Cvičení 11: Neparametrické úlohy o mediánech
Úkol 1.: Párový znaménkový test a párový Wilcoxonův test
Při zjišťování kvality jedné složky půdy se používají dvě metody označené A a B. Výsledky:
Vzorek 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A 0,275 0,312 0,284 0,3 0,365 0,298 0,312 0,315 0,242 0,321 0,335 0,307
B 0,28 0,312 0,288 0,298 0,361 0,307 0,319 0,315 0,242 0,323 0,341 0,315
Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že metody A a B dávají stejné výsledky.
Návod: Testujeme H0: z0,50 = 0 proti oboustranné alternativě H1: z0,50 ≠ 0, kde z0,50 je medián
rozložení, z něhož pochází rozdílový náhodný výběr Z1 = X1 – Y1, … , Z12 = X12 – Y12.
Vypočteme rozdíly mezi výsledky metod A a B:
xi – yi: -0,005, 0, -0,004, 0,002, 0,004, -0,009, -0,007, 0, 0, -0,002, -0,006, -0,008
Párový znaménkový test: Nenulových rozdílů je 9, testová statistika SZ
+
= 2. Ve
statistických tabulkách najdeme pro n = 9 a α = 0,05 kritické hodnoty k1 = 1, k2 = 8. Protože
kritický obor 81,0W ∪= neobsahuje hodnotu 2, nemůžeme H0 zamítnout na hladině
významnosti 0,05. Neprokázalo se tedy, že by metody A a B dávaly rozdílné výsledky.
Párový Wilcoxonův test: Absolutní hodnoty nenulových rozdílů uspořádáme vzestupně
podle velikosti:
Usp. abs(xi – yi): 0,002, 0,002, 0,004, 0,004, 0,005, 0,006, 0,007, 0,008, 0,009
Pořadí 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Průměrné pořadí 1,5 1,5 3,5 3,5 5 6 7 8 9
SW
+
= 1,5 + 3,5 = 5,
SW
=
1,5 + 3,5 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 40,
n = 9, α = 0,05, tabelovaná kritická hodnota pro n = 9 a α = 0,05 je 5, testová statistika =
min(SW
+
, SW
)
= min(5,40) = 5. Protože 5 ≤ 5, H0 zamítáme na hladině významnosti 0,05.
Postup ve STATISTICE:
Načteme datový soubor metody AB.sta
Provedení párového znaménkového testu: Statistiky – Neparametrická statistika –
Porovnání dvou závislých vzorků – OK – 1. seznam proměnných A, 2. seznam proměnných B
– OK – Znaménkový test.
Znaménkový test (metody AB.sta)
Označené testy jsou významné na hladině p <,05000
Dvojice proměnných
Počet
různých
procent
v < V
Z Úroveň p
A & B 9 77,77778 1,333333 0,182422
Vidíme, že nenulových hodnot n = 9. Z nich záporných je 77,78 %, tj. 7. Hodnota testové
statistiky SZ
+
= 9 – 7 = 2. Asymptotická testová statistika U0 (zde označená jako Z) se
realizuje hodnotou 1,3333. Odpovídající asymptotická p-hodnota je 0,182422, tedy na
asymptotické hladině významnosti 0,05 nezamítáme hypotézu, že obě metody dávají stejné
výsledky. Nejsou však splněny předpoklady pro použití asymptotické varianty testu (příliš
malý rozsah výběru), i když závěr je stejný jako při testování pomocí kritické hodnoty.
Grafické znázornění výsledků: Návrat do Porovnání dvou proměnných – Krabicový graf
všech proměnných – Proměnné A, B – OK – ponecháme implicitní nastavení krabicového
diagramu – OK.
Z krabicových diagramů je vidět, že obě
metody se poněkud liší v úrovni, ale neliší se
ve variabilitě.
Provedení Wilcoxonova testu: Návrat do Porovnání dvou proměnných – Wilcoxonův
párový test. Výstupní tabulka poskytne hodnotu testové statistiky (ozn. T), hodnotu
asymptotické testové statistiky U0 a p-hodnotu pro U0. (STATISTICA tedy nezohledňuje
omezení n ≥ 30 pro použití U0.)
Wilcoxonův párový test (metody AB.sta)
Označené testy jsou významné na hladině p <,05000
Dvojice proměnných
Počet
platných
T Z Úroveň p
A & B 12 5,000000 2,073221 0,038153
V tomto případě je p-hodnota 0,038153, tedy nulová hypotéza se zamítá na asymptotické
hladině významnosti 0,05. Nejsou však splněny předpoklady pro použití asymptotické
varianty testu (příliš malý rozsah výběru), i když závěr je stejný jako při testování pomocí
kritické hodnoty.
