení 6.72.
Dokažte tvrzení 6.6 a určete kanonický izomorfismus mezi vektorovým prostoremV a jeho
druhým duálem V∗∗.
Řešení. Připomeňme pojem duálního prostoru V∗. Je to vektorový prostor sestávající z lineárních
1-forem na V, tj. lineárních zobrazení z V do příslušného tělesa skalárů. V našem
případě (pracujeme nad reálnými čísly) V∗ = L(V;R) = {u: V → R| u je lineární}. Proces
dualizace v případě konečně rozměrných prostorů zachovává dimenzi, což můžeme vidět
například tak, že sestrojíme bázi. Zejména máme k dispozici duální bází, definovanou
vzhledem ke zvolené bázi {e1,...,en} naV vztahem fi(ej) = δi
j (Kroneckerovo delta). Duální
{ f1,..., fn} má stejný počet prvků jako původní báze na V a tedy n = dimV = dimV∗.
Použijeme-li dualizaci znovu, získáme prostor V∗∗ = {α : V∗ → R|α je lineární} mající
opět dimenzi n. Víme tedy, že V ∼= V∗∗ a zbývá popsat kanonický izomorfismus mezi
těmito prostory, který je dán tzv. evaluací. Každý (pevně zvolený) vektor v ∈ V můžeme
chápat jako lineární 1-formu na V∗, totiž pro libovolné u ∈ V∗ máme přiřazení
Evv(u) = u(v) , (6.73)
které posílá u: V → R na příslušnou hodnotu v bodě v. Linearita zobrazení Evv plyne
z linearity 1-formy u, tedy Evv ∈ V∗∗. Vidíme, že každému v ∈ V jsme schopni přiřadit
prvek druhého duálu
Ev: V → V∗∗
, (6.74)
v → Evv (6.75)
a to navíc jednoznačně - injektivita plyne ihned z předpisu 6.73: Evv ≡ 0 ⇒ u(v) = 0 ∀u ∈
V∗ ⇒ v = 0. Ev je tedy izomorfismus, jelikož je to injektivní lineární zobrazení mezi
vektorovými prostory stejné dimenze. Nezávisí na volbě zvolené báze na prostorech V
a V∗∗, proto je kanonický.
Poznámka. Operaci (−)∗ můžeme chápat jako zobrazení z množiny všech vektorových
prostorů do sebe sama, které libovolnému vektorovému prostoru přiřadí jeho duál. Je dokonce
více, tzv. funktor, konkrétně endofunktor kategorie Vect. Kanoničnost izomorfismus
Ev lze pak v řeči teorie kategorií vyádřit podmínkou přirozeného izomorfismu funktoru
druhého duálu, (−)∗∗ : Vect → Vect, s identickým funktorem na Vect.
Cvičení 6.76.
Pomocí tenzorové mocniny reálného vektorového prostoru V vyjádřete
Tenzory a tenzorová pole 52
1. Prostor skalárů R.
2. Prostor vektorů V.
3. Prostor 1-forem V∗.
4. Prostor bilineárních forem na V.
5. Prostor skalárních součinů na V.
Řešení. 1. Prostor skalárů R můžeme popsat jako nultou tenzorovou mocninu. Podle
definice 6.7 máme
0
V = L

