Téma 5.: Pravděpodobnostní funkce, hustoty a distribuční funkce
v systému STATISTICA, výpočet pravděpodobností pomocí distribučních
funkcí
Systém STATISTICA vytváří grafy hustot a distribučních funkcí mnoha spojitých rozložení,
umí stanovit hodnotu distribuční funkce či počítat 1 - hodnota distribuční funkce. Slouží
k tomu Pravděpodobnostní kalkulátor v menu Statistiky. Hodnoty pravděpodobnostních
funkcí, hustot a distribučních funkcí lze počítat též pomocí funkcí implementovaných
v položce „Dlouhé jméno“ proměnné.
Zaměříme se na binomické rozložení, Poissonovo rozložení, exponenciální rozložení.
a) Binomické rozložení Bi(n, ϑ )
Náhodná veličina X udává počet úspěchů v posloupnosti n nezávislých opakovaných pokusů,
přičemž pravděpodobnost úspěchu je v každém pokusu ϑ . Píšeme X ~ Bi(n, ϑ ).
( ) ( ) ∑=
−
−
ϑ−ϑ





=Φ





=ϑ−ϑ





=π
x
0t
tnt
xnx
)1(
t
n
x,
jinak0
n,0,xpro)1(
x
n
x
K
Kreslení grafů funkcí ( )xπ a ( )xΦ v systému STATISTICA
1. možnost: Ukážeme si, jak získat grafy pravděpodobnostní a distribuční funkce náhodné
veličiny X ~ ( )3,0;12Bi . Vytvoříme nový datový soubor o 3 proměnných a 13 případech.
První proměnnou nazveme X a uložíme do ní hodnoty 0, 1, ..., 12 (do Dlouhého jména
napíšeme =v0-1). Druhou proměnnou nazveme PF a uložíme do ní hodnoty
pravděpodobnostní funkce (do Dlouhého jména napíšeme příkaz =Binom(x;0,3;12)). Třetí
proměnnou nazveme DF a uložíme do ní hodnoty distribuční funkce (do Dlouhého jména
napíšeme příkaz =IBinom(x;0,3;12)).
Graf pravděpodobnostní funkce: Grafy – Bodové grafy – Proměnné X, PF – OK – vypneme
Lineární proložení – OK.
Graf distribuční funkce: Grafy – Bodové grafy – Proměnné X, DF – OK – vypneme Lineární
proložení – OK – 2x klikneme na pozadí grafu – Graf:Obecné – zaškrtneme Spojnice – Typ
spojnice: Schod – OK.
Graf funkce ( )xp rozložení ( )3,0;12Bi Graf funkce ( )xF rozložení ( )3,0;12Bi
-2 0 2 4 6 8 10 12 14
X
-0,02
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
0,20
0,22
0,24
0,26
PF
-2 0 2 4 6 8 10 12 14
X
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
DF
Analogickým způsobem můžeme získat grafy pravděpodobnostních distribučních funkcí
binomického rozložení pro různá n a ϑ a sledovat vliv těchto parametrů na vzhled grafů.
2. možnost: Využijeme Pravděpodobnostní kalkulátor.
Statistiky – Pravděpodobnostní kalkulátor – Rozdělení – Binomické. Vyplníme X: 0, N: 12, p:
0,3, zaškrtneme Vytv. graf – Výpočet.
y=Binom(x;,3;12)
0 2 4 6 8 10 12 14
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
p=iBinom(x;,3;12)
0 2 4 6 8 10 12 14
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
Graf pravděpodobnostní funkce není z formálního hlediska správný, protože
pravděpodobnostní funkce je kladná pouze v bodech 0, 1, …, n (=12) všude jinde je nulová.
b) Poissonovo rozložení Po(λ)
Náhodná veličina X udává počet událostí, které nastanou v jednotkovém časovém intervalu
(resp. v jednotkové oblasti), přičemž k událostem dochází náhodně, jednotlivě a vzájemně
nezávisle. Parametr 0>λ je střední počet těchto událostí. Píšeme X ~ ( )λPo .
( ) ( ) ∑=
λ−
λ−
λ
=Φ





