M9750 Robustní a neparametrické statistické metody
cvičení 1 - chování klasických odhadů a testů při porušení normality
1. Zkoumejte chování dvou odhadů střední hodnoty pro různá rozdělení: výběrového průměru a výběrového mediánu na základě náhodného výběru o rozsahu n = 30. Uvažujte následující rozdělení (vždy s nulovou střední hodnotou a jednotkovým rozptylem; POZOR na parametrizaci v R): normální, logistické, t-rozdělení s 3 stupni volnosti a Cauchyho (s parametry 0,1).
(a) Nejprve vygenerujte náhodný výběr o rozsahu n z daného rozdělení a proveďte dané odhady. Celý postup opakujte 10 000 krát.
(b) Odhadněte, jaké je rozdělení obou odhadů (histogram, jádrový odhad,...). Odhadněte střední hodnotu, rozptyl a střední čtvercovou chybu obou odhadů a výsledky porovnejte.
(c) Jaké by mělo být přesné (asymptotické rozdělení) těchto odhadů? Výsledek porovnejte se simulacemi z bodu (b).
2. Zkoumejte chování dvou testů o nulovosti střední hodnoty daného rozdělení: t-testu a jednovýběrového Wilcoxonova testu na základě náhodného výběru o rozsahu n = 30. Uvažujte následující rozdělení (vždy s nulovou střední hodnotou a jednotkovým rozptylem; POZOR na parametrizaci v R): normální, logistické, t-rozdělení s 3 stupni volnosti a Cauchyho (s parametry 0,1).
(a) Nejprve vygenerujte náhodný výběr o rozsahu n z daného rozdělení a proveďte daný test. Celý postup opakujte 10 000 krát. Zaznamenejte si p-hodnoty a počet zamítnutí nulové hypotézy. Hladinu významnosti a volte 5 procent.
(b) Odhadněte skutečnou hladinu významnosti jako podíl zamítnutí nulové hypotézy mezi všemi 10 000 simulacemi. Dosahují všechny testy předepsané hladiny významnosti?
(c) Jaké rozdělení mají p-hodnoty daných testů?
(d) Uvažujte nyní parametr polohy všech rozdělení roven 0.5 a proveďte znovu body (a) - (c). Co teď znamená podíl zamítnutí nulové hypotézy? Který test je "lepší"pro dané rozdělení?
Aby všem vycházely stejné výsledky, nastavte před každým během simulace generátor náhodných čísel pomocí příkazu set. seed(1234).
Funkce, které by se mohly hodit: rnorm, dnorm, rlogis, dlogis, rt, dt, rcauchy, dcauchy, mean, medián, t.test, wilcox.test.