V∗
,...,V∗
0-krát
;R

 .
Připomeňme nyní definici multilinearity. Ta říká, že vzhledem ke každému indexu
indexové množiny součinu platí jisté podmínky (jinak řečeno: jisté podmínky platí
v každé složce součinu). Naše indexová množina pro součin je prázdná a žádná
podmínka tedy nebude porušena pro libvolné zobrazení. Můžeme proto říci, že
každé zobrazení z prázdného součinu je lineární. Z teorie množin dále víme, že
součin přes prázdnou množinu odpovídá jednoprvkové množině
V∗
×···×V∗
0-krát
∼= { }
a všechna zobrazení z jednoprvkové množiny do R je samotné R. Dohromady máme
0
V = R .
2. Prostor vektorů V je první tenzorová mocnina. Díky ztotožnění V ∼= V∗∗ z tvrzení
6.6 máme ihned z definice 6.7
1
V = L(V∗
;R) = V∗∗ ∼= V .
3. Prostor 1-forem V∗ můžeme popsat jako první tenzorovou mocninu nad duálním
prostorem V∗. Postupujme argumentem pomocí dimenzí. Z předešlého víme, že
1
V ∼= V, proto 1
V má dimenzi stejnou jako V. Jelikož V je abstraktní vektorový
prostor, můžeme na jeho místo v tenzorovém umocňování dosadit libovolný jiný
vektorový prostor a vlastnost zachování dimenze nebude porušena. Aplikujemeli
tuto úvahu na duál V∗, musí platit dim 1
V∗ = dim(V∗). Jelikož víme, že
konečněrozměrné vektorové prostory jsou až na izomorfismus určeny svou dimenzí,
musí také platit
1
V =
1
V∗ ∼= V∗
Při tomto způsobu řešení pravděpodobně v hlavě čtenáře vyvstala myšlenka postupovat
analogicky jako v předešlé části příkladu přimo z definice 6.7, tj.
1
V∗
= L(V∗∗
;R) ∼= L(V;R) = V∗
.
Tenzory a tenzorová pole 53
Chceme-li však být důslední, měli bychom prozkoumat vztah L(V∗∗;R) ∼= L(V;R),
jehož platnost nemusí být na první pohled zcela zřejmá i přesto, že je velmi očekávatelná.
Ověření by se dalo provést například pomocí univerzální vlastnosti, která je
součástí kategoriální definice tenzorového součinu.
4. Prostor bilineárních forem na V, tj. bilineárních zobrazení z V do R, můžeme snadno
vidět jako druhou tenzorovou mocninu, což plyne bez hlubších úvah přímo z definice
6.7.
Bilin(V;R) = {β : V ×V → R| β je bilinární} ∼= 2
V .
5. Prostor skalárních součinů na V můžeme popsat jako faktorprostor druhé tenzorové
mocniny podle vhodného podprostoru (vhodné relace). Skalární součin
je totiž pozitivně definitní symetrická bilineární forma (mnohé definice nevyžadují
pozitivní definitnost, což bychom nazvali pseudo-skalárním součinem). Nechť
N =< u⊗v−v⊗u|u,v ∈ V∗ >, N ⊂ 2V je lineární podprostor, pak prostor všech
skalárních součinů lze popsat jako ( 2V)/N.
Cvičení 6.77.
Dokažte vztah 6.11.
Řešení. Buď {e1,...,en} báze veV a {d1,...,dn} duální báze veV∗. Vzhledem k těmto bázím
má v ∈V souřadné vyjádření v = ∑n
i=1 viei a u ∈V∗ má vyjádření ∑n
j=1 ujd j. Z linearity
1-forem pak v souřadnicích platí
u(v) =
n
∑
j=1
ujd j
n
∑
i=1
vi
ei =
n
∑
i,j=1
ujvi
d j
(ei) =
n
∑
i,j=1
ujvi
δ
j
i =
n
∑
i=1
uivi
.
což jsme chtěli ukázat.
Cvičení 6.78.
Ukažte, že pro r-tenzor α tvaru α = v1 ⊗···⊗(avi +b˜vi)⊗···⊗vr, kde a, b jsou skaláry,
platí
α = a(v1 ⊗···⊗vi ⊗···⊗vr)+b(v1 ⊗···⊗ ˜vi ⊗···⊗vr) . (6.79)
Řešení. Užitím definice 6.13, jednoduchý výpočet po dosazení libovolného argumentu
(u1,...,ur) dává
α (u1,...,ur) = v1(u1)...(avi +b˜vi)(ui)...vr(ur)
= v1(u1)...(avi(ui)+b˜vi(ui))...vr(ur)
= av1(u1)...vi(ui)...vr(ur)+bv1(u1)... ˜vi(ui)...vr(ur)
= av1 ⊗···⊗vi ⊗···⊗vr (u1,...,ur)+bv1 ⊗···⊗ ˜vi ⊗···⊗vr (u1,...,ur)
Tento výsledek je platný pro libovolný argument (u1,...,ur), proto 6.79 platí.
Tenzory a tenzorová pole 54
Cvičení 6.80.
Určete souřadnicové vyjádření tenzorového součinů vektorů v,w ∈ V, kde dimV = 2. Dále
určete, do jakého prostoru náleží prvek daný součinem A⊗v, kde A je matice 2×2.
Řešení. 1. Nechť {e1,e2} je báze ve V, vzhledem ke které píšeme souřadné vyjádření
v = v1e1 + v2e2, w = w1e1 + w2e2. Součin v ⊗ w je prvkem 2
V. Ten můžeme
popsat bází {e1 ⊗e1,e1 ⊗e2,e2 ⊗e1,e2 ⊗e2}. Pak s ohledem na 6.79 platí
v⊗w = (v1
e1 +v2
e2)⊗(w1
e1 +w2
e2)
= v1
w1
e1 ⊗e1 +v1
w2
e1 ⊗e2 +v2
w1
e2 ⊗e1 +v2
w2
e2 ⊗e2
V souřadnicích můžeme psát v⊗w = v1w1,v1w2,v2w1,v2w2 .
2. Matice 2 × 2 můžeme chápat jako tenzor typu (1,1), tj. A ∈ 1
1V. Ve druhé části
cvičení 6.76 jsme viděli, že prvek vektorového prostoru je zároveň prvkem první
tenzorové mocniny, tj. v ∈ 1
V. Dohromady pak A⊗v ∈ 2
1V.
Cvičení 6.81.
Pomocí báze ε = {e1,...,en} ve V zkonstruujte bázi na r-té tenzorové mocnině r
V
a určete dimenzi tohoto prostoru. Dále uvažte prvek ve tvaru A = v1 ⊗···⊗vr, kde všechna
vi jsou z V a vyjádřete jeho souřadnice. Nalezněte také souřadnicové vyjádření tenzorů
B ∈ r
V a C ∈ sV.
Řešení. V příkladu 6.80 jsme viděli, jak vypadá báze prostoru 2
V. Analogicky můžeme
postupovat v případě prostoru r
V. Báze bude mít tvar α = {ei1 ⊗···⊗eir |eij ∈V, 1 ≤ i1 ≤
n,...,1 ≤ ir ≤ n}. Jak vidíme, sestává z tenzorového součinu r bázových prvků prostoru
V, přičemž na i-té pozici může být jakýkoliv prvek a prvky se mohou v součinu opakovat.
Na r pozicích máme n možností, jak zvolit vektor ei. Dimenze prostoru r
V, tj. počet
prvků báze α, je rn.
Dále vzhledem k ε vyjádřeme vektory zadávající A. Pro libovolný vektor vi platí vi =
∑n
j=1 v
j
i ej. Dosadíme-li toto vyjádření do součinu, získáme
n
∑
j=1
v
j
1ej ⊗···⊗
n
∑
j=1
vj
rej = ∑
1≤i1≤n,...,1≤ir≤n
vi1
1 ...vir
r ei1 ⊗···⊗eir , (6.82)
odkud vidíme, že souřadnice tenzoru A vzhledem k α na pozici i1 ...ir je vi1
1 ...vir
r . Souřadnice
obecného tenzoru B, který může být součtem jednoduchých tenzorů (například
B = (v1 ⊗···⊗vr)+(˜v1 ⊗···⊗ ˜vr) (viz 6.79) můžeme spočítat tak, že sečteme souřadnice
jednoduchých tenzorů. B tedy má na pozici i1 ...ir souřadnici Bi1...ir = vi1
1 ...vir
r + ˜vi1
1 ... ˜vir
r
Píšeme stručně, stejně jako v případě vektorů či matic, souřadnicové vyjádření tenzorů do
závorek B = (Bi1...ir ), tj.
B = ∑
1≤i1≤n,...,1≤ir≤n
Bi1...ir
ei1 ⊗···⊗eir . (6.83)
Tenzory a tenzorová pole 55
Obdobně postupujeme pro C ∈ sV, přitom bázi ˜α na sV konstruujeme z duální báze
{d1,...,dn}, ˜α = {di1 ⊗···⊗dis| dij ∈ V∗, 1 ≤ i1 ≤ n,...,1 ≤ ir ≤ n}. Vzhledem k této
bázi pak píšeme C = (Ci1...is), tj.
C = ∑
1≤i1≤n,...,1≤ir≤n
Ci1...isdi1 ⊗···⊗dis
. (6.84)
Cvičení 6.85.
Pro libovolné A ∈ r
V a B ∈ s
V určete souřadnice r +s tensoru A⊗B.
Řešení. Vyjádříme-li A vzhledem k bází α = {ei1 ⊗···⊗eir | 1 ≤ i1 ≤ n,...,1 ≤ ir ≤ n},
A = (Ai1...ir ), a B vzhledem k bázi β = {ej1 ⊗···⊗ejs|frm[o]−− ≤ i1 ≤ n,...,1 ≤ ir ≤ n},
B = (Bj1...js) pak souřadnice součinu jsou A⊗B = (Ai1...ir Bj1...js), což plyne přímo z 6.79
(jako speciální případ: vytknutí skaláru z tenzorového součinu).
Cvičení 6.86.
Pro tenzor A ∈ r
V určete hodnotu výrazu A(u1,...,ur), tj. vyčíslete A v libovolném
argumentu (u1,...,ur), kde (nutně z definice A) ui ∈ V∗ pro všechna i.
Řešení. Již víme, že na r
V můžeme jako bázi volit α = {ei1 ⊗···⊗eir | 1 ≤ i1 ≤ n,...,1 ≤
ir ≤ n} a vzhledem k ní psát A = ∑1≤i1≤n,...,1≤ir≤n Ai1...ir ei1 ⊗···⊗eir . Na každý sčítanec
této sumy můžeme použít definující rovnost 6.13 a získat tak
A(u1,...,ur) = ∑
1≤i1≤n,...,1≤ir≤n
Ai1...ir
ei1 ⊗···⊗eir (u1,...,ur)
= ∑
1≤i1≤n,...,1≤ir≤n
Ai1...ir
ei1 ⊗···⊗eir (u1,...,ur)
= ∑
1≤i1≤n,...,1≤ir≤n
Ai1...ir
ei1(u1)...eir (ur)
= ∑
1≤i1≤n,...,1≤ir≤n
Ai1...ir
ui1
1 ...uir
r
kde u
ij
k je souřanice vektoru uk na pozici ij.
Cvičení 6.87.
V souřadnicích vyjádřete libovolný antisymetrický tenzor B ∈ ΛrV. Dokažte, že platí
Bi1...ir
= sgn(σ)Biσ(1)...iσ(r) , (6.88)
kde σ je libovolná permutace r-prvkové množiny.
Tenzory a tenzorová pole 56
Řešení. V příkladu 6.81 jsme viděli, jak na r-té vnější mocniněV vypadá jedna možná báze,
konkrétně α = {ei1 ∧···∧eir |1 ≤ i1 < ··· < ir ≤ n}. Libovolný tenzor B ∈ ΛrV má vzhledem
k α souřadné vyjádření B = ∑1≤i1<···<ir≤n Bi1...ir ei1 ∧ ··· ∧ eir . Uvažujme novou množinu
generátorů β = {eσ(i1) ∧···∧eσ(ir)|1 ≤ i1 < ··· < ir ≤ n}, pro pevně zvolenou permutaci
σ ∈ Pr. Tato množina je opět bází v ΛrV a podle věty 6.32 se prvek eσ(i1) ∧···∧eσ(ir) liší
od ei1 ∧···∧eir pouze znaménkem, přitom rozsah indexů je stejný. Tenzor B pak vzhledem
k této bázi lze napsat jako B = ∑1≤i1<···<ir≤n Bσ(i1)...σ(ir)eσ(i1) ∧···∧eσ(ir). Jelikož je každý
tenzor geometrickým objektem, nezáleží na námi zvoleném způsobu popisu, a platí proto
rovnost
∑
1≤i1<···<ir≤n
Bi1...ir
ei1 ∧···∧eir = B = ∑
1≤i1<···<ir≤n
Bσ(i1)...σ(ir)
eσ(i1) ∧···∧eσ(ir) .
Pravou stranu rovnice můžeme upravit podle věty 6.32
∑
1≤i1<···<ir≤n
Bi1...ir
ei1 ∧···∧eir = B = ∑
1≤i1<···<ir≤n
Bσ(i1)...σ(ir)
sgn(σ)ei1 ∧···∧eir .
Porovnáním koeficientů pak získáváme požadovaný výsledek Bi1...ir = sgn(σ)Bσ(i1)...σ(ir)
Cvičení 6.89.
Určete pullback následujících forem na R3: ω = xyzdy, θ = ω ∧ (exdx+eydy) a µ =
dx∧dy∧dz podél zobrazení f : R2 → R3, (u,v) → (u2,2uv,euv).
Řešení. Na R3 uvažujeme souřadnice x,y,z a odpovídající souřadnice dx,dy,dz na kotečném
bandlu T∗R3, vzhledem ke kterým máme vyjádřeny formy ω,θ,µ. Poznamenejme,
že narozdíl od obecného případu variet jsou tyto souřadnice definované globálně a vyjádření
forem je tedy platné na celé varietě R3. K výpočtů užijeme vztah 6.70. Dále budeme
potřebovat vztah f∗ (dα) = d(f∗α), platný pro libovolnou formu α, jež je je uveden jako
tvrzení v následující kapitole. Na závěr si uvědomíme, že f∗ je lineární, což plyne přímo
z definice 6.63. Začněme s výpočtem
f∗
ω = f∗
(xyzdy)
= u2
2uveuv
(d(2uv))
= 2u3
veuv
(2vdu+2udv)
= 4u3
v2
euv
du+4u4
veuv
dv .
Dále pro f∗θ máme
f∗
θ = f∗
(ω ∧(ex
dx+ey
dy)) = f∗
ω ∧ f∗
(ex
dx+ey
dy) .
Jelikož f∗ω již známe, provedeme výpočet druhého součinitele zvlášť
f∗
(ex
dx+ey
dy) = eu2
2udu+e2uv
(2vdu+2udv)
= 2 eu2
u+e2uv
v du+2ue2uv
dv .
Tenzory a tenzorová pole 57
Dosadíme do původního výpočtu pro f∗θ spolu s výsledkem pro f∗ω
f∗
θ = 4u3
v2
euv
du+4u4
veuv
dv ∧ 2 eu2
u+e2uv
v du+2ue2uv
dv .
Roznásobíme, přičemž výrazy tvaru dα ∧ dα se nulují a 1-formy spolu antikomutují, tj.
du∧dv = −dv∧du. Dále tedy máme
f∗
θ = 8u4
v2
e3uv
du∧dv+8u4
veuv
eu2
u+e2uv
v
= −8u5
veu(u+v)
du∧dv .
Než se pustíme do posledního výpočtu, zkusíme odhadnout výsledek. Forma µ = dx∧dy∧
dz je 3-forma na R3. Jelikož každá (n + 1)-forma na n-rozměrné varietě je nutně nulová
a pullback zachovává stupeň formy, bude f∗µ 3-forma na R2, tj. měla by být nulová.
Ověřme si tuto úvahu výpočtem.
f∗
µ = f∗
(dx∧dy∧dz)
= d(u2
)∧d(2uv)∧dd(euv
)
= 2udu∧2(vdu+udv)
α
∧euv
(vdu+udv)
α
= 4ueuv
du∧α ∧α
0
= 0 ,
čímž jsme hotovi.
Integrování vnějších forem
Vnější diferenciál
V této části si zadefinujeme důležitou operaci na prostoru diferenciálních k-forem (dále jen
k-forem). Připomínáme, že funkce f : M → R můžeme chápat jako 0-formu, její diferenciál
d f je pak 1-formou. Pojem R-lineárního zobrazení budeme využívat (jako jsme to dělali
implicitně doposud) pro zobrazení, které je lineární vzhledem k reálným číslům.
Věta 7.1.
Existuje jediné R-lineární zobrazení d: ΩkM → Ωk+1M, k = 0,1,...,n, takové, že platí
následující tři podmínky
1. pro každou funkci f ∈ Ω0M je df její diferenciál,
2. d(ω ∧ϕ) = (dω ∧ϕ)+(−1)k (ω ∧dϕ) pro ω ∈ ΩkM, ϕ ∈ ΩlM,
3. pro každou funkci f ∈ Ω0M platí d(d f) = 0.
Definice 7.2.
Zobrazení z věty 7.1 nazýváme vnější diferenciál.
Poznámka. Vnější diferenciál je operace, která každé k-formě přidělí (k+1)-formu. Všimněme
si také, že pro funkci f je f ∧ω = fω, čímž se druhá podmínka z věty 7.1 redukuje na
d(fω) = d f ∧ω + fdω. Nejpodstatnější část této poznámky je fakt (odvoditelný pomocí
technik matematické analýzy), že všechny tři vlastnosti výše uvedené věty platí i pro zúžení
forem na libovolnou otevřenou množinu U ⊂ M. Toho se dá efektivně využít pro důkaz
věty výpočtem v lokálních souřadnicích.
Věta 7.3.
Pro každou k-formu ω platí
d(dω) = 0 . (7.4)
Věta 7.5.
Pro každé hladké zobrazení f : M → N a každou l-formu ω na N platí
d(f∗
ω) = f∗
(dω) . (7.6)
– 58 –
Integrování vnějších forem 59
Definice 7.7.
k-formu ω na M nazveme uzavřenou, jestliže platí dω = 0. Nazveme ji exaktní, jestliže
existuje (k −1)-forma ϕ, pro kterou platí dϕ = ω.
Podle věty 7.3 můžeme ihned vidět, že každá exaktní forma je také uzavřená. O opačné
implikaci hovoří následující věta, uváděná z historických důvodů jako lemma. Je důležitým
výsledkem popisujícím souvislost mezi exaktními a uzavřeným formami.
Věta 7.8.
(Poincarého lemma). Jestliže ω ∈ ΩkRn splňuje dω = 0, pak existuje ϕ ∈ Ωk−1Rn taková,
že ω = dϕ.
Poznámka. Předešlá věta říká: každá uzavřená k-forma na Rn je exaktní. Pro orientaci
uveďme, že Poincarého lemma je často formulováno v obecnějším tvaru zahrnujícím
topologický pojem jednoduché souvislosti.
Věta 7.9.
Nechť je ω uzavřená 1-forma na Rn taková, že pro f,g funkce na Rn platí d f = ω = dg.
Pak g = f +c, c ∈ R.
Tvrzení 7.10.
Nechť ZkM značí prostor všech uzavřených k-forem na M a BkM prostor všech exaktních
k-forem na M. Pak platí
1. ZkM i BkM jsou vektorové prostory,
2. BkM je vektorový podprostor v ZkM.
Definice 7.11.
Vektorový faktorprostor HkM = ZkM/BkM nazýváme k-tý de-Rhamův prostor (nebo také
k-tá de-Rhamova kohomologická grupa) variety M. Pro k = 0 klademe H0M = Z0M.
