Domácí úkol z 27. září 2018 (odevzdává se 4. října 2018)
Nechť obor integrity R má teorii divizorů S : R* —» P. Pro libovolný divizor a G P označme ä = {a G i?; a | a}, kde jako obvykle a | a znamená že buď a = 0 anebo a 7^ 0 a současně divizor a dělí hlavní divizor S (a) v pologrupě divizorů T>.
1. Dokažte, že pro každý divizor a G ľ je množina ä nenulový ideál okruhu R.
2. Dokažte, že jestliže pro každý nenulový ideál A okruhu R existuje vhodný divizor a G ľ tak, že A = ä, pak je R Dedekindův okruh.
Poznámka. Užijte definici Dedekindova okruhu ze semináře, tj. obor integrity nazýváme Dedekindův, má-li teorii divizorů takovou, že pro každý prvodivizor p je faktorokruh R/p těleso. Může být pro Vás užitečné si vzpomenout, že každý divizor je největším společným dělitelem vhodných dvou hlavních divizorů.
Návod pro část 2: pro libovolný prvodivizor p a prvek a G i? takový, že p\ a, se zamyslete nad tím, jaký divizor odpovídá nenulovému ideálu p+8{a) a co z toho plyne.