=
λ
=π
x
0t
t
x
e
!t
x,
jinak0
1,0,xproe
!xx
K
Vztah mezi pravděpodobnostní funkcí binomického a Poissonova rozložení:
Náhodná veličina X ~ Po(λ) a náhodná veličina Y ~ Bi(n, nϑ ). Nechť nϑ → 0 pro n → ∞ a
přitom λ→ϑnn . Pak pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny Y konverguje
k pravděpodobnostní funkci náhodné veličiny X, tj. ( ) λ−−
∞→
λ
=ϑ−ϑ





e
!y
1
y
n
lim
y
yn
n
y
n
n
.
(Aproximace binomického rozložení Poissonovým je vyhovující, když n > 30 a ϑ < 0,1.)
Kreslení grafů funkcí ( )xπ a ( )xΦ v systému STATISTICA
1. možnost: Při tvorbě grafů pravděpodobnostní a distribuční funkce náhodné veličiny
s Poissonovým rozložením, např. X ~ ( )5Po , postupujeme podobně jako u binomického
rozložení, ale v datovém souboru bude 16 případů a použijeme funkce Poisson(x;5) a
IPoisson(x;5).
Pravděpodobnostní funkce rozložení Po(5)
-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16
x
-0,02
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
0,20
PF
Distribuční funkce rozložení Po(5)
-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16
x
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
DF
2. možnost: Využijeme Pravděpodobnostní kalkulátor.
Statistiky – Pravděpodobnostní kalkulátor – Rozdělení – Poisson. Vyplníme X: 0, Lambda 5,
zaškrtneme Vytv. graf – Výpočet.
Pravděpodobnostní funkce rozložení Po(5)
y=Poisson(x;5)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
Distribuční funkce rozložení Po(5)
p=IPoisson(x;5)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
Úkol na ilustraci vztahu mezi binomickým a Poissonovým rozložením:
Pro n = 40 a ϑ = 0,05 ilustrujte aproximaci binomického rozložení Bi(n, ϑ ) Poissonovým
rozložením Po(nϑ ). Vypočtené hodnoty obou pravděpodobnostních funkcí v bodech
x = 0, 1, …, 10 znázorněte graficky.
Ve STATISTICE: Otevřeme nový datový soubor se třemi proměnnými X, PF1, PF2 a 41
případy. Do Dlouhého jména proměnné X napíšeme =v0-1, do Dlouhého jména proměnné
PF1 napíšeme =Binom(X;0,05;40) a do Dlouhého jména proměnné PF2 napíšeme
=Poisson(X;2).
Grafy – Bodové grafy – vypneme Lineární proložení – zaškrtneme Typ grafu Vícenásobný –
Proměnné X: X, Y: PF1, PF2 – OK. Ve vzniklém grafu změníme měřítko na vodorovné ose
(od -1 do 11) a krok zmenšíme na 2.
Bodový graf z více proměnných proti X
Tabulka2 3v*41c
PF1
PF2
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
X
-0,05
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
Příklad 1.: Při provozu balicího automatu vznikají během směny náhodné poruchy, které se
řídí rozložením Po(2). Jaká je pravděpodobnost, že během směny dojde k aspoň jedné poruše?
Řešení: X – počet poruch během směny, X ~ Po(2), P(X ≥ 1) = 1 – P(X < 1) = 1 – P(X = 0) =
= 1 - 2
0
e
!0
2 −
= 0,8647.
Návod na výpočet pomocí systému STATISTICA: Otevřeme nový datový soubor o jedné
proměnné a jednom případu. Do Dlouhého jména této proměnné napíšeme
=1-IPoisson(0;2). Dostaneme výsledek 0,8647.
Příklad 2.: Telefonní ústředna zapojí během hodiny průměrně 15 hovorů. Jaká je
pravděpodobnost, že během 4 minut ústředna zapojí a) právě 1 hovor, b) aspoň 2 hovory?
Řešení: X – počet zapojených hovorů během 4 minut = 1/15 hodiny, X ~ Po(tλ), kde t = 1/15
a λ = 15, tedy X ~ Po(1).
ad a) ( ) 36788,0e1XP 1
=== −
,
ad b) ( ) ( ) ( ) ( ) 264242,0e210XP0XP11XP12XP 1
=−==−=−=≤−=≥ −
Návod na výpočet pomocí systému STATISTICA: a) = Poisson(1;1), b) =1– IPoisson(1;1)
Příklad 3.: Semena rostlin určitého druhu jsou znečištěna malým množstvím plevele. Je
známo, že na jedné jednotce plochy vyrostou po osetí v průměru 4 rostliny plevele. Lze
předpokládat, že počet rostlin plevele na dané jednotce plochy se řídí Poissonovým
rozložením. Vypočítejte pravděpodobnost, že na dané jednotce plochy:
a) nebude žádný plevel,
b) vyrostou nejvýše 3 rostliny plevele,
c) vyroste aspoň 5, ale nejvýše 7 rostlin plevele.
Řešení: X – počet rostlin plevele na jednotce plochy, X ~ Po(4)
Ad a) ( ) 0183,0e0XP 4
=== −
Ve STATISTICE: =Poisson(0;4)
Ad b) ( ) 4335,0e
!x
4
3XP
3
0x
4
x
==≤ ∑=
−
Ve STATISTICE: =IPoisson(3;4)
Ad c) ( ) 32,0e
!x
4
7X5P
7
5x
4
x
==≤≤ ∑=
−
Ve STATISTICE: =IPoisson(7;4)- IPoisson(4;4)
Příklad 4.: (Aproximace binomického rozložení Poissonovým rozložením) Dělnice
v přádelně obsluhuje 800 vřeten. Pravděpodobnost toho, že se příze přetrhne během časového
intervalu délky t, je pro všechna vřetena stejná a je rovna 0,005. Určete pravděpodobnost, že
během intervalu délky t dojde k nejvýše 10 přetržením.
Řešení: Y – počet přetržení v časovém intervalu délky t, Y ~ Bi(800;0,005).
Přesný výpočet: ( ) ( )∑=
−
=−