Prvek HkM značíme [ω].
Poznámka. Reprezentanti třídy [ω] ∈ HkM jsou tvaru ω +dϕ, kde ω je uzavřená k-forma
a ϕ je (k −1)-forma.
Věta 7.12.
Nechť f : M → N je hladké zobrazení, ω ∈ ZkM. Pak předpis
f#
[ω] = [f∗
ω] (7.13)
určuje lineární zobrazení f# : HkN → HkM.
Integrování vnějších forem 60
Věta 7.14.
Nechť f : M → N, g: N → P jsou hladká zobrazení. Pak platí
(g◦ f)#
= f#
◦g#
. (7.15)
Následující věta ukazuje, že de-Rhamovy kohomologie v sobě nesou podstatnou informaci
o varietě a můžou být použity jako nástroj klasifikace.
Věta 7.16.
Je-li f : M → N difeomorfismus, pak f# : HkN → HkM je lineární izomorfismus.
Tím, že jsme v definici 7.11 s geometrickým objektem (varietou M) zasociovali algebraický
objekt (vektorový prostor HkM) jsme získali o varietě novou informaci. Následující
lemma a věta s ní související ukazuje, že algebraickou strukturu nad M můžeme dále obohatit
o jistý typ násobení, indukované z vnějšího součinu.
Lemma 7.17.
Nechť ω ∈ ΩkM a ϕ ∈ ΩlM.
1. Jsou-li ω i ϕ uzavřené, pak také ω ∧ϕ je uzavřená.
2. Je-li ω exaktní a ϕ uzavřená, pak je ω ∧ϕ exaktní.
Věta 7.18.
Nechť ω ∈ HkM,ϕ ∈ HlM. Pravidlo [ω]∧[ϕ] = [ω ∧ϕ] určuje bilineární zobrazení HkM×
HlM → Hk+lM.
Definice 7.19.
Nechť dimM = n a uvažujme HM = H0M⊗···⊗HnM, přímý součet vektorových prostorů.
Dále uvažujme prvky ω,ϕ ∈ HM, které můžeme zapsat ve tvaru formálního součtu ω =
ω1 +···+ωn, ϕ = ϕ1 +···+ϕn, kde ωi,ϕi ∈ HiM pro všechna i. Pak vzhledem k součinu
ω ∧ϕ = (ω1 +···+ωn)∧(ϕ1 +···+ϕn) , (7.20)
který roznásobujeme po jednotlivých sčítancích, hovoříme o de-Rhamově okruhu HM
variety M.
Poznámka. V součinu (ω1 +···+ωn)∧(ϕ1 +···+ϕn) může nastat pro ωi1 ∧ϕj1 a ωi2 ∧ϕj2
rovnost i1 + j1 = i2 + j2. V tomto případě oba prvky sečteme. Uvědomme si, že nastane-li
pro omegai +ϕj nerovnost i+ j > n pak je výsledek součinu nutně roven nule.
Integrování vnějších forem 61
Věta 7.21.
Nechť X,Y jsou vektorová pole na M, ω ∈ Ω1M. Pak platí
dω (X,Y) = Xω(Y)−Yω(X)−ω ([X,Y]) . (7.22)
Poznámka. Rozeberme si jednotlivé členy ve vzorci 7.22. Je-li ω 1-forma, můžeme ji
aplikovat na vektorové pole a získat tak funkci, kterou poté můžeme derivovat ve směru
vektorového pole, což je významem symbolu Xω(Y). Symbol [X,Y] je hodnota Lieovy
závorky na dvou vektorových polích, což je opět vektorové pole a můžeme jej také vyčíslit
na formě, což je ω ([X,Y]). Na závěr si uvědomíme, že dω je 2-forma a jako argumenty
má dvě vektorová pole, to je význam pro dω (X,Y).
Integrování vnějších forem
Integrování vnějších forem úzce souvisí s orientací variety. V případě vektorových prostorů
se orientace definuje tak, že zvolíme bázi a prohlásíme ji za kladnou. Všechny ostatní báze,
které se od původní liší maticí přechodu s kladným determinantem prohlásíme taktéž
za kladné báze. Ostatní báze pak chápeme jako záporné. Pro variety zavedeme definici
analogicky pomocí tečných prostorů.
Definice 7.23.
Orientací variety M rozumíme takový výběr orientací všech jejích tečných prostorů, že
ke každému a ∈ M existuje lokální mapa ϕ : U → V, a ∈ U, taková, že ∂
∂x1 |x,..., ∂
∂xn |x je
kladná báze v TxM pro všechna x ∈ U.
Věta 7.24.
Na souvislé varietě M existují nejvýše dvě orientace.
Poznámka. Narozdíl od situace ve vektorových prostorech nemáme z definice 7.23 ani
z věty 7.24 zaručeno, že globální výběr orientace vždy existuje. To vede k následující
definici orientovatelnosti.
Definice 7.25.
Varietu M nazveme orientovatelná, jestliže existuje její orientace. V opačném případě
hovoříme o neorientovatelné varietě. Orientovatelná varieta s vybranou orientací se nazývá
orientovaná.
Definice 7.26.
Standardním n-rozměrným simplexem (krátce jen n-simplexem) ∆n ⊂ Rn rozumíme
podmnožinu zadanou rovnicí x1 + ···+ xn ≤ 1, xi ≥ 0 ∀i = 1,...,n. Podmnožinu si ⊂ ∆i
splňující rovnici xi = 0 nazýváme i-tá stěna ∆n a podmnožinu zadanou rovnicí x1 +···+
xn = 1 nazýváme 0-tá stěna.
Integrování vnějších forem 62
Abychom simplexy mohli chápat geometricky jako objekty, které neleží nutně v prvním
hyperoktantu (analogie kvadrantu pro n > 3) souřadného systému, zavádíme obecnější
definici.
Definice 7.27.
Podmnožinu Dk ⊂ Rn nazveme k-rozměrný simplex, k ≤ n, jestliže v Rn existuje taková
afinní souřadná soustava y1,...,yn, v níž je Dk určena vztahy yk+1 = 0,...,yn = 0, y1 +
···+yk ≤ 1, yi ≥ 0 ∀i = 1,...,k.
Poznámka. Dk je standarní k-rozměrný simplex v afinním podprostoru zadaném rovnicemi
yk+1 = 0,...,yn = 0, který identifikujeme s Rk pomocí souřadnic y1,...,yk z definice 7.27.
Všimněme si také, že i-tá stěna simplexu ∆n je (n−1)-rozměrný simplex. Zcela analogicky
pro Dk bude i-tá stěna (k − 1)-rozměrným simplexem. Postupujeme-li takto až na případ
1-stěn, získáváme hrany simplexu, 0-stěny jsou vrcholy simplexu. k-rozměrnou stěnou
k-simplexu rozumíme simplex sám.
Definice 7.28.
Hranicí n-simplexu nazýváme sjednocení všech jeho (n−1)-rozměrných stěn a značíme ji
∂∆n. Doplněk hranice nazýváme vnitřek n-simplexu a značíme ji ∆0
n = ∆n \∂∆n. Orientací
simplexu rozumíme orientaci prostoru Rn, ve kterém je simplex vnořený. Orientaci (n−
1)-stěny orientovaného n-simplexu definujeme pomocí principu vnější normály ((n−1)stěna
sdílí orientaci afinního podprostoru, ve kterém leží; orientace tohoto podprostoru je
taková, že doplníme-li bázi jeho zaměření o normálu vnější vzhledem k simplexu, získáme
bázi okolního Rn, jejíž orientace je shodná s původní orientací Rn).
Nyní zobecníme definici simplexu na hladkou varietu, abychom pomocí těchto objektů
poté mohli zavést pojem integrálu diferenciální formy.
Definice 7.29.
Nechť M je n-rozměrná varieta. Podmnožinu σk ⊂ M nazveme křivočarý k-simplex (zkráceně
jen k-simplex, bude-li z kontextu jasné, o čem je řeč), jestliže existuje takové její
okolí U a taková lokální mapa ϕ : U → V, že ϕ (σk) je standardní k-simplex v podprostoru
zadaném rovnicemi xk+1 = 0,...,xn = 0.
Poznámka. Pro standardní simplex máme pojmy stěn, hranice, vnitřku a orientace. Ty
můžeme pomocí lokální mapy, kterou křivočarý simplex ztotožňujeme se standardním
(viz. předchozí definice), přenést na varietu a získat tak stěny si, hranice ∂σk, vnitřek σ0
k
i orientaci pro křivočarý simplex. Orientace n-rozměrné variety určuje orientaci každého
n-simplexu σn. Dále si všimněme, že σ0
k je k-rozměrnou podvarietou v M.
K definici integrálu použijeme následující přípravnou úvahu. Nechť ω je n-forma na
n-rozměrné varietě M, σn ⊂ M orientovaý n-simplex. Nechť ϕ : U → V je lokální mapa,
která převádí σn na ∆n se zachováním orientace. Pak pullback zúžení formy ω při mapě ϕ
je n-forma ωϕ := ϕ−1 ∗
(ω|U) na V ⊂ Rn. Jelikož ωϕ ∈ ΛnT∗
x Rn a dim(ΛnT∗
x Rn) = 1 je
tato forma tvaru ωϕ = aϕdx1 ∧···∧dxn, kde aϕ = aϕ x1,...,xn je funkce na V.
Integrování vnějších forem 63
Definice 7.30.
Integrál n-formy ω na orientovaném n-simplexu σn ⊂ M definujeme předpisem
σn
ω = ···
∆n
aϕdx1
...dxn
, (7.31)
kde pravá strana rovnice je klasický vícenásobný integrál v Rn.
Věta 7.32.
Definice 7.30 nezávisí na volbě lokální mapy ϕ.
K důkazu předešlé věty připomeneme lemma popisující způsob transformace vícenásobných
integrálů.
Lemma 7.33.
Nechť W, ¯W jsou dvě okolí ∆n a f : W → ¯W, yi = fi(x) je difeomorfismus takový, že
f (∆n) = ∆n. Pak pro každou hladkou funkci b(y) = b(y1,...,yn) na ¯W platí
···
∆n
b(y)dy1
...dyn
= ···
∆n
b(f(x)) det
∂ fi
∂xj
dx1
...dxn
. (7.34)
Tvrzení 7.35.
Nechť ω,ϕ ∈ ΩnM, c,d ∈ R. Dále nechť σn je křivočarý orientovaný simplex na M a označme
−σn simplex s opačnou orientací. Pak platí
σn
(cω +dϕ) = c
σn
ω +d
σn
ϕ (7.36)
−σn
ω = −
σn
ω . (7.37)
Obdobně jako v případě integrování n-forem na varietě dimenze n budeme pro definici
integrování k-forem, k ≤ n potřebovat přípravnou úvahu. Nechť M je n-dimenzionální
varieta, σk ⊂ M je orientovaný k-simplex a ϕ : U → V,σk ⊂ U lokální mapa z definice
7.29, která ztotožňuje σk se standardním ∆k. Pak ϕ−1 V ∩Rk , kde Rk ⊂ Rn je podprostor
o rovnicíh xk+1 = 0,...,xn = 0, je k-rozměrná podvarieta v M a σk je orientovaný k-simplex
na ní. Označme ji N. K následující definici potřebujeme pullback formy ω podél vložení
podvariety iN : N −→ M, tj. k-formu i∗
Nω na N.
Definice 7.38.
Integrál k-formy ω na orientovaném k-simplexu σk ⊂ N ⊂ M definujeme předpisem
σk
ω =
σk
i∗
Nω . (7.39)
Integrování vnějších forem 64
Tvrzení 7.40.
Definice 7.38 nezávisí na podvarietě N.
Tvrzení 7.41.
Nechť ω,ϕ ∈ ΩkM, σk ⊂ M je orientovaný k-simplex, −σk k němu opačně orientovaný
simplex, kde k ≤ n = dim(M) a c,d reálné konstanty. Pak platí
σk
(cω +dϕ) = c
σk
ω +d
σk
ϕ (7.42)
−σk
ω = −
σk
ω . (7.43)
Definice 7.44.
k-rozměrným polyedrem P na varietě M rozumíme konečnou množinu {σ1
k ,...,σm
k }
k-simplexů na M takových, že průnikem libovolných dvou z nich je buď společná stěna
dimense menší než k nebo prázdná množina. Řekneme, že P je orientovaný, jsou-li všechny
k-simplexy , které jej tvoří, orientované. Značíme pak P = σ1
k +···+σm
k .
Poznámka. Hranice ∂σk orientovaného k-simplexu je součet jeho orientovaných (k −1)stěn
si, tj. ∂σk = s0 + s1 + ··· + sn. Analogicky hranici polyedru píšeme ve tvaru ∂P =
∂σ1
k +···+∂σm
k .
Definice 7.45.
Integrál k-formy ω přes orientovaný k-polyedr P definujeme předpisem
P
ω =
σ1
k
ω +···+
σm
k
ω . (7.46)
Věta 7.47.
(Obecná Stokesova věta). Nechť P je orientovaný k-rozměrný polyedr na varietě M, ∂P
je jeho hranice orientovaná podle principu vnější normály a ω je (k −1)-forma na M. Pak
platí
∂P
ω =
P
dω . (7.48)
Cvičení 7.49.
Nechť ω je k-forma na varietě M dimenze n. Spočtěte souřadné vyjádření vnější derivace
dω.
Integrování vnějších forem 65
Řešení. Uvažujme vyjádření ω v lokálních souřadnicích (xi), tj.
ω = ∑
1≤i1<···<ik≤n
ωi1...ik
dxi1 ∧···∧dxik .
Rozebereme situaci zvlášť pro k = 0, 0 < k < n a k = n. První případ k = 0 znamená, že
uvažovaná forma je hladká funkce na M, tj. ω = ω x1,...,xn . První podmínka z věty 7.1
říká, že vnější derivace je diferenciál, proto
dω =
n
∑
i=1
∂ω
∂xi
dxi
.
Případ 0 < k < n vyřešíme užitím všech tří podmínek z věty 7.1 i faktu, že vnější diferenciál
je lineární. Díky linearitě máme
dω = d ∑ωi1...ik
dxi1 ∧···∧dxik = ∑d ωi1...ik
dxi1 ∧···∧dxik
a sitauci vyřešíme vzhledem ke každému sčítanci zvlášť. Přepíšeme-li násobení hladkou
funkcí jako vnější součin s 0-formou, tj. ωi1...ik
dxi1 ∧ ··· ∧ dxik = ωi1...ik
∧ dxi1 ∧ ··· ∧ dxik
můžeme použít podmínku 2 z věty 7.1
d ωi1...ik
dxi1 ∧···∧dxik = d(ωi1...ik
)∧dxi1 ∧···∧dxik
+(−1)0
(ωi1...ik
)∧d dxi1 ∧···∧dxik .
Přitom ωi1...ik
je hladká funkce, tj.
dωi1...ik
=
n
∑
i=1
∂ωi1...ik
∂xi
dxi
a člen d dxi1 ∧···∧dxik můžeme rozderivovat na
d dxi1 ∧···∧dxik = ∑ d(dxi1)∧···∧dxik +···+(−1)k−1
dxi1 ∧···∧d(dxik ) .
Odtud z podmínky 3 vidíme, že platí
d ωi1...ik
dxi1 ∧···∧dxik =
n
∑
j=1
∂ωi1...ik
∂xj
dxj
∧dxi1 ∧···∧dxik .
Dohromady máme
dω = ∑
1≤i1<···<ik≤n
n
∑
j=1
∂ωi1...ik
∂xj
dxj
∧dxi1 ∧···∧dxik . (7.50)
Případ k = n znamená, že pracujeme s formou ve tvaru ω = ω(x1,...,xn)dx1 ∧···∧dxn,
kde ω(x1,...,xn) je hladká funkce na M. Rozderivováním jako v předešlé části dostáváme
dω = 0.
Integrování vnějších forem 66
Cvičení 7.51.
Uvažujme n-rozměrný euklidovský prostor En, na kterém máme standardní skalární součin
< −,− >. Každé vektorové pole X na En jednoznačně určuje 1-formu ωX pomocí
skalárního součinu dosazením X za první složku
ωX =< X,− > . (7.52)
Pro libovolné vektorové pole Y je ωX(Y) =< X,Y >. Dále X definuje (n − 1)-formu ωX
předpisem
ωX
(Y1,...,Yn−1) = X ∧Y1 ∧···∧Yn−1 , (7.53)
kde Yi, i = 1,...,n−1 jsou vektorová pole na En. Nalezněte souřadné vyjádření ωX i ωX
v dimenzi 3. Pro vektorové pole X = x,x+y,z2 určete ωX a ωX a dále hodnotu ωX na
vektorovém poli Y = z2,sinx,y2 v bodě π
2 ,2,3 . V tomtéž bodě také určete hodnotu ωX
na polích Y a Z = (x,y,z).
Poznámka. Než se pustíme do počítání poznamenejme, že formy ωX i ωX je možné definovat
i na obecnějších prostorech než jsou euklidovské a to na tzv. Riemannovských varietách,
což jsou variety vybaveny skalárním součinem. Budeme se jimi zabývat v pozdějších ka-
pitolách.
Řešení. Uvažujme souřadnice (xi) na En zadávající souřadnice ∂
∂xi na T∗En takové,
abychom v každém bodě x měli ortogonální bázi tečného prostoru TxEn. Disponujeme také
duálními souřadnicemi dxi na T∗En. Počítejme nejprve obecné vyjádření obou forem.
V souřadnicích pišme X =
3
∑
i=1
Xi ∂
∂xi , Y =
3
∑
j=1
Y j ∂
∂xj . Počítejme
ωX(Y) =< X,Y > =<
3
∑
i=1
Xi ∂
∂xi
,
3
∑
j=1
Y j ∂
∂xj
> (7.54)
=
3
∑
i,j=1
Xi
Y j
<
∂
∂xi
,
∂
∂xj
> bilinearita (7.55)
=
3
∑
i,j=1
Xi
Y j
δi
j ortogonalita (7.56)
=
3
∑
i=1
Xi
Yi
(7.57)
přitom
ωX =< X,− >=
3
∑
i=1
Xi
<
∂
∂xi
,− > .
Porovnáním s výsledkem 7.57 vidíme, že < ∂
∂xi ,− > musí být 1-forma, jejíž hodnota na Y
je i-tá souřadnice Yi. To odpovídá prvku duální báze dxi, tudíž
ωX =
3
∑
i=1
Xi
dxi
. (7.58)
Integrování vnějších forem 67
Nechť dále Z =
3
∑
k=1
Zk ∂
∂xk . Pak ωX (Y,Z) je funkce, která má v bodě x hodnotu odpovídající
orientovanému objemu rovnoběžnostěnu tvořeného vektory X(x),Y(x),Z(x). Můžeme
proto psát
ωX
(Y,Z) = det


