M9750 Robustní a neparametrické statistické metody
cvičení 6 - robustní odhady vícerozměrného parametru
1. Zkoumejte chování vícerozměrného výběrového průměru a Jamesova - Steinova odhadu na základě náhodného výběru z p-rozměrného normálního rozdělení o rozsahu n = 30 se střední hodnotou 0 = (1,..., 1)' a varianční maticí S = a2lp. Pro jednoduchost volte p = 3 a a2 = 1.
(a) Pro daný náhodný výběr spočítejte oba příslušné odhady a spočtěte jejich empirickou střední čtvercovou chybu.
(b) Celý postup opakujte 10 000 krát. Na základě těchto simulací odhadněte střední čtvercovou chybu obou odhadů (průměr empirických středních čtvercových chyb).
(c) Výsledky z bodu (b) porovnejte. Výsledek porovnejte i s teoretickou hodnotou střední čtvercové chyby pro výběrový průměr.
2. Uvažujte data heptathlon z knihovny HSAUR (proměnné hurdles a shot).
(a) Data si nejprve vykreslete a tipněte si, která budou mít největší a která nejmenší hloubku.
(b) Ke každému pozorování do grafu přidejte jeho hloubku.
(c) Nakreslete graf kontur Tukeyho hloubky.
(d) Najděte oblast s největší hloubkou a Tukeyho medián.
(e) Přidejte jej do grafu, stejně tak i marginální a L\ medián. Výsledky porovnejte.
3. Pracujte se stejnými daty.
(a) Proveďte jednorozměrnou exploratorní analýzu proměnných hurdles a shot. Obsahují proměnné nějaké odlehlé hodnoty?
(b) Proveďte mnohorozměrnou exploratorní analýzu. Vykreslete si bagplot. Obsahují data nějaká odlehlá pozorování?
4. Pracujte se stejnými daty.
(a) Pomocí klasické lineární regrese modelujte závislost výsledku vrhu koulí na výsledku z běhu na 100 metrů překážek.
(b) Odhadnutou regresní přímku přidejte do grafu.
(c) Posuďte vhodnost zvoleného modelu. Obsahují data nějaká vlivná nebo odlehlá pozorování?
(d) Odhadněte regresní koeficienty pomocí 50% regresního kvantilu a opět odhadnutou regresní přímku přidejte do grafu.
(e) A konečně, uvažujte model bez odlehlého pozorování a proveďte odhad metodou nejmenších čtverců na těchto datech; odhadnutou regresní přímku přidejte do grafu.
(f) Všechny tři odhady porovnejte. Který z nich nejlépe popisuje sledovanou závislost?
5. Uvažujte data CYG0B1 z knihovny HSAUR (logaritmus povrchové teploty logst a logaritmus světelné intenzity logli 47 hvězd).
(a) Data si nejprve vykreslete a poté pomocí lineární regrese modelujte závislost logaritmu světelné intenzity na logaritmu povrchové teploty.
(b) Odhadnutou regresní přímku přidejte do grafu.
(c) Posuďte vhodnost zvoleného modelu. Obsahují data nějaká vlivná nebo odlehlá pozorování?
(d) Odhadněte regresní koeficienty pomocí 50% regresního kvantilu a opět odhadnutou regresní přímku přidejte do grafu.
(e) A konečně, uvažujte model bez odlehlých pozorování a proveďte odhad metodou nejmenších čtverců na těchto datech; odhadnutou regresní přímku přidejte do grafu.
(f) Všechny tři odhady porovnejte. Který z nich nejlépe popisuje sledovanou závislost?
Funkce, které by se mohly hodit: apply, points, abline, funkce mvrnorm z knihovny MASS, funkce depth, isodepth, med z knihovny depth, funkce bagplot z knihovny aplpack a funkce rq z knihovny quantreg.