Úkol 2.: Jednovýběrový znaménkový test a jednovýběrový Wilcoxonův test
Vyráběné ocelové tyče mají kolísavou délku s předpokládanou hodnotou mediánu 10 m.
Náhodný výběr 10 tyčí poskytl tyto výsledky:
9,83 10,10 9,72 9,91 10,04 9,95 9,82 9,73 9,81 9,90
Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že předpoklad o mediánu délky tyčí je
oprávněný.
Návod: Testujeme H0: x0,50 = 10 proti oboustranné alternativě H1: x0,50 ≠ 10. Vypočteme
rozdíly mezi naměřenými délkami a konstantou 10:
xi – 10: -0,17, 0,1, -0,28, -0,09, 0,04, -0,05, -0,18, -0,27, -0,19, -0,1
Jednovýběrový znaménkový test: Nenulových rozdílů je 10, testová statistika SZ
+
= 2. Ve
statistických tabulkách najdeme pro n = 10 a α = 0,05 kritické hodnoty k1 = 1, k2 = 9. Protože
kritický obor 10,91,0W ∪= neobsahuje hodnotu 2, H0 nezamítáme na hladině
významnosti 0,05.
Jednovýběrový Wilcoxonův test: Absolutní hodnoty nenulových rozdílů uspořádáme
vzestupně podle velikosti:
Usp. abs(xi – yi): 0,04, 0,05, 0,09, 0,1, 0,1, 0,17, 0,18, 0,19, 0,27, 0,28
Pořadí 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Průměrné pořadí 1 2 3 4,5 4,5 6 7 8 9 10
SW
+
= 1 + 4,5 = 5,5,
SW
=
2 + 3 + 4,5 + 6 + 7 + 8 + 9 +10 = 49,5,
n = 10, α = 0,05, tabelovaná kritická hodnota pro n = 10 a α = 0,05 je 8, testová statistika =
min(SW
+
, SW
)
= min(5,5;49,5) = 5,5. Protože 5,5 ≤ 8, H0 zamítáme na hladině významnosti
0,05. Vidíme, že Wilcoxonův test dospěl k odlišnému závěru než znaménkový test.
Postup ve STATISTICE:
Načteme datový soubor delka_tyci.sta.
Provedení jednovýběrového znaménkového testu: Statistiky – Neparametrická statistika –
Porovnání dvou závislých vzorků – OK – 1. seznam proměnných X, 2. seznam proměnných
konst – OK – Znaménkový test.
Znaménkový test (delka_tyci.sta)
Označené testy jsou významné na hladině p <,05000
Dvojice proměnných
Počet
různých
procent
v < V
Z Úroveň p
X & konst 10 80,00000 1,581139 0,113846
Vidíme, že nenulových hodnot n = 10. Z nich záporných je 80 %, tj. 8. Hodnota testové
statistiky SZ
+
= 10 – 8 = 2. Asymptotická testová statistika U0 (zde označená jako Z) se
realizuje hodnotou 1,5811. Odpovídající asymptotická p-hodnota je 0,113846, tedy na
asymptotické hladině významnosti 0,05 nezamítáme hypotézu, že medián délky tyčí je 10.
Nejsou však splněny předpoklady pro použití asymptotické varianty testu (příliš malý rozsah
výběru), i když závěr je stejný jako při testování pomocí kritické hodnoty.
Provedení Wilcoxonova testu: Návrat do Porovnání dvou proměnných – Wilcoxonův
párový test. Výstupní tabulka poskytne hodnotu testové statistiky (ozn. T), hodnotu
asymptotické testové statistiky U0 a p-hodnotu pro U0. (STATISTICA tedy nezohledňuje
omezení n ≥ 30 pro použití U0.)
Wilcoxonův párový test (delka_tyci.sta)
Označené testy jsou významné na hladině p <,05000
Dvojice proměnných
Počet
platných
T Z Úroveň p
X & konst 10 5,500000 2,242448 0,024933
V tomto případě je p-hodnota 0,0249, tedy nulová hypotéza se zamítá na asymptotické
hladině významnosti 0,05. Nejsou však splněny předpoklady pro použití asymptotické
varianty testu (příliš malý rozsah výběru), i když závěr je stejný jako při testování pomocí
kritické hodnoty.