X1 Y1 Z1
X2 Y2 Z2
X3 Y3 Z3

 .
Laplaceovým rozvojem podle prvního sloupce získáme
ωX
(Y,Z) = X1
Y2
Z3
−Y3
Z2
−X2
Y1
Z3
−Y3
Z1
+X3
Y1
Z2
−Y2
Z1
. (7.59)
Obecná 2-forma v dimenzi 3 je tvaru
f1dx1
∧dx2
+ f2dx2
∧dx3
+ f3dx3
∧dx1
.
Dosadíme-li do ní pole Y a Z, získáme přímo z definice vnějšího součinu výraz
f1 Y1
Z2
−Y2
Z1
+ f2 Y2
Z3
−Y3
Z2
+ f3 Y3
Z1
−Y1
Z3
. (7.60)
Porovnáním s výsledkem 7.59 ihned vidíme, že f1 = X3, f2 = X1, f3 = X2, proto lze ωX
psát ve tvaru
ωX
= X3
dx1
∧dx2
+X1
dx2
∧dx3
+X2
dx3
∧dx1
. (7.61)
Před dosazením konkrétních hodnot přejděme ke klasické notaci ve třech dimenzích x1 =
x, x2 = y, x3 = z. Pro pole X = x,x+y,z2 je 1-forma ωX ve tvaru
ωX = xdx+(x+y)dy+z2
dz .
Pro pole Y = z2,sinx,y2 dostáváme
ωX(Y) = ωX(z2
,sinx,y2
) = xz2
+(x+y)sinx+z2
y2
,
což v bodě x = π
2 ,2,3 dává hodnotu ωX(Y)(x) = 5π +38. Konečně 2-forma ωX má tvar
ωX
= z2
dx∧dy+xdy∧dz+(x+y)dz∧dx .
Dosadíme Y a Z = (x,y,z) a upravíme
ωX
(Y,Z) = ωX
(z2
,sinx,y2
),(x,y,z)
= z2
z2
y−xsinx +x zsinx−y3
+(x+y) xy2
−z3
.
Hodnota v bodě x je ωX(Y,Z)(x) = 9 18− pi
2 + pi
2 (−5) + ( pi
2 + 2)(2π −27) = π2 −
33π
2 +108.
Poznámka 1. Formy z příkladu 7.51 mají zajímavou fyzikální interpretaci: ωX lze použít
k výpočtu práce podél křivky a ωX lze užít k výpočtu toku pole přes orientovatelnou
plochu. Konkrétní užití si ukážeme v následujícím příkladě.
Integrování vnějších forem 68
Cvičení 7.62.
Určete tok pole X = x2 +y2,1,z přes množinu M = {(x,y,z) ∈ R3| x2 + y2 = z, z ∈<
0,2)}. Dále určete práci pole X podél křivky γ, jež je části šroubovice, nacházející se v
prvním oktantu standardních souřadnic, s osou otáčení danou souřadnou osou z.
Řešení. Rovnice x2 + y2 = z zadává v R3 rotační paraboloid se symetrií kolem osy z
a vrcholem v bodě (0,0,0). Podmínka z ∈< 0,2) pak říká, že je paraboloid shora omezen.
Jedná se o orientovatelnou plochu, přes kterou můžeme integrovat v souladu s teorií
této kapitoly. S ohledem na tvar pole X a ohraničenost M očekáváme výsledek ve formě
konečného čísla. Podle 1 je tok X přes M roven integrálu z formy ωX ∈ Ω2R3, jejíž obecný
tvar v dimenzi 3 je dán rovnicí 7.61, do které dosadíme X ze zadání. Integrál pro výpočet
toku pak má tvar
M
ωX
=
M
(x2
+y2
)dx∧dy+dy∧dz+zdz∧dx .
Jak pole X, tak plocha M v sobě zahrnují rotační symetrie kružnice, ke zjednodušení
výpočtu si proto zavedeme na M polární souřadnice p: R2 → M ⊂ R3, ve kterých můžeme
paraboloid parametrizovat následovně
x(r,ϕ) = rcosϕ
y(r,ϕ) = rsinϕ
z(r,ϕ) = r2
.
(7.63)
kde (r,ϕ) ∈ N =< 0,
√
2)× < 0,2π >. Původní integrál převádíme podle 7.38 na
M
ωX
=
N
p∗
ωX
,
kde p∗ je pullback podél složeného zobrazení p: R2
r,ϕ
→ R2
x(r,ϕ),y(r,ϕ)
→ R3
x,y,x2+y2
(tj. provedeme
transformaci souřadnic a poté parametrizujeme paraboloid). Ke spočtení p∗ωX
nejprve využijeme linearity p∗ a toho, že pullback 0-formy je dán prekompozicí
p∗
ωX
= p∗
(x2
+y2
)dx∧dy+dy∧dz+zdz∧dx (7.64)
= r2
p∗
(dx∧dy)+ p∗
(dy∧dz)+r2
p∗
(dz∧dx) (7.65)
K dalšímu výpočtu využijeme komutativity pullbacku s vnější derivací z věty 7.5 a kompatibility
s vnějším součinem p∗(dα ∧ dβ) = dp∗α ∧ dp∗β. Díky tomu můžeme nejprve
spočítat diferenciály transformovaných souřadnic 7.63 a pullbacky bázových forem získat
následným vnějším násobením. Pro diferenciály platí
dx = cosϕdr −rsinϕdϕ
dy = sinϕdr +rcosϕdϕ
dz = 2rdr .
Integrování vnějších forem 69
Vnější součiny jsou díky vynulování členů tvaru dα ∧dα ve tvaru
dx∧dy = rcos2
ϕdr ∧dϕ −rsin2
ϕdϕ ∧dr = rdr ∧dϕ
dy∧dz = −2r2
cosϕdr ∧dϕ
dz∧dx = 2r2
sinϕdr ∧dϕ
a dosadíme do 7.65
p∗
ωX
= r3
dr ∧dϕ −2r2
cosϕdr ∧dϕ +2r4
sinϕdr ∧dϕ
= r3
−2r2
cosϕ +2r4
sinϕ dr ∧dϕ .
Nyní již můžeme použít definici integrování 7.30 k určení toku
N
p∗
ωX
=
N
r3
−2r2
cosϕ +2r4
sinϕ dr ∧dϕ
=
√
2
0
2π
0
r3
−2r2
cosϕ +2r4
sinϕ drdϕ
= 2π
√
2
0
r3
dr = 2π .
Tok pole X přes plochu M je 2π (vhodných jednotek). Přejdeme k výpočtu práce X podél
šroubovice γ ⊂ R3. Tuto křivku můžeme parametrizovat následovně
x(ϕ) = acosϕ
y(ϕ) = asinϕ
z(ϕ) = Rϕ ,
(7.66)
kde a,R jsou nezáporné konstanty. Jelikož uvažujeme pouze tu část křivky, která se nachází
v prvním oktantu, bereme úhel ϕ z intervalu (0, π
2 ). Práce pole X lze spočítat integrací
1-formy ωX, jejíž obecný tvar v dimenzi 3 jsme si spočetli v příkladu 7.51. Dosadíme X
do 7.58 a rozderivujeme
ωX = X1
dx+X2
dy+X3
dz
= (x2
+y2
)dx+dy+zdz
= (a−asinϕ +acosϕ +R)dϕ .
Integrál pro výpočet práce je tvaru
γ
ωX =
π
2
0
(a−asinϕ +acosϕ +R)dϕ =
π
2
(a+R)
Tedy práce X podél γ je rovna π
2 (a+R) (vhodných jednotek).
Integrování vnějších forem 70
Cvičení 7.67.
Integrujte formu ω ∈ Ω2R4, ω = dx3 ∧ dx4 + x1x3dx2 ∧ dx4 na množině M ⊂ R4 zadané
rovnicemi (x1)2 +(x2)2 = 1, (x3)2 +(x4)2 = 1.
Řešení. Nejprve zvolíme k integrování vhodnější popis M. Všimneme si, že obě definující
podmínky (x1)2 + (x2)2 = 1, (x3)2 + (x4)2 = 1 jsou rovnicemi kružnice. Jinak řečeno,
projekce M na rovinu x1x2 dá jednotkovou kružnici a pro každý bod této kružnice tvoří
zbylé dvě souřadnice x3,x4 opět jednotkovou kružnici. Jedná se tedy o součin dvou kružnic
S1 × S1, což je dvoudimenzionální plocha, která se nazývá torus. Jelikož jej uvažujeme
vložený v R4 můžeme použít jednoduchou parametrizaci p: R2 → R4 pomocí polárních
souřadnic na každou z kružnic.
x1
(ϕ,θ) = cosϕ x3
(ϕ,θ) = cosθ
x2
(ϕ,θ) = sinϕ x4
(ϕ,θ) = sinθ ,
kde (ϕ,θ) ∈ N =< 0,2π > × < 0,2π >. Odpovídající diferenciály jsou pak
dx1
= −sindϕ dx3
= −sindθ
dx2
= cosdϕ dx4
= cosdθ .
Vnější součiny vypadají následovně
dx3
∧dx4
= −sinθ cosθdθ ∧dθ = 0
dx2
∧dx4
= cosϕ cosθdϕ ∧dθ ,
proto je pullback formy ω podél parametrizace p ve tvaru
p∗
ω = cos2
ϕ cos2
θdϕ ∧dθ .
Užitím definic 7.38 a 7.30 nyní můžeme určit hodnotu
M
ω. Počítejme
N
p∗
ω =
N
cos2
ϕ cos2
θdϕ ∧dθ
=
2π
0
2π
0
cos2
ϕ cos2
θdϕ ∧dθ
=
2π
0
2π
0
1+cos2ϕ
2
1+cos2θ
2
dϕdθ
=
1
4
2π
0
2π
0
dϕdθ = π2
.
Spočítali jsme
M
ω = π2.
Integrování vnějších forem 71
Cvičení 7.68.
Určete
M
ω, kde ω = xzdx ∧ dy + xydy ∧ dz + 2yzdz ∧ dx a M je povrch standardního 3simplexu
v R3.
Řešení. Příklad lze jednoduše řešit aplikací Stokesovy věty 7.47. Jelikož je M povrchem
3-simplexu ∆3, můžeme psát
M
ω =
∆3
dω .
Využijeme výsledků ze cvičení 7.49, kde jsme určili souřadný tvar dω pro obecné ω.
V našem případě tak podle 7.50 a s ohledem na podmínku 2 z věty 7.1 platí
dω = ydx∧dy∧dz+2zdx∧dy∧dz+xdx∧dy∧dz = (x+y+2z)dx∧dy∧dz .
Další výpočet pak z definice 7.30 postupuje klasickým způsobem počítání vícenásobných
integrálů.
∆3
dω =
∆3
(x+y+2yz)dx∧dy∧dz
=
1
0
1−x
0
1−x−y
0
(x+y+2z)dxdydz
=
1
0
1−x
0
[xz+yz+z2
]1−x−y
0 dxdy
=
1
0
1−x
0
x(1−x−y)+y(1−x−y)+(1−x−y)2
=
1
0
1−x
0
(1−x−y)dxdy
=
1
0
(1−x)−x(1−x)−
1
2
(1−x)2
dx
=
1
0
(−
1
2
x2
−x+
1
2
)dx = −
1
6
Dohromady tedy
M
ω = −1
6.
Cvičení 7.69.
Uveďte příklady neorientovatelných variet.
Integrování vnějších forem 72
Řešení. Klasickým příkladem neorientovatelné variety je Möbiova páska, mající parame-
trizaci
x(ϕ,r) = 1+
r
2
cos
ϕ
2
cosϕ
y(ϕ,r) = 1+
r
2
cos
ϕ
2
sinϕ
z(ϕ,r) =
r
2
sinϕ ,
kde ϕ ∈ [0,2π] a r ∈ (−1,1) (r určuje šířku pásku). Topologicky lze zkonstruovat tak,
že čtverci ztotožníme dvě protilehlé strany v opačném směru (provedeme-li slepení ve
stejném směru, získáme válec). Jiná neorientovatelná varieta je kupříkladu Kleinova láhev.
Její parametrizace je poměrně komplikovaná a nebudeme ji zde uvádět, nicméně popíšeme
si alespoň topologicku konstrukci. Ztotožníme-li protilehlé strany čtverce tak, že jednu
dvojici ztotožníme ve stejném směru a druhou ve směru opačném, získáme Kleinovu
láhev. Topologicky stejný objekt získáme, slepíme-li dvě Möbiovy pásky ve stejném směru
podél jejich jediného okraje. Poznamenejme, že narozdíl od Möbiovy pásky nemůže být
Kleinova láhev vnořená do R3, ke vnoření je potřeba dimenze alespoň čtyři.
Podvariety v euklidovských prostorech
Definice 8.1.
Uvažme lokální parametrizaci n−dimenzionální podvariety M v m−dimenzionálním euklidovském
prostoru Em
xp
= f p
u1
,...,un
, p = 1,...,m
První základní forma gij je indukovaná ze skalárního součinu(−,−).
gij(u) =
∂ f(u)
∂ui
,
∂ f(u)
∂uj
= gji(u)
Poznámka. Skalární součin tečných vektorů A,B ∈ TuM je dán jako
(A,B) =
n
∑
i,j=1
gij(u)ai
bj
Poznámka. Délka křivky C na M je dána jako
s =
I
n
∑
i,j=1
gij(u(t))
dui
dt
duj
dt
dt
Definice 8.2.
Difeomorfismus f : M → ¯M se nazývá isometrie, jestliže zachovává skalární součin pro
všechna x ∈ M.
Definice 8.3.
Vnitřní geometrie podvariety M jsou vlastnosti M, které se nemění při isometriích. Tyto
vlastnosti se dají odvodit z první základní formy.
Poznámka. Ostatní vlastnost se nazývají vnější.
Definice 8.4.
Normálový prostor NxM podvariety M ⊂ Em v bodě x je množina všech vektorů kolmých
na jeho tečný prostor TxM.
Poznámka. Pro každý bod x ∈ M máme TxEm = TxM +NxM.
– 73 –
Podvariety v euklidovských prostorech 74
Definice 8.5.
Řekneme, že vektory v(t) ∈ Tp(t)M se paralelně přenáší podél dráhy p(t) na M, jestliže
dv(t)
dt ∈ Np(t) pro každé t ∈ I.
Definice 8.6.
V lokálních souřadnicích jsou Christofellovy symboly dány jako
Γk
ij =
1
2
n
∑
l=1
˜gkl ∂gil
∂xj
+
∂gl j
∂xi
−
∂gij
∂xl
kde ∑n
l=1 ˜gklglm = δk
m.
Věta 8.7.
Christoffelovy symboly Γk
ij patří do vnitřní geometrie plochy.
Věta 8.8.
Podmínka pro paralelní přenos je dána rovnicí
dvi
dt
+
n
∑
j,k=1
Γi
jk (p(t))vj dpk
dt
= 0
Cvičení 8.9.
Najděte všechny izometrie Rn s euklidovskou metrikou.
Řešení. Hledáme transformaci
yi
= fi
(x)
Jakobián takové transformace je
∂yi
∂xj
=
∂ fi
∂xj
Metrika je tensor řádu (0,2) a transformuje se následovně:
g ij =
∂yk
∂xi
∂yl
∂xj
gkl =
∂ fk
∂xi
∂ fl
∂xj
gkl
Jelikož chceme, aby se metrika nezměnila, tak dostaneme
gij =
∂ fk
∂xi
∂ fl
∂xj
gkl
Podvariety v euklidovských prostorech 75
Teď využijeme faktu, že metrika gij je konstantní, a při derivaci obdržíme
0 =
∂2 fk
∂xi∂xm
∂ fl
∂xj
gkl +
∂ fk
∂xi
∂2 fl
∂xj∂xm
gkl
Jelikož jsou i a j volné indexy, můžeme je v prvním členu vyměnit. Také využijeme
symetrie g a vyměníme k s l. Dostaneme
0 =
∂2 fl
∂xj∂xm
∂ fk
∂xi
gkl +
∂ fk
∂xi
∂2 fl
∂xj∂xm
gkl
Nakonec obdržíme
0 =
∂ fk
∂xi
∂2 fl
∂xj∂xm
+
∂2 fl
∂xj∂xm
gkl
a celkově máme
∂2 fl
∂xj∂xm
= 0
Hledáme globální afinní izomorfismy, které nechávají metriku invariantní. Afinní izomorfismy
jsou obecně ve tvaru
yi
= Ai
jxj
+yi
0
Jacobiho matice této transformace je
∂yi
∂xj
= Ai
k
∂xk
∂xj
= Ai
kδk
j = Ai
j
kde δk
j je Kroneckerovo delta. Od teď budeme používat maticovou notaci místo indexové.
V maticové notaci je tato transformace tvaru
g = A gA
V případě izometrií euklidovského prostoru matice transformace musí splňovat
E = A EA
kde E je n−rozměrná jednotková matice. Jaké vlastnosti splňují tyto matice? Nejprve
použijme determinant na tuto maticovou rovnici. Máme
detE = detE detA2
a jelikož detA = detA Pak máme
detA = ±1
a všechny uvažované transformace jsou invertibilní. A co skládání afinních transformací?
To nelze udělat pouze pomocí maticového násobení. Nejběžnější způsob, jak skládat afinní
Podvariety v euklidovských prostorech 76
transformace, je uvažovat tyto transformace jako lineární transformace Rn+1 s xn+1 = 1.
Tj,
˜A =
A y0
0 1
a akce takové transformace je
˜A˜x =
A y0
0 1
x
1
=
Ax+y0
1
Operace je obyčejné maticové násobení. To nám dává asociativitu. Jednotkový prvek je
jednotková matice. Abychom ukázali, že tyto matice tvoří grupu, už stačí ukázat pouze
uzavřenost na skládání. To je však jednoduché
A y0
0 1
B z0
0 1
=
AB Az0 +y0
0 1
Proto můžeme o našich izometriích Rn mluvit jako o grupě, kterou značíme ISO(n). Kolik
parametrů popisuje ISO(n)? Nejprve zjistěme parametry A. K tomu použijeme Taylorův
rozvoj. Předpokládejme, že
A = E+εX+O ε2
Rovnice do druhého řádu v ε je
E = E+ε (X +X)+O ε2
Infinitesimální transformace X je antisymetrická, což nám dává n(n−1)
2 parametrů. To je ve
skutečnosti pouze podgrupa grupy ISO(n) značená jako O(n). Tato podgrupa se skládá ze
všech rotací a zrcadlení euklidovského prostoru. Když přidáme n parametrů z y0, máme
dim ISO(n) =
n(n+1)
2
což je stejné jak dimenze O(n+1). Tohle není náhoda, je to dáno tím, že na euklidovský
prostor Rn mužeme pohlížet jako na limitní případ sféry v euklidovském prostoru o dimenzi
výš. Podíváme-li se na sféru o poloměru R jdoucím k nekonečnu v okolí bodu (0,...,R)
zistíme, že transformace grupy O(n+1) odpovídají do prvního řádu transformacím grupy
ISO(n). Tahle konstrukce je případem obecnejší kostrukce nazývané kontrakce grup.
Cvičení 8.10.
Ukažte, že druhá základní forma I nepatří do vnitřní geometrie podvariety.
Řešení. Pro jednoduchost budeme zkoumat druhou základní formu plochy vložené do R3.
Nejprve předpokládejme, že plocha je parametrizovaná
z = z(x,y)
Podvariety v euklidovských prostorech 77
a že rovina z = 0 je tečná v počátku. Z Taylorova rozvoje máme
z =
∂2z
∂x2
x2
2
+
∂2z
∂x∂y
xy+
∂2z
∂y2
y2
2
+vy ady
Druhá základní forma je kvadratická forma
I =
∂2z
∂x2
dx2
+2
∂2z
∂x∂y
dxdy+
∂2z
∂y2
dy2
Označme L = ∂2z
∂x2 , M = ∂2z
∂x∂y a N = ∂2z
∂y2 .
Obecně, povrch v R3 je parametrizován hladkou vektorovou funkcí r(u,v). Pro přehlednost,
derivace podle r budeme značit dolními indexy. V tomto zápisu můžeme psát
I = bijdui
duj
Jelikož je parametrizace regulární, ru a rv jsou lineárně nezávislé na definičním oboru r.
To nám umožňuje spočítat jednoznačně dané normálové vektorové pole
n =
ru ×rv
|ru ×rv|
Koeficienty bij jsou dány projekcí parciálních derivací na tečnou rovinu. To lze zapsat jako
bij = rk
ijnk
kde nk jsou složky normálového kovektoru. Odtud vidíme, že složky druhé základní formy
závisí, pomocí normálového vektorového pole, na předpisu vložení podvariety do euklidovského
prostoru. Proto není druhá základní plocha částí vnitřní geometrie podvariety.
Cvičení 8.11.
Najděte normálový prostor následujících podvariet pro každé p ∈ M
1. S2 = (x,y,z) ∈ R3 : x2 +y2 +z2 = 1
2. H2 = (x,y,z) ∈ R3 : x2 +y2 −z2 = 1
Řešení. Obě podvariety jsou kodimenze 1, proto jsou jejich normálové prostory jedno
dimenzionální. Využijeme výsledků z minulého příkladu, konkrétně
n =
ru ×rv
|ru ×rv|
1. Nejprve parametrizujeme sféru pomocí sférických souřadnic
x = cosϕ sinθ,
y = sinϕ sinθ,
z = cosθ.
Podvariety v euklidovských prostorech 78
kde ϕ ∈ (0,2π) and θ ∈ (0,π). K spočítání normálového vektorového pole musíme
spočítat derivace parametrizace vhledem k souřadnicím
rϕ =


