#(1)

#(a)
n=30
opak=10000
odhad=rep(0,opak)
odhad2=rep(0,opak)

set.seed(1234)
for (i in 1:opak){
X=rnorm(n)
odhad[i]=mean(X)
odhad2[i]=median(X)
}

#(b)
#odhad rozdeleni obou odhadu
par(mfrow=c(1,2))
plot(density(odhad),col=2,ylim=c(0,2.2))
hist(odhad,prob=T,add=T)
plot(density(odhad2),col=2,ylim=c(0,2.2))
hist(odhad2,prob=T,add=T)

#odhad strednich hodnot obou odhadu
mean(odhad)
mean(odhad2)

#odhad rozptylu obou odhadu
var(odhad)
var(odhad2)

#odhad strednich ctvercovych chyb (MSE) obou odhadu
var(odhad)+ mean(odhad)^2
var(odhad2)+ mean(odhad2)^2

#(c)
#vyberovy prumer ma asymptoticky normalni rozdeleni N(0,1/n).
#vyberovy median ma asymptoticky normalni rozdeleni N(0,1/(4nf(0)^2)).

print("Porovnani simulovane a teoreticke hodnoty:")
print(c("Vyberovy prumer:", var(odhad), 1/n))
print(c("Vyberovy median:", var(odhad2), 1/(4*n*dnorm(0)^2)))

#Pro ostatni vybery se pouzije:
#rlogis(n,0,sqrt(3)/pi)
#rt(n,3)/sqrt(3)
#rcauchy(n)
#respektive
#dlogis(0,0,sqrt(3)/pi)
#dt(0,3)*sqrt(3)
#dcauchy(0)


###########################################
#(2)

#(a)
n=30
opak=10000
alpha=0.05
zam=0
zam2=0
pval=rep(0,opak)
pval2=rep(0,opak)

set.seed(1234)
for (i in 1:opak){
X=rnorm(n,0,1)
pval[i]=t.test(X)$p.value
pval2[i]=wilcox.test(X)$p.value
if (t.test(X)$p.value<alpha) zam=zam+1
if (wilcox.test(X)$p.value<alpha) zam2=zam2+1
}

#(b)
print(c("Empiricka hladina vyznamnosti pro t-test:",zam/opak))
print(c("Empiricka hladina vyznamnosti pro  Wilcoxonuv test:",zam2/opak))

#(c) rovnomerne R(0,1)
par(mfrow=c(1,2))
hist(pval,prob=T, ylim=c(0,1.3))
hist(pval2,prob=T, ylim=c(0,1.3))

#(d) Empirickou silu testu. Cim vetsi sila, tim je test "lepsi".