Úkol 3.: Dvouvýběrový Wilcoxonův test
Majitel obchodu chtěl zjistit, zda velikost nákupů (v dolarech) placených kreditními kartami
Master/EuroCard a Visa jsou přibližně stejné. Náhodně vybral 7 nákupů placených
Master/EuroCard: 42 77 46 73 78 33 37 a 9 placených Visou: 39 10 119 68 76 126 53
79 102. Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že velikost nákupů placených těmito
dvěma typy karet se shodují.
Návod: Na hladině významnosti 0,05 testujeme H0: x0,50 - y0,50 = 0 proti oboustranné
alternativě H1: x0,50 - y0,50 ≠ 0.
usp. hodnoty 10 33 37 39 42 46 53 68 73 76 77 78 79 102 119 126
pořadí xi 2 3 5 6 9 11 12
pořadí yi 1 4 7 8 10 13 14 15 16
T1 = 2 + 3 + 5 + 6 + 9 + 11 + 12 = 48, T2 = 1 + 4 + 7 + 8 + 10 + 13 + 14 + 15 + 16 = 88
U1 = 7.9 + 7.8/2 - 48 = 43, U2 = 7.9 + 9.10/2 - 88 = 20
Kritická hodnota pro α = 0,05, min(7,9) = 7, max(7,9) = 9 je 12. Protože min(43,20) = 20 >
12, nemůžeme na hladině významnosti 0,05 zamítnout hypotézu, že velikosti nákupů
placených kreditními kartami Master/EuroCard a Visa se shodují.
Postup ve STATISTICE:
Načteme datový soubor kreditni karty.sta.
Statistiky – Neparametrická statistika – Porovnání dvou nezávislých vzorků – OK –
Proměnné – Seznam závislých proměnných X, Nezáv. (grupov.) proměnná ID – OK – M-W
U test.
Mann-Whitneyův U Test (w/ oprava na spojitost) (kreditní karty.sta)
Dle proměn. ID
Označené testy jsou významné na hladině p <,05000
Proměnná
Sčt poř.
M/E Card
Sčt poř.
Visa
U Z p-hodn. Z
upravené
p-hodn. N platn.
M/E Card
N platn.
Visa
2*1str.
přesné p
X 48,00000 88,00000 20,00000 -1,16436 0,244278 -1,16436 0,244278 7 9 0,252273
Ve výstupní tabulce jsou součty pořadí T1, T2, hodnota testové statistiky min(U1, U2) ozn. U,
hodnota asymptotické testové statistiky U0 (ozn. Z), p-hodnota pro U0 a přesná p-hodnota
(ozn. 2*1str. přesné p – ta se používá pro rozsahy výběrů pod 30).
V našem případě přesná p-hodnota = 0,252273, tedy H0 nezamítáme na hladině
významnosti 0,05.
Výpočet je vhodné doplnit krabicovým diagramem typu Medián/kvartily/rozpětí
.
Medián
25%-75%
Min-MaxM/E Card Visa
ID
0
20
40
60
80
100
120
140
X
Úkol 4.: Kruskalův – Wallisův test a mediánový test
Voda po holení jisté značky se prodává ve čtyřech různých lahvičkách stejného obsahu. Údaje
o počtu prodaných lahviček za týden v různých obchodech:
1.typ: 50 35 43 30 62 52 43 57 33 70 64 58 53 65 39
2.typ: 31 37 59 67 44 49 54 62 34 42 40
3.typ: 27 19 32 20 18 23
4.typ: 35 39 37 38 28 33.
Posuďte na 5% hladině významnosti, zda typ lahvičky ovlivňuje úroveň prodeje.
Návod: Všech 38 hodnot uspořádáme vzestupně podle velikosti a stanovíme součet pořadí
hodnot patřících do 1. až 4. výběru.
T1 = 379, T2 = 257, T3 = 24, T4 = 81
∑
=
+−
+
=
r
1j j
2
j
)1n(3
n
T
)1n(n
12
Q 79,18393
6
81
6
24
11
257
15
379
3938
12 2222
=⋅−





+++
⋅
= ,
( ) ) ( ) ) )∞=∞χ=∞−χ= α− ,815,7,3,1rW 95,0
2
1
2
Protože WQ ∈ , H0 zamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.
Postup ve STATISTICE:
Načteme datový soubor voda po holeni.sta.