−sinϕ sinθ
cosϕ sinθ
0

, rθ =


cosϕ cosθ
sinϕ cosθ
−sinθ


Spočítáme jejich vektorový součin
rϕ ×rθ =
i j k
−sinϕ sinθ cosϕ sinθ 0
cosϕ cosθ sinϕ cosθ −sinθ
= −sinθr
Jednotkový normálový vektor proto je
n =
rϕ ×rθ
rϕ ×rθ
=
−sinθr
sinθ |r|
= −ˆr
kde ˆr je jednotkový polohový vektor.
2. V tomto případě je parametrizace
x = cosϕ coshθ,
y = sinϕ coshθ,
z = sinhθ.
kde ϕ ∈ (0,2π) a θ ∈ R. Opět spočítáme derivace parametrizace
rϕ =


−sinϕ coshθ
cosϕ coshθ
0

, rθ =


cosϕ sinhθ
sinϕ sinhθ
coshθ


Vektorový součin je
rϕ ×rθ =
i j k
−sinϕ coshθ cosϕ coshθ 0
cosϕ sinhθ sinϕ sinhθ −coshθ
= coshθ


x
y
−z

 = coshθ ˜r
kde ˜r =


x
y
−z

. V tomto případě je normálový vektor
n =
coshθ ˜r
coshθ |˜r|
= ˆ˜r
Riemannův prostor
Definice 9.1.
Riemannovou metrikou na varietě M rozumíme hladké zobrazení g: M → S2
+T∗M takové,
že p◦g = idM, kde p je projekce v tensorovém bandlu S2
+T∗M, tj. p: S2
+T∗M → M, a S2
+T
značí prostor všech pozitivně definitních kvadratických forem. Dvojice (M,g) se nazývá
Riemannův prostor nebo Riemannova varieta.
Poznámka. V lokálních souřadnicích xi na M má g souřadné vyjádření g = gij (x) ,
gij = gji. Píšeme též
g =
n
∑
i,j=1
gij (x)dxi
dxj
nebo
ds2
=
n
∑
i,j=1
gij (x)dxi
dxj
,
kde ds značí délkový element na M.
Definice 9.2.
Délkou křivky C, s parametrickým vyjádřením f(t), t ∈ [a,b], od bodu f (a) do bodu f (b)
rozumíme číslo
s =
b
a
g
d f
dt
,
d f
dt
dt.
Má-li f souřadný tvar xi = xi (t), pak platí
s =
b
a
n
∑
i,j=1
gij (x(t))
dxi
dt
dxj
dt
dt. (9.3)
Odtud je patrno, že délka křivky nezávisí na její parametrizaci.
Definice 9.4.
Nechť (M,g) a ( ¯M, ¯g) jsou dva Riemmanovy prostory a nechť f : M → ¯M je hladké zobrazení.
Pokud platí g(v,w) = ¯g(Tx f(v),Tx f(w)) pro všechna x ∈ M a v,w ∈ TxM, pak říkáme,
že f je isometrické zobrazení.
Věta 9.5.
– 79 –
9. Riemannův prostor 80
Je-li (M,g) Riemannův prostor a f : N → M je imerse, pak f∗g je Riemmanova metrika
na N. Jestliže f má souřadný tvar xi = fi (yp) a k = dimN, pak
f∗
g =
k
∑
p,q
n
∑
i,j=1
gij (f(y))
∂ fi
∂yp
∂ f j
∂yq
dyp
dyq
.
Věta 9.6.
Na každé varietě M existuje Riemannova metrika.
Věta 9.7.
Pro pozitivně definitní kvadratickou formu je g: V → V∗ lineární izomorfismus.
Definice 9.8.
Nechť je (M,g) Riemannův prostor a f : M → R funkce. Vektorové pole ˜g(d f) := grad f,
kde ˜g je inverzní matice k matici metriky, nazýváme gradient funkce f. Gradient má
souřadnicové vyjádření
(gradf)i
=
n
∑
j=1
˜gij ∂ f
∂xj
.
Definice 9.9.
Nechť je (M,g) orientovaný Riemannův prostor, tj. varieta M je orientovaná. Poté je každý
tečný prostor TxM orientovaný vektorový prostor se skalárním skalárním součinem a pro
každou n-tici vektorů v1,...,vn ∈ TxM máme definovaný vnější součin
[v1,...,vn]x ∈ R.
Tento vnější součin zadává n-formu vol(g) : M → n
T∗M, kterou nazýváme objemová
n-forma orientovaného Riemannova prostoru (M,g).
Věta 9.10.
V souřadné soustavě x1,...,xn souhlasné s orientací (M,g) platí
vol(g) = det gij dx1
∧···∧dxn
.
Věta 9.11.
Číslo Volσn = σn
vol(g) nazýváme objem simplexu σn ⊂ (M,g) a platí
Vol(σn) = ···
∆n
det gij dx1
...dxn
.
9. Riemannův prostor 81
Definice 9.12.
Množinu H2 := (x,y) ∈ R2 y > 0 s metrikou ds2 = dx2+dy2
y2 budeme nazývat horní
polorovinou.
Cvičení 9.13.
Nechť (M,g) je n−rozměrná riemannovská varieta, x ∈ M je bod na varietě, {ei}n
i=1 je
ortonormální báze TxM a fi n
i=1
je báze příslušného duálního prostoru taková, že platí
f j (ei) = δ
j
i . Pro X ∈ TxM a α ∈ T∗
x M definujme tzv. hudební izomorfismy
: TxM → T∗
x M, X = g(X,−),
: T∗
x M → TxM, α = ˜g(α,−).
Ukažte, že platí
g X,α = α (X) = ˜g X α .
Řešení. Nejprve připomeňme, jak se formy vyčíslují na vektorech, tj.
α (X) = αi fi
X j
ej = αiX j
f j
(ei) = αiX j
δ
j
i = αiXi
.
Pro souřadné vyjádření hudebních izomorfismů platí
X
j
= X
i
fi
ej = X ej = g X,ej = Xi
g ei,ej = Xi
gij,
α
j
= α
i
f j
(ei) = f j
α = ˜g α, f j
= αi ˜g fi
, f j
= αi ˜gij
.
Počítejme
g X,α = Xi
gij ˜gjk
αk = Xi
δk
i αk = Xi
αi = α (X),
˜g X ,α = ˜gij
gjkXk
αj = δ
j
k Xk
αj = X j
αj = α (X).
Cvičení 9.14.
Uvažme horní polorovinu H2, avšak místo podmnožinu R2 ji chápejme jako podmnožinu
C s identifikací z = x+iy. Nechť A =
a b
c d
je čtvercová matice splňující ad −bc = 1.
Ukažte, že množina čtvercových matic řádu 2 splňující tuto podmínku tvoří grupu, tzn.
speciální lineární grupu SL(2,R). Dále nechť je dáno zobrazení
ψ : SL(2,R)×H2
→ H2
,
(A,z) → Az =
az+b
cz+d
.
9. Riemannův prostor 82
Ukažte, že toto zobrazení je (levá) akce grupy SL(2,R) na množině H2. Na závěr ukažte,
že SL(2,R) je grupa isometrií H2, tj. že každý prvek SL(2,R) zachovává tvar metriky
ds2
=
(dℜz)2
+(dℑz)2
(ℑz)2
.
Řešení. Operace v grupě SL(2,R) je maticové násobení, které je asociativní. Jednotkový
prvek zřejmě jednotková matice. Podmínka ad − bc = 1 není nic jiného, než detA = 1.
Tudíž inverzní prvek bude inverzní matice, která kvůli podmínce detA = 1 vždy existuje.
Uzavřenost grupy vyplývá z toho, že determinant součinu matic je součin determinantů
matic.
Ukažme, že zobrazení ψ má jako obor hodnot skutečně H2. Počítejme imaginární část
Az,
ℑAz = ℑ
az+b
cz+d
= ℑ
(az+b)(c¯z+d)
(cz+d)(c¯z+d)
= ℑ
(ax+iay+b)(cx+d −icy)
|cz+d|2
=
=
1
|cz+d|2
ℑ (x2
+y2
)ac+(ad +bc)x+i(ad −bc)y+bd =
y
|cz+d|2
> 0.
Akce · grupy G na množině X splňuje
e·x = x, ∀x ∈ X,
(gh)·x = g·(h·x), ∀x ∈ X, g,h ∈ G,
kde e je jednotkový prvek grupy. Pro jednotkovou matici platí E platí Ez = z+0
0+1 = z. Dál
nechť B =
˜a ˜b
˜c ˜d
∈ SL(2,R), poté platí
B(Az) = B
az+b
cz+d
=
˜aaz+b
cz+d + ˜b
˜caz+b
cz+d + ˜d
=
˜aa+ ˜bc z+ ˜ab+ ˜bd
˜ca+ ˜dc z+ ˜cb+ ˜dd
= (BA)z,
tudíž ψ je skutečně akce grupy na množině.
Metriku můžeme pomocí známých vztahů přepsat do tvaru
ds2
=
(dℜz)2
+(dℑz)2
(ℑz)2
=
dzd¯z
(ℑz)2
a označme w = Az. Z předchozího počítání víme, že
ℑw =
ℑz
|cz+d|2
.
Dále snadno dostáváme
dw = d
az+b
cz+d
=
adz(cz+d)−cdz(az+b)
(cz+d)2
=
dz
(cz+d)2
,
d ¯w = d
a¯z+b
c¯z+d
=
ad¯z(c¯z+d)−cd¯z(a¯z+b)
(c¯z+d)2
=
d¯z
(c¯z+d)2
.
9. Riemannův prostor 83
Dohromady máme
dwd ¯w
(ℑw)2
=
dzd¯z
(cz+d)2
(c¯z+d)2
|cz+d|4
(ℑz)2
=
dzd¯z
(ℑz)2
.
Cvičení 9.15.
Spočtěte metriku indukovanou z R3 se standardním skalárním součinem na
1. sféru S2,
2. anuloid T2.
Řešení. 1. Sféra je standardně parametrizovaná pomocí úhlů ϕ ∈ [0,2π) a θ ∈ [0,π],
konkrétně jako
x = cosϕ sinθ,
y = sinϕ sinθ,
z = cosθ.
Příslušné diferenciály jsou
dx = −sinϕ sinθ dϕ +cosϕ cosθ dθ,
dy = cosϕ sinθ dϕ +sinϕ cosθ dθ,
dz = −sinθ dθ.
Po dosazení do výrazu pro délkový element v R3, tj. ds2 = dx2 +dy2 +dz2, získáme délkový
element v indukované metrice
ds2
= sin2
θ dϕ2
+dθ2
.
2. Anuloid je standardně parametrizován pomocí úhlů ϕ ∈ [0,2π) a θ ∈ [0,2π), konkrétně
jako
x = (R+rcosθ)cosϕ,
y = (R+rcosθ)sinϕ,
z = rsinθ,
kde R > 0 je vzdálenost středu trubice od počátku souřadnic a r > 0 je poloměr trubice.
Příslušné diferenciály jsou
dx = −(R+rcosθ)sinϕ dϕ −rsinϕ cosθ dθ,
dy = (R+rcosθ)cosϕ dϕ −rsinθ sinϕ dθ,
dz = rcosθ dθ.
Po dosazení do výrazu pro délkový element v R3 získáme
ds2
= (R+rcosθ)2
dϕ2
+r2
dθ2
.
9. Riemannův prostor 84
Cvičení 9.16.
Spočtěte metriku na sféře S2 ve stereografické projekci.
Řešení. Stereografická projekce na rovinu s kartézskými souřadnicemi (u,v) je dána jako
x =
2u
u2 +v2 +1
, y =
2v
u2 +v2 +1
, z =
u2 +v2 −1
u2 +v2 +1
.
Příslušné diferenciály jsou
dx = 2
u2 +v2 +1 −2u2
(u2 +v2 +1)
2
du−
4uv
(u2 +v2 +1)
2
dv,
dy = −
4uv
(u2 +v2 +1)
2
du+2
u2 +v2 +1 −2v2
(u2 +v2 +1)
2
dv,
dz =
4udu+4vdv
(u2 +v2 +1)
2
.
Po dosazení do výrazu pro délkový element v R3 získáme
ds2
=
4
(u2 +v2 +1)
du2
+dv2
.
Cvičení 9.17.
Spočtěte délku kružnice
(x−a)2
+(y−b)2
= r2
,
kde a,b ∈ R a r > 0 v
1. v R2 s metrikou
ds2
=
4
(x2 +y2 +1)
dx2
+dy2
.
2. v horní polorovině s omezující podmínkou b > r.
Řešení. V obou případech dostaneme podobný integrál, proto ho nejdříve obecně spočítejme.
Pro α,β,γ ∈ R máme
I :=
∞
−∞
dt
αt2 +βt +γ
=
∞
−∞
dt
√
αt + β
2
√
α
2
+δ
,
kde δ = γ − β2
4α . Dále
I =
1
δ
∞
−∞
dt
α
δ t + β
2
√
αδ
2
+1
=
α
δ t + β
2
√
αδ
= s
α
δ dt = ds
=
1
√
αδ
∞
−∞
ds
s2 +1
=
=
π
αγ − β2
4
.
9. Riemannův prostor 85
1. Kružnici si parametrizujeme pomocí úhlu ϕ ∈ [0,2π) jako
x = rcosϕ +a
y = rsinϕ +b.
S využitím vzorce pro délku křivky dostáváme integrál
s =
2π
0
4r2 sin2
ϕ +cos2 ϕ
1+(rcosϕ +a)2
+(rsinϕ +b)2
2
dϕ.
Integrál budeme řešit pomocí universální substituce t = tan ϕ
2 , dostaneme
s = 4r
∞
−∞
1
(1+r2 +a2 +b2)+2r a 1−t2
t2+1
+2b t
t2+1
dt
t2 +1
=
= 4r
∞
−∞
dt
(1+r2 +a2 +b2 −2ra)·t2 +4rb·t +(1+r2 +a2 +b2 +2ra)
,
což je integrál I pro α = 1+r2 +a2 +b2 −2ra, β = 4rb a γ = 1+r2 +a2 +b2 +2ra, tudíž
délka kružnice je
s =
4rπ
(1+r2 +a2 +b2)
2
−4a2r2 −4b2r2
.
2. Použijeme stejnou parametrizaci jako v případě 1. Po dosazení do vzorce pro délku
křivky dostaneme
s = r
2π
0
dϕ
rsinϕ +b
.
Opět použijeme univerzální substituci a vzorec pro výpočet integrálu I ze začátku řešení,
dostáváme
s = 2r
∞
−∞
dt
bt2 +2rt +b
=
2rπ
√
b2 −r2
.
Cvičení 9.18.
Spočtěte objem a povrch anuloidu.
Řešení. Vyjdeme z výsledku Příkladu 9.15. Objemová forma poté je
vol(g) = r(R+rcosθ)dϕ ∧dθ.
Integrací přes ϕ ∈ [0,2π) a θ ∈ [0,2π) obdržíme
S =
2π
0
2π
0
r(R+rcosθ)dϕdθ = 4π2
rR.
9. Riemannův prostor 86
Objem můžeme zjistit dvěma způsoby, buď budeme v Příkladu 9.15 považovat poloměr r za
souřadnici, r ∈ (0,r] a budeme opět indukovat metriku na plný anuloid z R3, nebo vzorec
pro povrch anuloidu zintegrujeme přes r ∈ (0,r]. V obou případech na závěr dostaneme
integrál
V = 4π2
R
r
0
r dr = 2π2
r2
R.
Cvičení 9.19.
Ukažte, že Rn pro n ≥ 2 má v tzv. hypersférických souřadnicích, tj. souřadnice
(r,φ1,...,φn−1) dané jako
x1 = rcosφ1,
x2 = rsinφ1 cosφ2,
...
xn−1 = rsinφ1 ...sinφn−2 cosφn−1,
xn = rsinφ1 ...sinφn−2 sinφn−1,
kde r > 0, φ1,...,φn−2 ∈ [0,π) a φn−1 ∈ [0,2π), metriku tvaru
ds2
n = dr2
+r2
n−1
∑
i=1
i−1
∏
j=1
sin2
φj dφ2
i .
Řešení. Důkaz provedeme indukcí vzhledem k dimenzi. Pro n = 2 máme obvyklé polární
souřadnice s metrikou
ds2
2 = dr2
+r2
dφ2
1 .
Předpokládejme, že metrika v hypersférických souřadnicích (r,φ1,...,φn−2) na Rn−1 má
tvar
dsn
n−1 = dr2
+r2
n−2
∑
i=1
i−1
∏
j=1
sin2
φj dφ2
i ,
a uvažme na Rn souřadnice (˜x1,..., ˜xn), které jsou dány jako
˜x1 = x1,
...
˜xn−2 = xn−2,
˜xn−1 = xn−1 cosφn−1,
˜xn = xn−1 sinφn−1,
kde (x1,...,xn−1) jsou kartézské souřadnice na Rn−1 a φn−1 je přidaná hypersférická
souřadnice. Délkový element v Rn je
ds2
n = d˜x2
1 +···+ ˜x2
n.
9. Riemannův prostor 87
Dosaďme do něj příslušné diferenciály a počítejme
ds2
n = dx2
1 +···+dx2
n−2 +dx2
n−1 cos2
φn−1 +x2
n−1 sin2
φn−1 dφ2
n−1−
−2xn−1 cosφn−1 sinφn−1 dxn−1 dφn−1 +sin2
φn−1 dx2
n−1 +x2
n−1 cos2
φn−1 dφ2
n−1+
+2xn−1 cosφn−1 sinφn−1 dxn−1 dφn−1 =
= ds2
n−1 +x2
n−1 dφ2
n−1 = dr2
+r2
n−2
∑
i=1
i−1
∏
j=1
sin2
φj dφ2
i +r2
n−2
∏
j=1
sin2
φj dφ2
n−1 =
= dr2
+r2
n−1
∑
i=1
i−1
∏
j=1
sin2
φj dφ2
i .
Cvičení 9.20.
Uvažte Riemannův prostor R3,g , kde g je metrika z Příkladu 9.19. Ukažte, jak vypadá
gradient funkce f v tomto prostoru.
Řešení. Označme φ0 := r. Jelikož je metrika diagonální, inverzní metriku získáme snadno,
˜g00
= 1, ˜g11
=
1
r2
, ˜g22
=
1
r2 sin2
φ1
.
Souřadnice gradientu potom jsou
(grad f)0
=
∂ f
∂r
, (gradf)1
=
1
r2
∂ f
∂φ1
, (grad f)2
=
1
r2 sin2
φ1
∂ f
∂φ2
.
Cvičení 9.21.
Spočtěte „povrch“ a „objem“ n rozměrné koule o poloměru R.
Řešení. Nejprve budeme počítat „povrch“ n rozměrné koule o poloměru R, tj. budeme
počítat objem n − 1 rozměrné sféry o poloměru R. Využijeme výsledku Příkladu 9.19.
Metrika indukovaná na sféru z Rn je
ds2
Sn−1 = R2
n−1
∑
i=1
i−1
∏
j=1
sin2
φj dφ2
i .
Objem je poté dán jako integrál přes celý prostor parametrů z objemové formy, tj.
z odmocniny determinantu metriky,
Rn−1
2π
0
π
0
···
π
0
sinn−2
φ1 sinn−3
φ2 ...sinφn−2 dφ1 dφ2 ... dφn−1 =: SR(n−1).
9. Riemannův prostor 88
Tento n−1 rozměrný integrál nebudeme přímo integrovat, ale využijeme znalosti integrálu
z Gaussovy funkce. Víme, že platí
I :=
Rn
e−∑n
i=1 x2
i dx1 ... dxn = πn/2
.
Pokud tento integrál místo v kartézských souřadnicích provedeme v hypersférických souřadnicích,
obdržíme
I =
∞
0
2π
0
π
0
···
π
0
e−r2
rn−1
sinn−2
φ1 sinn−3
φ2 ...sinφn−2 dφ1 dφ2 ... dφn−1 dr =
= S1(n−1)
∞
0
e−r2
rn−1
dr.
Dále integrál přes r upravíme na
∞
0
e−r2
rn−1
dr =
r2 = t
2rdr = dt
=
1
2
∞
0
e−t
t
n
2 −1
dt =
1
2
Γ
n
2
,
kde Γ(n) je gama funkce. Kombinací obou výsledků integrálu I dostáváme, že objem
jednotkové n−1 rozměrné sféry je
S1 (n−1) =
