Cvičení 13: Jednoduchá korelační analýza
Úkol 1.: Testování nezávislosti ordinálních veličin
12 různých softwarových firem nabízí speciální programové vybavení pro vedení účetnictví.
Jednotlivé programy byly posouzeny odbornou komisí složenou z počítačových odborníků a
komisí složenou z profesionálních účetních. Úkolem bylo doporučit vhodný program na
základě stanovení pořadí jednotlivých programů. Výsledky posouzení:
Produkt firmy číslo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Pořadí dle odborníků 6 7 1 8 4 2,5 9 12 10 2,5 5 11
Pořadí dle účetních 4 5 2 10 6 1 7 11 8 3 12 9
Vypočtěte Spearmanův koeficient pořadové korelace a na hladině významnosti 0,05 testujte
hypotézu, že hodnocení obou komisí jsou nezávislá.
Výpočet pomocí systému STATISTICA
Otevřeme datový soubor vedeni_ucetnictvi.sta o dvou proměnných X (hodnocení 1. komise),
Y (hodnocení 2. komise) a 12 případech.
Statistiky – Neparametrické statistiky – Korelace – OK – vybereme Vytvořit detailní report Proměnné
X, Y – OK – Spearmanův koef. R. Dostaneme tabulku
Spearmanovy korelace (Tabulka1)
ChD vynechány párově
Označ. korelace jsou významné na hl. p <,05000
Dvojice proměnných
Počet
plat.
Spearman
R
t(N-2) Úroveň p
X & Y 12 0,714537 3,229806 0,009024
Spearmanův koeficient pořadové korelace nabývá hodnoty 0,7145, testová statistika se
realizuje hodnotou 3,2298, odpovídající p-hodnota je 0,009024, tedy na asymptotické hladině
významnosti 0,05 zamítáme hypotézu o pořadové nezávislosti hodnocení dvou komisí ve
prospěch oboustranné alternativy.
Upozornění: Systém STATISTICA používá při testování hypotézy o pořadové nezávislosti
veličin X, Y asymptotickou variantu testu bez ohledu na rozsah náhodného výběru. Pokud
rozsah výběru nepřesáhne 20, měli bychom systém STATISTICA použít jen k výpočtu rS a
testování bychom měli provést pomocí tabelované kritické hodnoty. V našem případě pro n =
12 a α = 0,05 je kritická hodnota 0,5804. Vidíme, že nulovou hypotézu zamítáme na hladině
významnosti 0,05, protože 0,7145 ≥ 0,5804.
Úkol 2.: Testování nezávislosti intervalových a poměrových veličin
Zjišťoval se obsah chromitých iontů v řece (veličina Y, v ppm) v závislosti na vzdálenosti od
koželužny (veličina X, v km). Byly získány tyto výsledky:
Číslo odběrného místa 1 2 3 4 5 6 7
xi 2,6 5,6 4,4 5,1 7,2 9,9 10,8
yi 91 77 72 56 44 56 47
Data jsou uložena v souboru chrom_v_rece.sta. Nakreslete dvourozměrný tečkový diagram,
vypočtěte výběrový korelační koeficient a na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu o
nezávislosti obou veličin.
Výpočet pomocí systému STATISTICA
Otevřeme datový soubor chrom_v_rece.sta. Obvyklým způsobem zobrazíme dvourozměrný
tečkový diagram, s jehož pomocí posoudíme dvourozměrnou normalitu dat.
Grafy – Bodové grafy – vypneme lineární proložení - Proměnné X, Y – OK – Detaily - Elipsa
normální – OK. Ve vzniklém grafu upravíme měřítka na vodorovné a svislé ose:
-10 -5 0 5 10 15 20
x
0
20
40
60
80
100
120
140
y
Testování hypotézy o nezávislosti:
První možnost – pomocí testové statistiky T: Statistiky – Základní statistiky/tabulky –
Korelační matice – OK – 2 seznamy proměn. – X, Y – OK – na záložce Možnosti vybereme
Zobrazit detailní tabulku výsledků – Výpočet.
Korelace (chrom_v_rece.sta)
Označ. korelace jsou významné na hlad. p < ,05000
(Celé případy vynechány u ChD)
Prom. X &
prom. Y
Průměr Sm.Odch. r(X,Y) r2 t p N Konst.
záv.: Y
Směr.
záv: Y
Konst.
záv.: X
Směrnic
záv.: X
x
y
6,51429 2,97009
63,28571 17,20188 -0,772569 0,596863 -2,72080 0,041735 7 92,43385 -4,47449 14,95612 -0,133392
Ve výstupní tabulce je mj. hodnotu výběrového korelačního koeficientu R12 (r=-0,7726, tzn.
