M9750 Robustní a neparametrické statistické metody
cvičení 4 - robustní odhady parametru polohy
1. Nagenerujte si data - uvažujte náhodný výběr z normálního rozdělení N(0,1) o rozsahu n = 30. Uvažujte Huberuv odhad daný funkcí iPh(%), resp. pu{x) pro k = 1,2,5.
(a) Nejprve jej spočítejte jako řešení rovnice Y^í=i ^PhÍ^í — Ô) = 0.
(b) Poté jako řešení minimalizační úlohy definované funkcí pn(x).
(c) Nakreslete grafy obou předchozích funkcí.
(d) Co způsobuje volba kl
(e) Uvažujte nyní data pocházející z Cauchyho rozdělení a najděte odpovídající Hu-berův odhad.
(f) Body (a)-(e) proveďte i pro další funkce ip(x) uvedené na přednášce.
2. Datový soubor chem v knihovně MASS obsahuje výsledky 24 měření obsahu mědi ve vzorku celozrnné mouky.
(a) Proveďte exploratorní analýzu dat.
(b) Odhadněte průměrný obsah mědi ve vzorku pomocí průměru, mediánu, Hube-rova odhadu, 5% a 10% useknutého a winsorizovaného průměru a Hodgesova-Lehmannova odhadu.
(c) Tyto výsledky porovnejte s případem, kdy odlehlé pozorování vyloučíte z analýzy.
(d) Tyto výsledky porovnejte s případem, kdy odlehlé pozorování opravíte na správnou hodnotu.
3. Zkoumejte chování chování předchozích odhadů pro různá rozdělení na základě náhodného výběru o rozsahu n = 30. Uvažujte následující rozdělení (vždy s nulovou střední hodnotou a jednotkovým rozptylem; POZOR na parametrizaci v R): normální, logistické, t-rozdělení s 3 stupni volnosti a Cauchyho (s parametry 0,1).
(a) Nejprve vygenerujte náhodný výběr o rozsahu n z daného rozdělení a proveďte dané odhady. Celý postup opakujte 10 000 krát.
(b) Odhadněte střední hodnotu, rozptyl a střední čtvercovou chybu všech odhadů a výsledky porovnejte.
Aby všem vycházely stejné výsledky, nastavte před každým během simulace generátor náhodných čísel pomocí příkazu set. seed(1234).
Funkce, které by se mohly hodit: optimize, uniroot.