2πn/2
Γ n
2
.
Zřejmě Sn−1 o poloměru R bude mít objem
SR (n−1) =
2πn/2
Γ n
2
Rn−1
.
Objem n rozměrné koule zjistíme již snadno, stačí si všimnout, že v metrika pro n rozměrnou
kouli přibude pouze závislost na r. Proto zintegrujeme SR (n−1) přes poloměr,
tj.
VR(n) =
R
0
Sr(n−1)dr =
2πn/2
nΓ n
2
Rn
=
πn/2
Γ n
2 +1
Rn
.
Cvičení 9.22.
Uvažte sféru S2 s metrikou indukovanou z R3. Najděte křivky, které svírají se všemi
poledníky, tj. křivkami tvaru
p : ϕ = ϕ0, ϕ0 = const ∈ [0,2π),
θ = t, t ∈ (0,π),
stejný úhel.
9. Riemannův prostor 89
Řešení. Označme hledanou křivku jako l(t) = (ϕ(t),θ(t)). Tečný vektor k poledníkům
má tvar ˙p = (0,1). Nechť β = const ∈ (0,π) je úhel, který svírají křivky l(t) a p(t). Poté
platí
cosβ =
g ˙p, ˙l
g( ˙p, ˙p)·g(˙l, ˙l)
,
kde g je metrika. Dosadíme do toho vzorce tečné vektory ke křivkách, dostaneme
cosβ =
˙θ
˙θ2 +sin2
θ ˙ϕ2
. (9.23)
Z jmenovatele dostáváme podmínku
˙θ2
+sin2
θ ˙ϕ2
= 0. (9.24)
Rovnici (9.23) upravíme na
˙θ2
+sin2
θ ˙ϕ2
=
˙θ2
cos2 β
, (9.25)
za předpokladu β = π
2 . Pro β = π
2 dostaneme z (9.23) θ = const a z podmínky (9.24) zjistíme,
že ϕ = At +B, kde A,B ∈ R. Tyto křivky jsou rovnoběžky na sféře, které samozřejmě
vždy svírají s poledníky pravý úhel. Pokračujme v úpravách rovnice (9.25)
˙θ2
+sin2
θ ˙ϕ2
=
˙θ2 sin2
β +cos2 β
cos2 β
,
sin2
θ ˙ϕ2
= ˙θ2
tan2
β,
˙ϕ2
˙θ2
=
tan2 β
sin2
θ
.
Můžeme vyloučit parametr t a odmocnit, dostaneme diferenciální rovnici tvaru
dϕ
dθ
= ±
tanβ
sinθ
,
která má řešení
±cotanβ (ϕ +α) = ln tan
θ
2
,
kde α ∈ R je integrační konstanta. Křivkám, které svírají stále stejný úhel s poledníky, se
říká loxodromy a měly velký význam pro námořní navigaci ve středověku.
Paralelní přenos vektorových polí
Definice 10.1.
Nechť (M,g) je n-dimenzionální Riemannovská varieta a xi, i = 1,...,n jsou lokální souřadnice
na ní. Veličiny
Γk
ij =
1
2
n
∑
l=1
˜gkl ∂gil
∂xj
+
∂gl j
∂xi
−
∂gij
∂xl
,
kde ˜g je matice inverzní k matici metriky g, budeme nazývat Christoffelovy symboly
Riemannovy metriky g.
Definice 10.2.
Řekneme, že vektorové pole v(t) = vi(t) podél dráhy p(t) = pi(t) se paralelně přenáší,
jestliže platí
dvi
dt
+
n
∑
j,k=1
Γi
jk (p(t))vj dpk
dt
= 0.
Definice 10.3.
Pro soustavu v(t) tečných vektorů podél dráhy p(t) na Riemannově varietě (M,g) definujeme
její kovariantní derivaci ∇v(t)
dt = ∇vi(t)
dt souřadnicovým předpisem
∇vi
dt
=
dvi
dt
+
n
∑
j,k=1
Γi
jk (p(t))vj dpk
dt
.
Definice 10.4.
Kovariantní derivací vektorového pole Y vzhledem k vektorovému poli X na Riemannově
varietě (M,g) rozumíme vektorové pole ∇XY se souřadným vyjádřením
(∇XY)i
=
n
∑
j,k=1
∂Y j(x)
∂xj
+Γi
k j(x)Yk
(x) X j
(x),
kde x ∈ M.
Věta 10.5.
Pro libovolné vektorová pole X,Y na M a funkci f : M → R platí
– 90 –
10. Paralelní přenos vektorových polí 91
1. ∇X (Y1 +Y2) = ∇XY1 +∇XY2,
2. ∇X (fY) = (X f)Y + f∇XY,
3. ∇X1+X2Y = ∇X1Y +∇X2Y,
4. ∇fXY = f∇XY.
Definice 10.6.
Zobrazení ∇: X M × X M → X M, (X,Y) → ∇XY, které splňuje 1. - 4. z Věty 10.5,
nazýváme lineární konexe na varietě M,
Definice 10.7.
Lineární konexi z Definice 10.4 nazýváme Levi-Civitova konexe Riemannovy metriky g
na varietě M.
Definice 10.8.
Tensorové pole ∇Y typu (1,1) nazýváme kovariantní diferenciál vektorového pole Y.
Souřadnicové vyjádření je
(∇Y)i
j =
∂Yi
∂xj
+
n
∑
k=1
Γi
k jYk
.
Definice 10.9.
Nechť (M,g) je Riemannova varieta a f : M → R funkce. Zobrazení f → ∆ f zadané
v souřadnicích jako
∆ f =
n
∑
i=1
(∇grad f)i
i
nazveme Laplaceův operátor .
Definice 10.10.
Dráhu γ : I → M, kde I ⊆ R, nazýváme geodetická dráha lineární konexe ∇, jestliže se její
tečný vektor dγ
dt paralelně přenášení podél γ, tj. platí
∇˙γ(t) ˙γ(t) = 0.
Věta 10.11.
Geodetická dráha γ(t) = (xi(t)) je určena soustavou diferenciálních rovnic 2. řádu
d2xi
dt2
+
n
∑
j,k=1
Γi
jk(x)
dxj
dt
dxk
dt
= 0, i = 1,...,n.
10. Paralelní přenos vektorových polí 92
Věta 10.12.
Je-li γ(t) geodetická dráha na M, pak dráha γ(at +b) je rovněž geodetická dráha pro každé
a,b ∈ R.
Definice 10.13.
Křivku C ⊂ M nazýváme geodetická křivka lineární konexe ∇ (nebo geodetika), jestliže
existuje taková její parametrizace γ(t), která je geodetickou dráhou.
Cvičení 10.14.
Spočtěte Christoffelovy symboly pro
1. R3 ve sférických souřadnicích a sféru S2 s indukovanou metrikou z R3,
2. anuloid T2 s indukovanou metrikou z R3,
3. horní polorovinu, tj. H2 = (x1,x2) ∈ R2 x2 > 0 , s metrikou ds2 = x2 −2
dx1 2
+ dx2 2
.
Řešení. 1. Sférické souřadnice jsou dány jako
x = rcosϕ sinθ,
y = rsinϕ sinθ,
z = rcosθ.
Použijme označení r := ϕ0, ϕ1 := ϕ a ϕ2 := θ. Nenulové komponenty metriky jsou g00 = 1,
g11 = r2 sin2
θ a g22 = r2, tzn. nenulové komponenty inverzní matice metriky jsou ˜g00 = 1,
˜g11 = 1
r2 sin2 θ
a ˜g22 = r−2. Christoffelovy symboly získáme přímo z definice,
Γ0
00 =
1
2
2
∑
i=0
˜g0i ∂g0i
∂ϕ0
+
∂gi0
∂ϕ0
−
∂g00
∂ϕi
=
1
2
˜g00 ∂g00
∂ϕ0
+
∂g00
∂ϕ0
−
∂g00
∂ϕ0
= 0,
Γ0
01 =
1
2
2
∑
i=0
˜g0i ∂g0i
∂ϕ1
+
∂gi1
∂ϕ0
−
∂g01
∂ϕi
=
1
2
˜g00 ∂g00
∂ϕ1
+
∂g01
∂ϕ0
−
∂g01
∂ϕ0
= 0,
Γ0
02 =
1
2
2
∑
i=0
˜g0i ∂g0i
∂ϕ2
+
∂gi2
∂ϕ0
−
∂g02
∂ϕi
=
1
2
˜g00 ∂g00
∂ϕ2
+
∂g02
∂ϕ0
−
∂g02
∂ϕ0
= 0,
Γ0
11 =
1
2
2
∑
i=0
˜g0i ∂g1i
∂ϕ1
+
∂gi1
∂ϕ1
−
∂g11
∂ϕi
=
1
2
˜g00 ∂g10
∂ϕ1
+
∂g01
∂ϕ1
−
∂g11
∂ϕ0
= −rsin2
θ,
Γ0
12 =
1
2
2
∑
i=0
˜g0i ∂g1i
∂ϕ2
+
∂gi2
∂ϕ1
−
∂g12
∂ϕi
=
1
2
˜g00 ∂g10
∂ϕ2
+
∂g02
∂ϕ1
−
∂g12
∂ϕ0
= 0,
Γ0
22 =
1
2
2
∑
i=0
˜g0i ∂g2i
∂ϕ2
+
∂gi2
∂ϕ2
−
∂g22
∂ϕi
=
1
2
˜g00 ∂g20
∂ϕ2
+
∂g02
∂ϕ2
−
∂g22
∂ϕ0
= −r,
10. Paralelní přenos vektorových polí 93
Γ1
00 =
1
2
2
∑
i=0
˜g1i ∂g0i
∂ϕ0
+
∂gi0
∂ϕ0
−
∂g00
∂ϕi
=
1
2
˜g11 ∂g01
∂ϕ0
+
∂g10
∂ϕ0
−
∂g00
∂ϕ1
= 0,
Γ1
01 =
1
2
2
∑
i=0
˜g1i ∂g0i
∂ϕ1
+
∂gi1
∂ϕ0
−
∂g01
∂ϕi
=
1
2
˜g11 ∂g01
∂ϕ1
+
∂g11
∂ϕ0
−
∂g01
∂ϕ1
=
=
1
2
1
r2 sin2
θ
2rsin2
θ =
1
r
,
Γ1
02 =
1
2
2
∑
i=0
˜g1i ∂g0i
∂ϕ2
+
∂gi2
∂ϕ0
−
∂g02
∂ϕi
=
1
2
˜g11 ∂g01
∂ϕ2
+
∂g12
∂ϕ0
−
∂g02
∂ϕ1
= 0,
Γ1
11 =
1
2
2
∑
i=0
˜g1i ∂g1i
∂ϕ1
+
∂gi1
∂ϕ1
−
∂g11
∂ϕi
=
1
2
˜g11 ∂g11
∂ϕ1
+
∂g11
∂ϕ1
−
∂g11
∂ϕ1
= 0,
Γ1
12 =
1
2
2
∑
i=0
˜g1i ∂g1i
∂ϕ2
+
∂gi2
∂ϕ1
−
∂g12
∂ϕi
=
1
2
˜g11 ∂g11
∂ϕ2
+
∂g12
∂ϕ1
−
∂g12
∂ϕ1
=
=
1
2
1
r2 sin2
θ
2r2
sinθ cosθ =
cosθ
sinθ
,
Γ1
22 =
1
2
2
∑
i=0
˜g1i ∂g2i
∂ϕ2
+
∂gi2
∂ϕ2
−
∂g22
∂ϕi
=
1
2
˜g11 ∂g21
∂ϕ2
+
∂g12
∂ϕ2
−
∂g22
∂ϕ1
= 0,
Γ2
00 =
1
2
2
∑
i=0
˜g2i ∂g0i
∂ϕ0
+
∂gi0
∂ϕ0
−
∂g00
∂ϕi
=
1
2
˜g22 ∂g02
∂ϕ0
+
∂g20
∂ϕ0
−
∂g00
∂ϕ2
= 0,
Γ2
01 =
1
2
2
∑
i=0
˜g2i ∂g0i
∂ϕ1
+
∂gi1
∂ϕ0
−
∂g01
∂ϕi
=
1
2
˜g22 ∂g02
∂ϕ1
+
∂g21
∂ϕ0
−
∂g01
∂ϕ2
= 0,
Γ2
02 =
1
2
2
∑
i=0
˜g2i ∂g0i
∂ϕ2
+
∂gi2
∂ϕ0
−
∂g02
∂ϕi
=
1
2
˜g22 ∂g02
∂ϕ2
+
∂g22
∂ϕ0
−
∂g02
∂ϕ2
=
1
2
1
r2
2r =
=
1
r
,
Γ2
11 =
1
2
2
∑
i=0
˜g2i ∂g1i
∂ϕ1
+
∂gi1
∂ϕ1
−
∂g11
∂ϕi
=
1
2
˜g22 ∂g12
∂ϕ1
+
∂g21
∂ϕ1
−
∂g11
∂ϕ2
=
= −
1
2
1
r2
2r2
sinθ cosθ = −sinθ cosθ,
Γ2
12 =
1
2
2
∑
i=0
˜g2i ∂g1i
∂ϕ2
+
∂gi2
∂ϕ1
−
∂g12
∂ϕi
=
1
2
˜g22 ∂g12
∂ϕ2
+
∂g22
∂ϕ1
−
∂g12
∂ϕ2
= 0,
Γ2
22 =
1
2
2
∑
i=0
˜g2i ∂g2i
∂ϕ2
+
∂gi2
∂ϕ2
−
∂g22
∂ϕi
=
1
2
˜g22 ∂g22
∂ϕ2
+
∂g22
∂ϕ2
−
∂g22
∂ϕ2
= 0.
Dostali jsme tedy šest nenulových Christoffelových symbolů. Christoffelovy symboly na
sféře S2 získáme již snadno, když ”zapomeneme”souřadnici r, tj.
Γ1
12 =
cosθ
sinθ
, Γ2
11 = −sinθ cosθ.
10. Paralelní přenos vektorových polí 94
2. Opět použijeme označení ϕ1 := ϕ, ϕ2 := θ. Nenulové komponenty metriky a inverzní
metriky jsou g11 = (R+rcosθ)2
, g22 = r2, ˜g11 = 1
(R+rcosθ)2 a g22 = 1
r2 . Jelikož stejně
jako v minulém případě platí g11 = g11 (θ) a g22 = const, nenulové budou pouze dva
Christoffelovy symboly,
Γ1
12 =
1
2
˜g1i ∂g1i
∂ϕ2
+
∂gi2
∂ϕ1
−
∂g12
∂ϕi
=
1
2
˜g11 ∂g11
∂ϕ2
+
∂g12
∂ϕ1
−
∂g12
∂ϕ1
=
=
1
2
2(R+rcosθ)(−rsinθ)
(R+rcosθ)2
= −
rsinθ
R+rcosθ
,
Γ2
11 =
1
2
˜g2i ∂g1i
∂ϕ1
+
∂gi1
∂ϕ1
−
∂g11
∂ϕi
=
1
2
˜g22 ∂g12
∂ϕ1
+
∂g21
∂ϕ1
−
∂g11
∂ϕ2
=
= −
1
2
2(R+rcosθ)(−rsinθ)
r2
=
1
r
(R+rcosθ)sinθ.
3. Nenulové komponenty metriky a inverzní metriky jsou g11 = g22 = x2 −2
a ˜g11 = ˜g22 =
x2 2
. Christoffelovy symboly jsou
Γ1
11 =
1
2
˜g1i ∂g1i
∂x1
+
∂gi1
∂x1
−
∂g11
∂xi
= 0,
Γ1
12 =
1
2
˜g1i ∂g1i
∂x2
+
∂gi2
∂x1
−
∂g12
∂xi
=
1
2
˜g11 ∂g11
∂x2
=
1
2
x2 2 −2
(x2)
3
= −
1
x2
,
Γ1
22 =
1
2
˜g1i ∂g2i
∂x2
+
∂gi2
∂x2
−
∂g22
∂xi
= 0,
Γ2
11 =
1
2
˜g2i ∂g1i
∂x1
+
∂gi1
∂x1
−
∂g11
∂xi
= −
1
2
˜g22 ∂g11
∂x2
= −
1
2
x2 2 −2
(x2)
3
=
1
x2
,
Γ2
12 =
1
2
˜g2i ∂g1i
∂x2
+
∂gi2
∂x1
−
∂g12
∂xi
= 0,
Γ2
22 =
1
2
˜g2i ∂g2i
∂x2
+
∂gi2
∂x2
−
∂g22
∂xi
=
1
2
˜g22 ∂g11
∂x2
=
1
2
x2 2 −2
(x2)
3
= −
1
x2
.
Cvičení 10.15.
Uvažte rovinu R2 v kartézských a v polárních souřadnicích. Najděte vektorové pole vyjádřené
v těchto souřadnicových systémech, které vznikne paralelním přenosem tečného
vektoru křivky σ(t) = (x(t),y(t)) = (cost,sint), t ∈ [0,2π), v bodě t = 0, podél samotné
křivky.
Řešení. Křivka je v polárních souřadnicích (r,ϕ) dána jako σpol(t) = (1,t), t ∈ [0,2π).
Tečný vektor v nule je pro kartézské souřadnice ˙σ(0) = (0,1) a pro polární ˙σpol(0) =
(0,1). Nechť X je hledané vektorové pole v kartézských souřadnicích, jelikož jsou všechny
Christoffelovy symboly pro kartézské souřadnice nulové, rovnice pro paralelní přenos jsou
jednoduché
˙Xi
= 0.
10. Paralelní přenos vektorových polí 95
S uvážením počáteční podmínky dostáváme, že hledané vektorové pole je podél celé přímky
konstantní a je rovno
X =
∂
∂y
.
V polárních souřadnicích nebude situace tak jednoduchá jelikož dva Christofellovy symboly
jsou nenulové, konkrétně Γr
ϕϕ = −r a Γ
ϕ
rϕ = r−1. Nechť Xpol je hledané vektorové
pole, rovnice paralelního přenosu poté jsou
˙Xr
pol +Γr
ϕϕ (σ(t)) ˙σϕ
(t)X
ϕ
pol = 0 ⇒ ˙Xr
pol −X
ϕ
pol = 0,
˙X
ϕ
pol +Γ
ϕ
rϕ (σ(t)) ˙σϕ
(t)Xr
pol + ˙σr
(t)X
ϕ
pol = 0 ⇒ ˙X
ϕ
pol +Xr
pol = 0.
Tuto soustavu s počáteční podmínkou vyřešíme a obdržíme vektorové pole
Xpol = sint
∂
∂r
+cost
∂
∂ϕ
.
Vidíme, že vektorové pole v polárních souřadnicích mění podél křivky svůj směr. Že jsou
obdržené výsledky ve shodě můžeme snadno ověřit pomocí transformace souřadnic, tj.
Xx
=
∂x
∂r
(σpol(t))Xr
pol +
∂x
∂ϕ
(σpol(t))X
ϕ
pol =
= cosϕ(σpol(t))sint +(−rsinϕ) σpol(t) cost = cost sint −sint cost = 0,
Xy
=
∂y
∂r
σpol(t) Xr
pol +
∂y
∂ϕ
σpol(t) X
ϕ
pol =
= sinϕ σpol(t) sint +(rcosϕ) σpol(t) cost = sin2
t +cos2
t = 1.
Cvičení 10.16.
Uvažte sféru S2 s metrikou indukovanou z R3. Řešte rovnice paralelního přenosu podél
rovnoběžky
γ : ϕ = t, t ∈ [0,2π],
θ = θ0, θ0 = const ∈ (0,π).
Pro libovolný vektor v(0) ∈ Tγ(0)S2 najděte matici A, pro kterou platí
v(2π) = Av(0),
kde v(2π) ∈ Tγ(2π)S2 = Tγ(0)S2 je obraz v(0) po paralelním přenosu a určete úhel mezi
nimi. Nakonec ukažte, že matice A zachovává skalární součin v Tγ(0)S2.
10. Paralelní přenos vektorových polí 96
Řešení. Christoffelovy symboly známe z Příkladu 10.14, rovnice pro paralelní přenos jsou
dvϕ
dt
+
cosθ0
sinθ0
vθ
= 0,
dvθ
dt
−sinθ0 cosθ0vϕ
= 0.
Pokud první rovnici zderivujeme a dosadíme do ní ˙vθ z druhé rovnice, získáme rovnici
¨vϕ
+cos2
θ0vϕ
= 0,
která má řešení
vϕ
= Asin(t cosθ0)+Bcos(t cosθ0),
kde A,B ∈ R. Dále snadno určíme i druhou souřadnici vektoru v
vθ
= −Asinθ0 cos(t cosθ0)+Bsinθ0 sin(t cosθ0).
Určeme integrační konstanty A,B. Nechť v(0) = (a,b), kde a,b ∈ R, pak
a = vϕ
(0) = B,
b = vθ
(0) = −Asinθ0,
a celkově máme
vϕ
= −
b
sinθ0
sin(t cosθ0)+acos(t cosθ0),
vθ
= bcos(t cosθ0)+asinθ0 sin(t cosθ0).
Tyto dvě rovnice (pro t = 2π) můžeme snadno napsat v maticovém tvaru, čímž dostaneme
hledanou matici A,
v(2π) =
vϕ(2π)
vθ (2π)
=
cos(2π cosθ0) −sin(2π cosθ0)
sinθ0
sinθ0 sin(2π cosθ0) cos(2π cosθ0)
a
b
= Av(0).
Jelikož je prostor Tγ(0)S2 vektorový prostor se skalárním součinem daným maticí
g =
sin2
θ0 0
0 1
,
odchylku α vektoru od jeho obrazu po paralelním přenosu zjistíme podle známého vzorce
cosα =
g(v(0),v(2π))
g(v(0),(v(0))·g(v(2π),v(2π))
.
Po provedení maticového násobení zjistíme, že
α = 2π cosθ0,
10. Paralelní přenos vektorových polí 97
což pro rovník znamená, že se bude vektor v(0) shodovat se svým obrazem. To, že matice
A zachovává skalární součin v Tγ(0)S2 znamená, že pro libovolné dva vektory u,w ∈ Tγ(0)S2
platí
g(Au,Aw) = g(u,w).
Maticově zapsáno,
(Au)T
g(Aw) = uT
gw.
Jelikož jsou vektory u,w libovolné, musí platit
AT
gA = g,
což se dá jednoduše ověřit provedením maticového násobení.
Cvičení 10.17.
Uvažte lineární konexi ∇ na R2 s nulovými Christoffelovy symboly, až na symbol Γ1
21 = 1.
Spočítejte paralelní přenos tečného vektoru ˙σ(0) ke křivce
σ(t) = −3e−t
+8,t −2
podél této křivky. Je σ(t) geodetika?
Řešení. Tečný vektor podél křivkyσ(t) je ˙σ(t) = (3e−t,1), pro t = 0 pak konkrétně ˙σ(0) =
(3,1). Nechť je Y(t) hledané vektorové pole, rovnice pro paralelní přenos jsou pak tvaru