Statistiky – Neparametrická statistika – Porovnání více nezávislých vzorků - OK – Seznam
závislých proměnných X, Nezáv. (grupovací) proměnná typ – OK – Shrnutí: KruskalWallisova
ANOVA a mediánový test. Ve dvou výstupních tabulkách se objeví výsledky K-W
testu a mediánového testu.
Kruskal-Wallisova ANOVA založ. na poř.; X (voda po holeni.sta)
Nezávislá (grupovací) proměnná :TYP
Kruskal-Wallisův test: H ( 3, N= 38) =18,80199 p =,0003
Závislá:
X
Kód Počet
platných
Součet
pořadí
1
2
3
4
1 15 379,0000
2 11 257,0000
3 6 24,0000
4 6 81,0000
Mediánový test, celk. medián = 39,5000; X(voda po holeni.sta)
Nezávislá (grupovací) proměnná :TYP
Chi-Kvadr. = 17,53939 sv = 3 p = ,0005Závislá:
X 1 2 3 4 Celkem
<= Medián: pozorov.
očekáv.
poz.-oč.
> Medián: pozorov.
očekáv.
poz.-oč.
Celkem: oček.
4,00000 3,00000 6,00000 6,00000 19,00000
7,50000 5,50000 3,00000 3,00000
-3,50000 -2,50000 3,00000 3,00000
11,00000 8,00000 0,00000 0,00000 19,00000
7,50000 5,50000 3,00000 3,00000
3,50000 2,50000 -3,00000 -3,00000
15,00000 11,00000 6,00000 6,00000 38,00000
Oba testy zamítají hypotézu o shodě mediánů v daných čtyřech skupinách, ale K-W test má
poněkud nižší p-hodnotu (0,0003), zatímco p-hodnota pro mediánový test je 0,0005).
Grafické znázornění výsledků: návrat do Kruskal-Wallisova ANOVA a mediánový test –
Krabicový graf – Proměnná X – OK – Typ grafu: Medián/kvartily/Rozpětí – OK.
Je vidět, že úroveň prodeje pro 1. typ je nevyšší, zatímco pro 3. typ nejnižší.
Nyní provedeme mnohonásobné porovnávání, abychom zjistili, které dvojice typů lahviček se
liší na hladině významnosti 0,05: návrat do Kruskal-Wallisova ANOVA a mediánový test,
Vícenás. porovnání průměrného pořadí pro vš. sk.
Vícenásobné porovnání p hodnot (oboustr.);X(voda po holeni.sta)
Nezávislá (grupovací) proměnná :TYP
Kruskal-Wallisův test: H ( 3, N= 38) =18,80199 p =,0003
Závislá:
X
1
R:25,267
2
R:23,364
3
R:4,0000
4
R:13,500
1
2
3
4
1,000000 0,000447 0,170297
1,000000 0,003579 0,481908
0,000447 0,003579 0,832208
0,170297 0,481908 0,832208
Vidíme, že se liší typy (1, 3) a (2, 3).
Úkoly k samostatnému řešení
1. Ve skupině 12 studentů se sledovala srdeční frekvence při změně polohy z lehu do stoje.
Získaly se tyto rozdíly počtu tepů srdce za 1 minutu: -2 4 8 25 -5 16 3 1 12 17 20 9. Za
předpokladu, že tyto rozdíly mají symetrické rozložení, testujte na hladině významnosti 0,05
hypotézu, že medián rozdílů obou tepových frekvencí je 15 proti oboustranné alternativě.
Data jsou uložena v souboru srdecni_frekvence.sta.
(Výsledek: přesný i asymptotický znaménkový test nulovou hypotézu nezamítají na hladině
významnosti 0,05, avšak asymptotický Wilcoxonův test ano, zatímco přesný nikoli.)
2. Z produkce tří podniků vyrábějících televizory bylo vylosováno 10, 8 a 12 kusů. Byly
získány následující výsledky zjišťování citlivosti těchto televizorů v mikrovoltech:
1.podnik: 420 560 600 490 550 570 340 480 510 460
2.podnik: 400 420 580 470 470 500 520 530
3.podnik: 450 700 630 590 420 590 610 540 740 690 540 670
Ověřte na hladině významnosti 0,05 hypotézu o shodě úrovně citlivosti televizorů v
jednotlivých podnicích. Data jsou uložena v souboru televizory.sta.
(Výsledek: na hladině významnosti 0,05 se liší televizory vyráběné ve 2. a 3. podniku.)