že mezi X a Y existuje silná nepřímá lineární závislost), hodnota testové statistiky (t=-2,7208)
a p-hodnota pro test hypotézy o nezávislosti (p=0,0417), H0 tedy zamítáme na hladině
významnosti 0,05. S rizikem omylu nejvýše 5 % jsme tedy prokázali, že mezi oběma
veličinami existuje závislost.
Druhá možnost – pomocí intervalu spolehlivosti pro ρ: Statistiky – Analýza síly testu –
Odhad intervalu – Jedna korelace, t-test – OK – Pozorované R: -0,7726, N: 7, zaškrtneme
Fisherovo Z (původ.) – Vypočítat.
Odhad intervalu (chrom_v_rece.sta)
Jedna korelace,
t-test
Hodnota
Pozorovaný korel. koef. R
Korelace dle nulové hypotézy (Ró0)
Oboustranná p-hodnota
Velikost vz. ve skup. (N)
Interval spolehlivosti
Meze spolehlivosti (Fisher. Z původní):
Ró:
Dolní mez
Horní mez
-0,7726
0,0000
1,9600
7,0000
0,9500
-0,9645
-0,0467
95% interval spolehlivosti pro ρ má tedy meze -0,9645 a -0,0467, nepokrývá hodnotu 0
a tudíž hypotézu o nezávislosti veličin X, Y zamítáme na hladině významnosti 0,05.
Třetí možnost – pomocí pravděpodobnostního kalkulátoru: Pokud známe výběrový
koeficient korelace a rozsah výběru, můžeme test nezávislosti veličin X, Y provést pomocí
Pravděpodobnostního kalkulátoru.
Statistiky – Pravděpodobnostní kalkulátor – Korelace – zadáme n a r, zaškrtneme Výpočet p
z r – Výpočet.
Úkol 3.: Porovnání dvou korelačních koeficientů
V psychologickém výzkumu bylo vyšetřeno 426 hochů a 430 dívek. Ve skupině hochů činil
výběrový koeficient korelace mezi verbální a performační složkou IQ 0,6033, ve skupině
dívek činil 0,5833. Za předpokladu dvourozměrné normality dat testujte na hladině
významnosti 0,05 hypotézu, že korelační koeficienty se neliší.
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Statistiky – Základní statistiky a tabulky – Testy rozdílů: r, %, průměry – OK – vybereme
Rozdíl mezi dvěma korelačními koeficienty. Do políčka r1 napíšeme 0,6033, do políčka N1
napíšeme 426, do políčka r2 napíšeme 0,5833, do políčka N2 napíšeme 430 - Výpočet.
Dostaneme p-hodnotu 0,6528, tedy nezamítáme nulovou hypotézu o shodě dvou koeficientů
korelace na asymptotické hladině významnosti 0,05.
Úkoly k samostatnému řešení:
1. Načtěte datový soubor IQ.sta. Za předpokladu dvourozměrné normality dat (orientačně
ověřte pomocí dvourozměrného tečkového diagramu) testujte na hladině významnosti 0,1
hypotézu, že korelační koeficienty mezi verbální a performační složkou IQ jsou stejné u dětí
z města a venkova.
Výsledek: p = 0,0784, tedy s rizikem omylu nejvýše 10 % jsme prokázali, že korelační
koeficienty se liší.
2. V náhodném výběru 10 dvoučlenných domácností byl zjišťován měsíční příjem (veličina
X, v tisících Kč) a vydání za potraviny (veličina Y, v tisících Kč).
xi 15 21 34 35 39 42 58 64 75 90
yi 3 4,5 6,5 6 7 8 9 8 9,5 10,5
Vypočtěte výběrový koeficient korelace. Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu o
nezávislosti veličin X, Y. Sestrojte 95% asymptotický interval spolehlivosti pro ρ. (Data jsou
uložena v souboru prijem_vydani.sta).
Výsledek: r12 = 0,9405, H0 zamítáme na hladině významnosti 0,05, s pravděpodobností aspoň
0,95 platí: 0,7623 < ρ < 0,9862
3. Bylo sledováno 10 žáků. Na základě psychologického vyšetření byli tito žáci seřazeni podle
nervové lability (čím byl žák labilnější, tím dostal vyšší pořadí Ri). Kromě toho sledování žáci
dostali pořadí Qi na základě svých výsledků v matematice (nejlepší žák v matematice dostal
pořadí 1). Výsledky jsou uvedeny v tabulce:
Pořadí Ri 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Pořadí Qi 9 3 8 5 4 2 10 1 7 6
Vypočtěte Spearmanův koeficient pořadové korelace a na hladině významnosti 0,05 testujte
hypotézu, že nervová labilita a výsledky v matematice jsou nezávislé.
Výsledek: rS = -0,127, H0 nezamítáme na hladině významnosti 0,05.