=≤
10
0y
y800y
997239,0005,01005,0
y
800
10YP
Ve STATISTICE: =IBinom(10;0,005;800).
Aproximativní výpočet: podmínky dobré aproximace jsou splněny, parametr
λ = n ϑ = 800.0,005 = 4, ( ) ∑=
−
==≤
10
0y
4
y
9971602,0e
!y
4
10YP
Ve STATISTICE: =IPoisson(10;4).
c) Exponenciální rozložení Ex(λ)
Náhodná veličina X udává dobu čekání na příchod nějaké události, která se může dostavit
každým okamžikem se stejnou šancí bez ohledu na dosud pročekanou dobu. (Jde o tzv. čekání
bez paměti.) Přitom
λ
1
vyjadřuje střední dobu čekání. Náhodná veličina X ~ Ex(λ) má hustotu
( )


 >λ
=ϕ
λ
jinak0
0xproe
x
x-
.
Použití systému STATISTICA při výpočtu hodnot distribuční funkce exponenciálního
rozložení:
První možnost: Ve volbě Rozdělení vybereme Exponenciální, do okénka lambda napíšeme
hodnotu parametru λ. Hodnotu distribuční funkce v bodě x zjistíme tak, že do okénka
označeného X napíšeme dané x a po kliknutí na Výpočet se v okénku p objeví hodnota
distribuční funkce.
Druhá možnost: Výpočet hodnoty distribuční funkce pomocí funkcí implementovaných
v položce „Dlouhé jméno“: Otevřeme nový datový soubor o jedné proměnné a jednom
případu. V položce „Dlouhé jméno“ této proměnné použijeme funkci IExpon(x;lambda).
Příklad 1.: Doba do ukončení opravy v opravně obuvi je náhodná veličina, která se řídí
exponenciálním rozložením se střední dobou opravy 3 dny. Jaká je pravděpodobnost, že
oprava bude ukončena do dvou dnů?
Řešení: X ~ Ex(1/3), ( ) 4866,0e1edxe
3
1
2XP 3
22
0
3
x2
0
3
x
=−=





−==≤
−−−
∫
Návod na výpočet pomocí systému STATISTICA:
První možnost: Do okénka lambda napíšeme 0,3333, do okénka exp. napíšeme 2 a po kliknutí
na Výpočet se v okénku p objeví 0,4866.
Druhá možnost: Otevřeme nový datový soubor o jedné proměnné a jednom případu.
Do dlouhého jména této proměnné napíšeme =IExpon(2;1/3). Dostaneme 0,4866.
Příklad 2.: Doba (v hodinách), která uplyne mezi dvěma naléhavými příjmy v jisté
nemocnici, se řídí exponenciálním rozložením se střední dobou čekání 2 h. Jaká je
pravděpodobnost, že uplyne více než 5 h bez naléhavého příjmu?
Výsledek: X ~ Ex(1/2), ( ) 082,05XP =>
Příklad 3.: Dlouhodobým pozorováním v určité prodejně bylo zjištěno, že 40 % zákazníků je
obslouženo do 3 minut. Lze předpokládat, že doba čekání se řídí exponenciálním rozložením.
Jaké procento zákazníků bude na obsluhu čekat déle než 6 minut?
Výsledek: X ~ Ex(1/3), ( ) 36,06XP => . Znamená to, že 36 % zákazníků bude čekat na
obsluhu déle než 6 minut.
Kreslení grafů funkcí ( )xϕ a ( )xΦ rozložení Ex(2) v systému STATISTICA pomocí
Pravděpodobnostního kalkulátoru
Statistiky – Pravděpodobnostní kalkulátor – Rozdělení – Exponenciální. Vyplníme lambda: 2,
zaškrtneme Vytv. graf – Výpočet.
y=expon(x;2)
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
p=iexpon(x;2)
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0