˙Yi
+
2
∑
j,k=1
Γi
jkY j ˙σk
= 0.
Jak vidíme, Christoffelovy symboly nejsou symetrické ve spodních indexech, proto si
musíme dát pozor na pořadí. Po dosazení do rovnic pro paralelní přenos dostaneme
˙Y1
+3Y2
e−t
= 0,
˙Y2
= 0.
Druhou rovnici můžeme rovnou zintegrovat a po uvážení počáteční podmínky dostaneme
Y2 = 1. Toto dosadíme do první rovnice, opět přímo zintegrujeme a uvážíme počáteční
podmínku. Celkově dostaneme, že vektorové pole, které se paralelně přenáší podél σ(t) je
tvaru
Y = 3e−t
,1 ,
což je pole stejného tvaru jako pole tečných vektorů ˙σ(t) ke křivce σ(t), proto je σ(t)
geodetika.
Cvičení 10.18.
Nechť f je funkce na Riemannově varietě R3,g , kde g je metrika ve sférických souřadnicích.
Určete ∆f.
10. Paralelní přenos vektorových polí 98
Řešení. Našim cílem je spočítat
∆ f =
n
∑
i=1
(∇gradf)i
i =
n
∑
i=1
∂ (grad f)i
∂xi
+
n
∑
k=1
Γi
ki (grad f)k
.
Gradient ve sférických souřadnicích jsme počítali v Příkladu 9.20, Christoffelovy symboly
máme z Příkladu 10.14. Dále snadno
∆ f =
∂ (gradf)r
∂r
+
∂ (gradf)ϕ
∂ϕ
+Γ
ϕ
ϕr (grad f)r
+Γ
ϕ
ϕθ (grad f)θ
+
+
∂ (grad f)θ
∂θ
+Γθ
θr (grad f)r
=
=
∂2 f
∂r2
+
1
r2 sin2
θ
∂2 f
∂ϕ
+
1
r
∂ f
∂r
+
cosθ
r2 sinθ
∂ f
∂θ
+
1
r2
∂2 f
∂θ2
+
1
r
∂ f
∂r
=
=
1
r2
∂
∂r
r2 ∂ f
∂r
+
1
r2 sinθ
∂
∂θ
sin
∂ f
∂θ
+
1
r2 sin2
θ
∂2 f
∂ϕ2
.
Cvičení 10.19.
Nalezněte geodetiky
1. na sféře S2,
2. v horní polorovině, tj. H2 = (x1,x2) ∈ R2 x2 > 0 , s metrikou ds2 = x2 −2
dx1 2
+ dx2 2
.
Řešení. 1. Nenulové Christofellovy symboly jsou Γ
ϕ
ϕθ = cotanθ a Γθ
ϕϕ = −sinθ cosθ.
Geodetiku γ budeme hledat ve tvaru γ(t) = (ϕ(t),θ(t)). Geodetické rovnice jsou
¨ϕ +2Γ
ϕ
ϕθ
˙ϕ ˙θ = 0 ⇒ ¨ϕ +2
cosθ
sinθ
˙ϕ ˙θ = 0,
¨θ +Γθ
ϕϕ ˙ϕ2
= 0 ⇒ ¨θ −sinθ cosθ ˙ϕ2
.
První rovnici vynásobíme sin2
θ, dostáváme
¨ϕ sin2
θ +2sinθ cosθ ˙ϕ ˙θ = 0,
d
dt
˙ϕ sin2
θ = 0,
˙ϕ sin2
θ = C,
kde C ∈ R. Z této rovnosti můžeme vyjádřit ˙ϕ a dosadit do druhé geodetické rovnice,
¨θ −C2 cosθ
sin3
θ
= 0.
10. Paralelní přenos vektorových polí 99
Tuto rovnici vynásobíme 2 ˙θ a podobně jako předtím upravujeme
2 ¨θ ˙θ −2C2 cosθ
sin3
θ
˙θ = 0,
d
dt
˙θ2
+C2
cotan2
θ = 0,
˙θ2
+C2
cotan2
θ = K2
,
kde K ∈ R. Dále vyloučíme parametr t a geodetiku budeme hledat v implicitním tvaru, tj.
dθ
dϕ
=
˙θ
˙ϕ
=
sin2
θ
C
K2 −C2cotan2θ. (10.20)
ProC = 0 dostáváme křivky γ(t) = (const,Kt +const ), což jsou poledníky na sféře. Vraťme
se k rovnici (10.20), tuto rovnici zintegrujeme. Jeden integrál je triviální, druhý vyřešíme
Cdθ
sin2
θ
√
K2 −C2cotan2θ
=
dθ
sin2
θ
√
K2C−2 −cotan2θ
=
cotanθ = x
− dθ
sin2 θ
= dx
=
= −
dx
√
K2C−2 −x2
= −arcsin
x
K2C−2
+const =
= −arcsin
cotanθ
K2C−2
+const,
s tím, že integrační konstantu přidáme do integrační konstanty druhého integrálu. Dohromady
dostáváme
−arcsin
cotanθ
K2C−2
= ϕ +B.
Po dalších jednoduchých úpravách dostaneme rovnici geodetiky ve tvaru
K2
cosBsinθ sinϕ +K2
sinBsinθ cosϕ +C2
cosθ = 0. (10.21)
Pro lepší představu, o jaké křivky se jedná, můžeme přejít nazpět do R3, tam budou tyto
křivky ležet na rovinách
αx+βy+δz = 0,
kde α, β a δ jsou příslušné konstanty, tj. roviny procházející středem soustavy souřadnic.
Geodetiky v R3 tedy leží na průniku sféry s rovinami procházejícím středem, tj. geodetiky
na sféře jsou její hlavní kružnice. Vidíme, že v implicitní rovnici (10.21) je zahrnut i případ
C = 0, který popisuje poledníky.
2. Nenulové Christoffelovy symboly jsou Γ1
12 = − x2 −1
, Γ2
11 = x2 −1
a Γ2
22 = − x2 −1
.
Geodetiku γ budeme hledat ve tvaru γ(t) = x1(t),x2(t) . Geodetické rovnice jsou
¨x1
+2Γ1
12 ˙x1
˙x2
= 0 ⇒ ¨x1
−2
˙x1 ˙x2
x2
= 0,
¨x2
+Γ2
11 ˙x1 2
+Γ2
22 ˙x2 2
= 0 ⇒ ¨x2
+
˙x1
x2
2
+
˙x2 2
x2
= 0.
10. Paralelní přenos vektorových polí 100
První rovnici vydělíme x2 2
, dostáváme
¨x1
(x2)
2
−2
˙x1 ˙x2
(x2)
3
= 0,
d
dt
˙x1
(x2)
2
= 0,
˙x1
(x2)
2
= C, (10.22)
kde C ∈ R. Z tohoto výsledku můžeme dosadit ˙x1 do druhé rovnice, kterou vynásobíme
2˙x2 x2 −2
, dostáváme
2
˙x2 ¨x2
(x2)
2
+2C2
x2
˙x2
−2
˙x2 3
(x2)
3
= 0,
d
dt
˙x2 2
(x2)
2
+C2
x2 2
= 0,
˙x2 2
(x2)
2
+C2
x2 2
= D2
, (10.23)
kde D ∈ R. Kombinací (10.22) a (10.23) můžeme vyloučit parametr t a hledat geodetiky v
implicitním tvaru. Po vyloučení parametru dostaneme rovnici
dx2
dx1
2
=
˙x2
˙x1
2
=
D2
C2 (x2)
2
−1 (10.24)
Pro C=0 dostáváme geodetiky γ(t) = const,EeDt , kde E > 0, což jsou polopřímky v
horní polorovině kolmé na osu x. Vraťme se k rovnici (10.24). Po zintegrování této rovnice
dostaneme
−
D2
C2
−(x2)
2
= x1
−S,
kde S ∈ R je integrační konstanta. Tuto rovnici už jen přepíšeme do tvaru
x1
−S
2
+ x2 2
=
D
C
2
.
Vidíme, že geodetiky jsou kružnice se středem v bodě [S,0] a s poloměrem DC−1.
Cvičení 10.25.
Uvažte R2 s lineární konexí ∇ a křivku σ(t) = (const,y(t)), kde y(t): I → R je hladká
funkce. Najděte podmínky na konexi ∇, aby každá křivka tvaru σ(t) byla geodetika.
10. Paralelní přenos vektorových polí 101
Řešení. Musíme zaručit, aby rovnice geodetik, tj.
¨σi
+
2
∑
j,k=1
Γi
jk ˙σ j ˙σk
= 0,
byly splněny pro všechny funkce y(t). Derivace křivky σ(t) jsou ˙σ(t) = (0, ˙y(t)) a ¨σ(t) =
(0, ¨y(t)). Po dosazení do rovnic geodetiky dostaneme
Γ1
22 ˙y2
= 0,
¨y+Γ2
22 ˙y = 0.
Vidíme, že podmínka na konexi ∇ je Γ1
22 = 0.
Cvičení 10.26.
Jelikož geodetiky jsou křivky na Riemannově varietě dimenze n, které mají mezi dvěma
body nejkratší vzdálenost, dají se dostat i minimalizací délky křivky, tj. minimalizací
integrálu (9.3). Jelikož délka křivky x(t) je dána integrálem, nutná podmínka pro extrém
integrálu je, že integrand L(x(t), ˙x(t),t) splňuje tzv. Eulerovy-Lagrangeho rovnice
d
dt
∂L
∂ ˙xk
=
∂L
∂xk
, k = 1,...,n.
Ukažte, že pro křivku x(t) a integrál (9.3) jsou Eulerovy-Lagrangeho rovnice právě rovnice
geodetiky.
Řešení. Jelikož je odmocnina na intervalu (0,∞) rostoucí funkce, nemusíme ji při minimalizaci
uvažovat, tudíž máme
L(x(t), ˙x(t),t) =
n
∑
i,j=1
˙xi
(t)˙xj
(t)gij(x(t)).
Začněme s počítáním derivace ∂L
∂ ˙xk . Tato derivace nebude nulová, pouze pokud se indexy
i nebo j budou rovnat k, to lze zapsat například pomocí Kroneckerova δ, tudíž
∂L
∂ ˙xk
=
n
∑
i,j=1
˙xi
gijδ
j
k + ˙xj
gijδi
k =
n
∑
i=1
˙xi
gik +
n
∑
j=1
˙xj
gk j.
Derivace tohoto výrazu podle t je
d
dt
∂L
∂ ˙xk
=
n
∑
i=1
¨xi
gik +
n
∑
j=1
¨xj
gk j +
n
∑
i,j=1
˙xi ∂gik
∂xj
˙xj
+ ˙xj ∂gjk
∂xi
˙xi
.
Díky symetrii metriky můžeme první dvě sumy v tomto výrazu zapsat do jedné. Pravá
strana Eulerových-Lagrangeho rovnic je jednoduchá
∂L
∂xk
=
n
∑
i,j=1
∂gij
∂xk
˙xi
˙xj
.
10. Paralelní přenos vektorových polí 102
Porovnáním obou stran dostaneme
2
n
∑
i=1
¨xi
gik +
n
∑
i,j=1
˙xi ∂gik
∂xj
˙xj
+ ˙xj ∂gjk
∂xi
˙xi
=
n
∑
i,j=1
∂gij
∂xk
˙xi
˙xj
.
Celou tuto rovnost můžeme vynásobit ∑n
k=1 ˜glk a převést pravou stranu na levou, dostaneme
¨xl
+
n
∑
i,j=1
1
2
n
∑
k=1
˜glk ∂gik
∂xj
+
∂gjk
∂xi
−
∂gij
∂xk
˙xi
˙xj
= 0.
Vidíme, že jsme opravdu dostali rovnici geodetik.
Torze a křivost lineární konexe
Definice 11.1.
Zobrazení T : X M ×X M → X M definované vztahem
T(X,Y) = ∇XY −∇Y X −[X,Y], X,Y ∈ X M
nazýváme torse lineární konexe ∇ na M. Souřadnicové vyjádření vektorového pole T(X,Y)
v lokálních souřadnicích je
(T(X,Y))i
=
n
∑
j,k=1
Γi
k j −Γi
jk X j
Y j
.
Tudíž T je tensorové pole typu (1,2), které má souřadný tvar
Γi
k j −Γi
jk.
Definice 11.2.
Jestliže T = 0, pak říkáme, že je ∇ lineární konexe bez torse.
Poznámka. Levi-Civitova konexe Riemannova prostoru je bez torse.
Definice 11.3.
Zobrazení R: X M ×X M ×X M → X M dané předpisem
R(X,Y)Z = ∇X∇Y Z −∇Y ∇XZ −∇[X,Y]Z, X,Y,Z ∈ X M
se nazývá křivost lineární konexe ∇ na M. Křivost lineární konexe je tensorové pole typu
(1,3) se souřadným tvarem
Ri
jkl =
∂Γi
lk
∂xj
−
∂Γi
l j
∂xk
+
n
∑
h=1
Γi
hjΓh
lk −Γi
hkΓh
l j .
Věta 11.4.
Je-li ∇ lineární konexe bez torse, pak její křivost R splňuje pro každé X,Y,Z ∈ X M vztah,
tzv. první Bianchiho identita
R(X,Y)Z +R(Y,Z)X +R(Z,X)Y = 0.
Souřadný tvar této identity je
Ri
jkl +Ri
kl j +Ri
l jk = 0.
– 103 –
11. Torze a křivost lineární konexe 104
Definice 11.5.
Nechť (M,g) je Riemannova varieta a ∇ Levi-Civitova konexe. Definujme kovariantní
formu tensoru křivosti R(X,Y,Z,U), kde X,Y,Z,U ∈ X M, jako
R(X,Y,Z,U) = g(R(X,Y)Z,U).
R(X,Y,Z,U) je tensor typu (0,4) se souřadnicovým tvarem
Rklhi =
n
∑
j=1
gijR
j
klh.
Poznámka. Podle Příkladu 12.6 platí pro kovariantní formu tensoru křivosti vztah
R(X,Y,Z,U) = −R(X,Y,U,Z). Pro souřadnice tensoru to znamená
Rijkl = −Rijlk.
Definice 11.6.
Nechť je (M,g) Riemannova varieta s Levi-Civitovou konexí ∇. Ricciho křivostní tensor
Ric definujeme jako kontrakci křivosti, tj.
Ricij = −
n
∑
k=1
Rk
ik j.
Ricciho skalár (nebo skalární křivost) Scal definujeme jako
Scal =
n
∑
i,j=1
˜gij
Ricij,
kde ˜g je inverzní matice metriky g.
Cvičení 11.7.
Nechť jsou na hladké varietě M dány dvě lineární konexe ∇ a ∇, jejichž Christoffelovy
symboly jsou svázány podmínkou
Γi
jk = Γi
jk +δi
jθk,
kde θ ∈ Ω1 (M) je diferenciální 1-forma. Spočtěte rozdíl jejich křivostí, tj. tensor Ri
jkl −Ri
jkl.
11. Torze a křivost lineární konexe 105
Řešení. Celý výpočet je přímočarý a provedeme ho v lokálních souřadnicích. Počítejme
Ri
jkl =
∂Γi
lk
∂xj
−
∂Γi
l j
∂xk
+Γi
hjΓh
lk −Γi
hkΓh
l j =
=
∂Γi
lk
∂xj
+δi
l
∂θk
∂xj
−
∂Γi
l j
∂xk
−δi
l
∂θj
∂xk
+ Γi
hj +δi
hθj Γh
lk +δh
l θk −
− Γi
hk +δi
hθk Γh
l j +δh
l θj =
= Ri
jkl +δi
l
∂θk
∂xj
−
∂θj
∂xk
+Γi
hjδh
l θk +δi
hθjΓh
lk +δi
hθjδh
l θk −Γi
hkδh
l θj−
−δi
hθkΓh
l j −δi
hθkδh
l θj =
= Ri
jkl +δi
l
∂θk
∂xj
−
∂θj
∂xk
+Γi
l jθk +Γi
lkθj +δi
l θjθk −Γi
lkθj −Γi
l jθk −δi
l θkθj =
= Ri
jkl +δi
l
∂θk
∂xj
−
∂θj
∂xk
.
Cvičení 11.8.
Nechť M a M jsou dvě hladké variety s lineárními konexí ∇, ∇ respektive. Řekneme, že
difeomorfismus ϕ : M → M zachovává konexi, jestliže pro všechna x ∈ M platí
Txϕ (∇XY) = ∇X Y (ϕ(x)),
kde X ∈ X (M) a X ∈ X (M ) jsou ϕ-relovaná vektorová pole, respektive Y ∈ X (M)
a Y ∈ X (M ) jsou ϕ-relovaná. Ukažte, že platí
Tϕ (T (X,Y)) = T (TϕX,TϕY),
kde T ,T jsou torzní tensory na M, respektive M .
Řešení. Připomeňme, že pole X a X jsou ϕ-relovaná, pokud platí pro všechna x ∈ M
TxϕX = X (ϕ(x)).
Dále připomeňme, že platí, pokud jsou pole X,Y ϕ-relovaná s X ,Y , pak i Lieova závorka
[X,Y] je ϕ-relovaná se závorkou [X ,Y ]. Pro všechna x ∈ M platí
Txϕ (T (X,Y)) = Txϕ (∇XY −∇Y X −[X,Y]) = ∇X Y (ϕ(x))− ∇Y X (ϕ(x))−
−[X ,Y ](ϕ(x)) =
= T X ,Y (ϕ(x)) = T (TxϕX,TxϕY).
Cvičení 11.9.
Ukažte, že pro kovariantní formu tensoru křivosti R(X,Y,Z,U) platí identita
Rjkli = Rlijk.
11. Torze a křivost lineární konexe 106
Řešení. Uvažme dvě instance první Bianchiho identity se spuštěným horním indexem, tj.
Rjkli +Rkl ji +Rl jki = 0,
Rjkil +Rkijl +Rijkl = 0.
Tyto identity od sebe odečteme a využijeme antisymetrie v druhé dvojici indexů v členu
Rjkil, dostáváme
2Rjkli +Rkl ji +Rl jki −Rkijl −Rijkl = 0. (11.10)
Proveďme toto znovu, jen zaměňme indexy (i ↔ k) a (l ↔ j), dostaneme
2Rlijk +Rijlk +Rjlik −Rikl j −Rklij = 0.
Využijme antisymetrie v první i v druhé dvojici indexů
2Rlijk −Rijkl +Rl jki −Rkijl +Rkl ji = 0,
a odečteme od rovnice (11.10), dostaneme
Rjkli = Rlijk.
Cvičení 11.11.
Ukažte, že Ricciho křivostní tensor Ric je symetrický, tj. Ricij = Ricji.
Řešení. Vyjdeme z první Bianchiho identity
Rk
il j +Rk
l ji +Rk
jil = 0,
ve které provedeme kontrakci indexů k a l, tj.
n
∑
k=1
Rk
ik j +Rk
k ji +Rk
jik = 0,
−Ricij +Ricji +
n
∑
k=1
Rk
jik = 0,
kde jsme využili antisymetrie křivosti v prvních dvou indexech. Ukážeme, že ∑n
k=1 Rk
jik = 0.
Nejprve pomocí matice inverzní metriky snižme index k a poté využijme symetrie metriky
a antisymetrii křivosti v druhých dvou indexech, tj.
n
∑
k=1
Rk
jik =
n
∑
k,l=1
glk
Rjikl = −
n
∑
k,l=1
gkl
Rjilk = −
n
∑
l=1
Rl
jil ⇒
n
∑
k=1
Rk
jik = 0.
Cvičení 11.12.
Spočtěte komponenty tensoru křivosti, Ricciho tensor a Ricciho skalár pro následující
případy:
11. Torze a křivost lineární konexe 107
1. sféru S2 s indukovanou metrikou z R3,
2. anuloid T2 s indukovanou metrikou z R3,
3. horní polorovinu, tj. H2 = (x1,x2) ∈ R2 x2 > 0 , s metrikou ds2 = x2 −2
dx1 2
+ dx2 2
.
Řešení. Christofellovy symboly pro dané Riemannovy variety jsou spočítané v Příkladu
10.14.
1. Z definice spočítáme pouze jednu komponentu tensoru křivosti, další komponenty
dostaneme ze symetrií, které jsou v této kapitole odvozené. Opět použijeme označení
ϕ1 = ϕ a ϕ2 = θ. Počítejme
R2
211 =
∂Γ2
11
∂ϕ2
−
∂Γ2
12
∂ϕ1
+
2
∑
i=1
Γ2
2iΓi
11 −Γ2
1iΓi
21 =
∂Γ2
11
∂ϕ2
−Γ2
11Γ1
21 =
= −cos2
θ +sin2
θ −(−sinθ cosθ)
cosθ
sinθ
= sin2
θ.
Zřejmě poté bude R2
121 = −sin2
θ. Z těchto komponent spočtěme kovariantní komponentu
tensoru křivosti R1212 pomocí snížení indexu,
R1212 =
2
∑
i=1
Ri
121gi2 = R2
121g22 = −sin2
θ,
kde jsme využili toho, že metrika je diagonální. Dále využijme antisymetrie v druhých
dvou indexech,tj. R1221 = sin2
θ, a opět zvedněme poslední index
R1
122 =
2
∑
i=1
˜g1i
R122i = ˜g11
R1221 =
sin2
θ
sin2
θ
= 1,
kde jsme využili toho, že komponenta R1222 je díky antisymetrii nulová. Tudíž poslední
nenulová komponenta tensoru křivosti je R1
212 = −1. Komponenty Ricciho tensoru získáme
jednoduše jako
Ric11 = −
2
∑
i=1
Ri
1i1 = −R2
121 = sin2
θ,
Ric22 = −
2
∑
i=1
Ri
2i2 = −R1
212 = 1,
Ric12 = −
2
∑
i=1
Ri
1i2 = 0.
Ricciho skalár poté je
Scal =
2
∑
i,j=1
˜gij
Ricij = ˜g11
Ric11 + ˜g22
Ric22 =
1
sin2
θ
sin2
θ +1·1 = 2.
11. Torze a křivost lineární konexe 108
2. Budeme postupovat stejně jako u sféry. Nejprve spočítáme jednu komponentu
R2
211 =
∂Γ2
11
∂ϕ2
−
∂Γ2
12
∂ϕ1
+
2
∑
i=1
Γ2
2iΓi
11 −Γ2
1iΓi
21 =
∂Γ2
11
∂ϕ2
−Γ2
11Γ1
21 =
=
cosθ
r
(R+rcosθ)−sin2
θ −
1
r
(R+rcosθ)sinθ −
rsinθ
R+rcosθ
=
=
cosθ (R+rcosθ)
r
.
Snížíme horní index
R2112 =
2
∑
i=1
gi2Ri
211 = rcosθ (R+rcosθ).
Využijeme antisymetrie a poslední index zvýšíme
R1
212 =
2
∑
i=1
˜gi1
R212i = −
rcosθ
R+rcosθ
.
Další dvě nenulové komponenty dostaneme z antisymetrie v prvních dvou indexech. Ricciho
tensor je opět jednoduše
Ric11 = −R2
121 =
cosθ (R+rcosθ)
r
,
Ric22 = −R1
212 =
rcosθ
R+rcosθ
,
Ric12 = 0.
Ricciho skalár poté je
Scal =
2
∑
i,j=1
˜gij
Ricij = ˜g11
Ric11 + ˜g22
Ric22 =
2cosθ
r(R+rcosθ)
.
3. Opět postupujeme úplně stejně jako v předchozích dvou případech, spočítáme jednu
komponentu tensoru křivosti
R1
122 =
∂Γ1
22
∂x1
−
∂Γ1
12
∂x2
+
2
∑
i=1
Γ1
1iΓi
22 −Γ1
2iΓi
12 = −
∂Γ2
12
∂x2
+Γ1
12Γ2
22 −Γ1
21Γ1
12 =
= −
1
(x2)
2
+
1
(x2)
2
−
1
(x2)
2
= −
1
(x2)
2
.
Snížením indexu dostaneme R1221 = − x2 −4
. S využitím antisymetrie a zvednutím posledního
indexu máme R2
121 = x2 −2
. Ricciho tensor je opět jednoduše
Ric11 = −R2
121 = −
1
(x2)
2
,
Ric22 = −R1
212 = −
1
(x2)
2
,
Ric12 = 0,
11. Torze a křivost lineární konexe 109
a Ricciho skalár je
Scal =
2
∑
i,j=1
˜gij
Ricij = ˜g11
Ric11 + ˜g22
Ric22 = −2.
Kovariantní derivování tensorových polí
Definice 12.1.
Nechť M je hladká varieta s lineární konexí ∇. Kovariantní derivací 1-formy ω vzhledem
k X ∈ X M nazýváme 1-formu ∇Xω : M → T∗M, která pro každé vektorové poleY ∈ X M
splňuje
X ω,Y = ∇Xω,Y + ω,∇XY .
Souřadnicový tvar kovariantní derivace 1-formy je
(∇Xω)i =
n
∑
j,k=1
∂ωi
∂xj
−Γk
ijωk X j
.
Definice 12.2.
Nechť M je hladká varieta s lineární konexí ∇, A je tensor typu (r,s), X,Y1,...,Ys ∈ X M
jsou vektorová pole a ω1,...,ωr ∈ Ω(M) jsou 1-formy. Poté je
A(Y1 ...,Ys,ω1,...,ωr) : M → R
funkce na varietě M. Kovariantní derivaci tensoru A podle vektorového pole X, tj. ∇XA
definujeme jako
X(A(Y1,...,Ys,ω1,...,ωr)) = (∇XA)(Y1,...,Ys,ω1,...,ωr)+
+A(∇XY1,...,Ys,ω1,...,ωr)+···+A(Y1,...,∇XYs,ω1,...,ωr)+
+A(Y1,...,Ys,∇Xω1,...,ωr)+···+A(Y1,...,Ys,ω1,...,∇Xωr).
Souřadnicový tvar kovariantní derivace tensoru typu (r,s) je
∂Ai1...ir
j1...js
∂xk
+
n
∑
l=1
Γi1
lkAli2...ir
j1...js
+···+Γir
lkA
i1...ir−1l
j1...js
−Γl
j1kAi1...ir
l j2...js
−···−Γl
jskAi1...ir
j1...js−1l .
Poznámka. Kovariantní derivace tensorového pole g typu (0,2) na M podle X ∈ X M je
Xg(Y,Z) = (∇Xg)(Y,Z)+g(∇XY,Z)+g(Y,∇XZ).
Věta 12.3.
Levi-Civitova konexe Riemannova prostoru (M,g) je jediná lineární konexe bez torse ∇ na
M taková, že platí ∇g = 0.
– 110 –
12. Kovariantní derivování tensorových polí 111
Věta 12.4.
Nechť (M,g) je Riemannova varieta s Levi-Civitovou konexí ∇. Pro všechna vektorová
pole X,Y,Z ∈ X M pak platí
Xg(Y,Z) = g(∇XY,Z)+g(Y,∇XZ).
Cvičení 12.5.
Nechť (M,g) je riemannovská varieta s Levi-Civitovou konexí ∇. Ukažte, že pro všechna
X,Y,Z ∈ X (M) platí tzv. Koszulův vzorec
2g(∇XY,Z) = Xg(Y,Z)+Yg(Z,X)−Zg(X,Y)+g([X,Y],Z)−
−g([Y,Z],X)+g([Z,X],Y).
Řešení. Připomeňme, že pro Levi-Civitovu konexi platí
Xg(Y,Z) = g(∇XY,Z)+g(Y,∇XZ),
[X,Y] = ∇XY −∇Y X.
Počítejme
Xg(Y,Z)+Yg(Z,X)−Zg(X,Y = g(∇XY,Z)+g(Y,∇XZ)+g(∇Y Z,X)+
+g(Z,∇Y X)−g(∇ZX,Y)−g(X,∇ZY).
S využitím symetrie a linearity skalárního součinu
Xg(Y,Z)+Yg(Z,X)−Zg(X,Y) = g(∇XY,Z)+g(Z,∇Y X)+
+g(∇XZ −∇ZX,Y)+g(∇Y Z −∇ZY,X).
Do posledních třech skalárních součinů dosadíme podmínku nulové torze pro Levi-Civitovu
konexi a opět využijeme linearitu skalárního součinu
Xg(Y,Z)+Yg(Z,X)−Zg(X,Y) = g(∇XY,Z)+g(Z,∇XY)−g(Z,[X,Y])+
+g([X,Z],Y)+g([Y,Z],X).
S využitím symetrie skalárního součinu a antisymetrie Lieových závorek, dostáváme požadovanou
rovnost.
Cvičení 12.6.
Nechť (M,g) je riemannovská varieta s Levi-Civitovou konexí ∇. Ukažte, že pro všechna
vektorová pole X,Y,U,Z ∈ X M platí
g(R(X,Y)Z,U) = −g(R(X,Y)U,Z),
kde R je křivost riemannovské variety.
12. Kovariantní derivování tensorových polí 112
Řešení. Z Věty 12.4 máme
[X,Y]g(U,Z) = g ∇[X,Y]U,Z +g U,∇[X,Y]Z .
Dále dvojnásobnou aplikací této věty dostaneme
XYg(U,Z) = X (g(∇YU,Z)+g(U,∇Y Z)) =
= g(∇X∇YU,Z)+g(∇YU,∇XZ)+g(∇XU,∇Y Z)+g(U,∇X∇Y Z).
Uvažme výraz (XY −YX −[X,Y])g(U,Z). Jelikož XY −YX není nic jiného než Lieova
závorka platí
(XY −YX −[X,Y])g(U,Z) = 0.
Ale pokud zapůsobíme vektorovými poli na skalár g(U,Z) dostaneme
0 = g(∇X∇YU,Z)+g(∇YU,∇XZ)+g(∇XU,∇Y Z)+g(U,∇X∇Y Z)−
−g(∇Y ∇XU,Z)−g(∇XU,∇Y Z)−g(∇YU,∇XZ)−g(U,∇Y ∇XZ)−
−g ∇[X,Y]U,Z −g U,∇[X,Y]Z =
= g ∇X∇YU −∇Y ∇XU −∇[X,Y]U,Z +g U,∇X∇Y Z −∇Y ∇XZ −∇[X,Y]Z =
= g(R(X,Y)U,Z)+g(U,R(X,Y)Z),
což nám s využitím symetrie metriky dá požadovanou identitu.
Cvičení 12.7.
Nechť je (M,g) Riemannova varieta s Levi-Civitovou konexí ∇. Ukažte, že pro všechna
X,Y,Z,U ∈ X M platí tzv. druhá Bianchiho identita
(∇XR)(Y,Z,U)+(∇Y R)(Z,X,U)+(∇ZR)(X,Y,U) = 0.
Řešení. Nejprve se zabývejme působením vektorového pole X na skaláru R(Y,Z)U,ω ,
kde ω ∈ Ω(M). R(Y,Z)U,ω můžeme chápat jako vyčíslení vektorového pole R(Y,Z)U
na 1-formě ω, potom
X R(Y,Z)U,ω = ∇X(R(Y,Z)U),ω + R(Y,Z)U,∇Xω .
Nebo R(Y,Z)U,ω můžeme chápat jako vyčíslení křivosti, tj. tensoru typu (1,3) na třech
vektorových polích a jedné 1-formě. Poté platí
X R(Y,Z)U,ω = X(R(Y,Z,U,ω)) = (∇XR)(Y,Z,U,ω)+R(∇XY,Z,U,ω)+
+R(Y,∇XZ,U,ω)+R(Y,Z,∇XU,ω)+R(Y,Z,U,∇Xω) =
= (∇XR)(Y,Z,U),ω + R(∇XY,Z)U,ω + R(Y,∇XZ)U,ω +
+ R(Y,Z)∇XU,ω + R(Y,Z)U,∇Xω .
Z těchto dvou vyjádření vidíme, že
(∇XR)(Y,Z,U) = ∇X (R(Y,Z)U)−R(∇XY,Z)U −R(Y,∇XZ)U −R(Y,Z)∇XU.
12. Kovariantní derivování tensorových polí 113
Tudíž našim cílem je ukázat, že tento výraz
(∇XR)(Y,Z,U)+(∇Y R)(Z,X,U)+(∇ZR)(X,Y,U) = (12.8)
= ∇X (R(Y,Z)U)−R(∇XY,Z)U −R(Y,∇XZ)U −R(Y,Z)∇XU+
+∇Y (R(Z,X)U)−R(∇Y Z,X)U −R(Z,∇Y X)U −R(Z,X)∇YU+
+∇Z (R(X,Y)U)−R(∇ZX,Y)U −R(X,∇ZY)U −R(X,Y)∇ZU
je roven nule. Nejprve s využitím antisymetrie křivosti v prvních dvou vstupech a podmínky
nulové torze Levi-Civitovi konexe přepišme členy v (12.8) s kovariantní derivací v prvních
dvou vstupech
−R(∇XY,Z)U −R(Y,∇XZ)U −R(∇Y Z,X)U −R(Z,∇Y X)U−
−R(∇ZX,Y)U −R(X,∇ZY)U =
= R(Z,[X,Y])U +R(X,[Y,Z]U)+R(Y,[Z,X])U.
Toto dále zkombinujeme se členy z (12.8), které obsahují kovariantní derivaci U. Podle
definice křivosti dostaneme
R(Z,[X,Y])U +R(X,[Y,Z]U)+R(Y,[Z,X])U −R(Y,Z)∇XU−
−R(Z,X)∇YU −R(X,Y)∇ZU =
= ∇Z∇[X,Y]U −∇[X,Y]∇ZU −∇[Z,[X,Y]]U+
+∇X∇[Y,Z]U −∇[Y,Z]∇XU −∇[X,[Y,Z]]U+
+∇Y ∇[Z,X]U −∇[Z,X]∇YU −∇[Y,[Z,X]]U−
−∇Y ∇Z∇XU +∇Z∇Y ∇XU +∇[Y,Z]∇XU−
−∇Z∇X∇YU +∇X∇Z∇YU +∇[Z,X]∇YU−
−∇X∇Y ∇ZU +∇Y ∇X∇ZU +∇[X,Y]∇ZU =
= ∇X ∇[Y,Z]U +∇Z∇YU −∇Y ∇ZU +
+∇Y ∇[Z,X]U +∇X∇ZU −∇Z∇XU +
+∇Z ∇[X,Y]U +∇Y ∇XU −∇X∇YU −∇[Z,[X,Y]]+[X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]U =
= −∇X (R(Y,Z)U)−∇Y (R(Z,X)U)−∇Z (R(X,Y)U),
kde jsme použili Jacobiho identitu pro vektorová pole. Vidíme, že výsledné členy se přesně
vyruší se zbývajícími členy v (12.8).
Cvičení 12.9.
Najděte souřadnicový tvar druhé Bianchiho identity.
Řešení. Souřadnice tensoru křivosti jsou Ri
jkl. Pokud tento tensor kovariantně zderivujeme
podle vektorového pole X = ∑n
h=1 Xh ∂
∂xh dostaneme
∇XRi
jkl =
n
∑
h=1
Xh
∇ ∂
∂xh
Ri
jkl.
12. Kovariantní derivování tensorových polí 114
Označme kovariantní derivaci podle vektorového pole ∂
∂xh jako ∇h. Druhá Bianchiho
identita má v souřadnicích tedy tvar
0 =
n
∑
h,j,k,l=1
Xh
∇hRi
jkl Y j
Zk
Ul
+ Yh
∇hRi
jkl Z j
Xk
Ul
+ Zh
∇hRi
jkl X j
Yk
Ul
Přejmenujeme sčítací indexy v druhém členu (h → j → k → h) a ve třetím členu (h → k →
j → h) dostaneme
0 =
n
∑
h,j,k,l=1
∇hRi
jkl +∇jRi
khl +∇kRi
hjl Xh
Y j
Zk
Ul
,
proto je souřadnicový tvar 2. Bianchiho identity
∇hRi
jkl +∇jRi
khl +∇kRi
hjl = 0.
Cvičení 12.10.
Ukažte, že platí
n
∑
h,k=1
˜ghk
∇hRick j =
1
2
∇jScal,
kde využíváme značení z předchozího příkladu.
Řešení. Důkaz provedeme v souřadnicích. Nejprve uvažme kontrakci druhé Bianchiho
identity a využijme antisymetrie v prvních dvou indexech tensoru křivosti
n
∑
k=1
∇hRk
jkl +∇jRk
khl +∇kRk
hjl = 0,
−∇hRicjl +∇jRichl +
n
∑
k=1
∇kRk
hjl = 0.
Výslednou rovnost vynásobíme ∑n
h,l=1 ˜ghl a využijme, že metrika je kovariantně konstantní
(tj. ∇g = 0),
n
∑
h,l=1
˜ghl
−∇hRicjl +∇jRichl +
n
∑
k=1
∇kRk
hjl = 0,
−
n
∑
h,l=1
˜ghl
∇hRicjl +∇jScal+
n
∑
k,h,l=1
˜ghl
∇kRk
hjl = 0.
Poslední člen v této rovnosti upravíme pomocí symetrií křivosti
n
∑
k,h,l=1
˜ghl
∇kRk
hjl =
n
∑
k,h,l,m=1
˜ghl
∇k ˜gmk
Rhjlm =
n
∑
k,h,l,m=1
˜ghl
∇k ˜gmk
Rjhml =
=
n
∑
k,h,m=1
∇k ˜gmk
Rh
jhm = −
n
∑
k,m=1
˜gmk
∇kRicjm.
Což po přejmenování indexů (k → h) a (m → l) a dosazení do poslední rovnosti dává
požadovanou identitu.
12. Kovariantní derivování tensorových polí 115
Cvičení 12.11.
Nechť je (M,g) n-dimenzionální souvislá Riemannova varieta s Levi-Civitovou konexí ∇
a nechť pro Ricciho tensor platí
Rij = µ(xk
)gij,
kde µ(xk) je funkce souřadnic. Ukažte, že pro n > 2 musí být µ(xk) konstantní funkce.
Řešení. Vyřešme nejprve případ n = 1. Pro jednu dimenzi je křivost triviálně nulová, proto
i Ricciho tensor i Ricciho skalár jsou triviálně nulové a µ(xk) je volná funkce. Pro n > 1
nejprve spočítáme Ricciho skalár. Pro počítání si uvědomme, že výraz ∑n
i=1 δi
i není nic
jiného, než stopa jednotkové matice řádu n, tudíž se rovná n. Proto Ricciho skalár je
R =
n
∑
i,j=1
˜gij
Rij =
n
∑
i,j=1
˜gij
µgij = µ
n
∑
i=1
δi
i = nµ.
Dále použijme výraz pro kovariantní derivaci Ricciho tensoru z minulého příkladu, tj.
n
∑
h,k=1
˜ghk
∇hRick j =
1
2
∇jScal,
n
∑
h,k=1
˜ghk
∇h µgk j =
1
2
∇j (nµ).
µ je skalární funkce, tudíž kovariantní derivace se změní pouze na obyčejnou derivaci.
Dále jelikož metrika je kovariantně konstantní dostaneme
n
∑
h,k=1
˜ghk
gk j
∂µ
∂xh
=
n
2
∂µ
∂xj
,
n
∑
h=1
δh
j
∂µ
∂xh
=
n
2
∂µ
∂xj
,
∂µ
∂xj
=
n
2
∂µ
∂xj
,
což je podmínka, která je splněna pouze pro n = 2. Pro n > 3 musí být
∂µ
∂xj
= 0,
tudíž µ musí být konstanta.
Cvičení 12.12.
Nechť je ∇ lineární konexe bez torse na hladké varietě M. Ukažte, že pro vektorová pole
X,Y ∈ X M, je vnější derivace 1-formy ω ∈ Ω(M) rovna
dω(X,Y) = ∇Xω,Y − ∇Y ω,X .
12. Kovariantní derivování tensorových polí 116
Řešení. Připomeňme, jak se vyčísluje vnější derivace 1-formy na vektorových polích, tj.
vzorec
dω(X,Y) = X ω,Y −Y ω,X − ω,[X,Y] .
V prvních dvou členech využijeme definici kovariantní derivace, v posledním členu zase
podmínku nulové torse. Dostaneme
dω(X,Y) = ∇Xω,Y + ω,∇XY − ∇Y ω,X − ω,∇Y X − ω,∇XY −∇Y X .
S využitím linearity v posledním výrazu dostaneme požadovanou identitu.
Literatura 117
Veškeré definice, věty, tvrzení, lemmata a poznámky jsme převzali ze skript profesora
I. Koláře, které jsou hlavním učebním materiálem k předmětu. Ačkoliv jsme v některých
případech provedli drobné změny vzhledem k originální formulaci, vždy jsme se snažili
zachovat původní autorovu myšlenku. Inspiraci k příkladům jsme čerpali z různých zdrojů,
mezi něž patří také sbírka docenta Antona Galaeva, Dr. rer. nat., obsahující výsledky.
Literatura
[1] I. Kolář. Úvod do globální analýzy, Brno: Masarykova univerzita, (2003), iv, 118 s.
ISBN 80-210-3205-7.
[2] P. M. Gadea, J. M. Masqué: Analysis and Algebra on Differentiable Manifolds: A
Workbook for Students and Teachers: Springer, 2001, xv., 438 s. ISBN 978-90-481-
3563-9.
[3] O’Neill, Barret. Elementary Differential Geometry, New York: Academic, (1966).
Print.
[4] S. Kobayashi, K. Nomizu. Foundations of differential geoemtry, Interscience, (1969).
Print.
[5] S. Lang. Fundamentals of Differential Geometry, New York: Springer-Verlag, (1999).
Print.
[6] J. M. Lee. Introduction to Topological Manifolds, Springer, (2000). Print.
– 118 –